エネルギー・運動量テンソル Tμν が自由空間中の電磁場のみに由来する場合、すなわち電磁テンソルを用いて以下のように表わせるとき
T α β = ? 1 μ 0 ( F α ψ F ψ β + 1 4 g α β F ψ τ F ψ τ ) {\displaystyle T^{\alpha \beta }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }
+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)} {\displaystyle T^{\alpha \beta }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}
これを代入したアインシュタイン方程式はアインシュタイン・マクスウェル方程式と呼ばれ、（宇宙定数を含む形式では）以下のように書き下せる。
R α β ? 1 2 R g α β + Λ g α β = 8 π G c 4 μ 0 ( F α ψ F ψ β + 1 4 g α β F ψ τ F ψ τ ) {\displaystyle R^{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}Rg^{\alpha \beta }
+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)} {\displaystyle R^{\alpha \beta }
-{\frac {1}{2}}Rg^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}
また、これに加えて電磁テンソルは自由空間における共変形式のマクスウェル方程式を満たすことも要求される。
F α β ; β = 0 {\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0} {\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0}
F [ α β ; γ ] = 1 3 ( F α β ; γ + F β γ ; α + F γ α ; β ) = 1 3 ( F α β , γ + F β γ , α + F γ α , β ) = 0 {\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}={\frac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }
+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\frac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0} {\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}
={\frac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\frac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0}
ここで、セミコロン ; は共変微分を表わすものとし、角括弧は反対称化を表わすものとする。これらの式は2-形式 F について、一つ目は 4-発散が 0 であること、二つ目は外微分が 0 であることをそれぞれ示している。
2つ目の方程式から、ポアンカレの補題によりある座標チャートにおいて電磁ポテンシャル Aα を以下のように導入できることが従う。
F α β = A α ; β ? A β ; α = A α , β ? A β , α {\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }\!} {\displaystyle F_{\alpha \beta }
=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }\!}
ここで、コンマ , は偏微分を表わすものとする。これを用いた方程式を共変マクスウェル方程式と等価として扱うことも多い。しかし、電磁ポテンシャルを大域的に定義できない大域的な解も存在する。
分かったか？