というかアベマで黒執事のシリーズ一挙無料中
ちなみに原作通りみるなら

1期（1話〜6話、13話〜15話）
3期（Book of Circus）
OVA（Book of Murder）
映画（Book of the Atlantic）
4期（寄宿学校編）
5期（緑の魔女編）

これで原作最初からもれなく見れるよ〜
1期後半と2期？知らない子ですねぇ