55t/((t+3)(t+2)) = 55t(1/(t+2) - 1/(t+3)) と分解して
1/(t+2)の分子分母に(t^2-2t+4)を掛けて、1/(t+3)の分子分母に(t^2-3t+9)を掛けるのもあるわね
部分分数にわけないというのは、55t/((t+3)(t+2))の分子と分母に
直接(t^2-3t+9)(t^2-2t+4)を掛けるということかしら？
他に考えたのは、55/(2t^2+t+5) = at^2+bt+c (a, b, c ∈ ℚ) と一通りに表せるから
55 = (2t^2+t+5)(at^2+bt+c)
= 2at^4 + (a+2b)t^3 + (5a+b+2c)t^2 + (5b+c)t + 5c
t^3 = 3だから
55 = (5a+b+2c)t^2 + (6a+5b+c)t + (3a+6b+5c)
係数を比較して
5a+b+2c = 0
6a+5b+c = 0
3a+6b+5c = 55
この連立方程式を解くと a = -9/2, b = 7/2, c = 19/2 と出せるわ。
けどアタシ計算苦手だから途中で間違えまくって大変だったわw
それから上で使った定理の証明に戻ってユークリッドの互除法を試してみたわ
3の3乗根の最小多項式 t^3-3 と 2t^2+t+5 に互除法を使うと
t^3-3 = (1/2t-1/4)(2t^2+t+5) + ((-9/4)t-7/4)
2t^2+t+5 = (-(8/9)t+20/81)((-9/4)t-7/4) + 440/81
だから
440/81
= (2t^2+t+5) - (-(8/9)t+20/81)((-9/4)t-7/4)
= (2t^2+t+5) - (-(8/9)t+20/81)((t^3-3) - (1/2t-1/4)(2t^2+t+5))
= (-(4/9)t^2+(28/81)t+76/81)(2t^2+t+5) + ((8/9)t-20/81)(t^3-3)
ここで t^3-3 = 0 だから
440/81 = (-(4/9)t^2+(28/81)t+76/81)(2t^2+t+5)
したがって
1/(2t^2+t+5) = (81/440)(-(4/9)t^2+(28/81)t+76/81)
55/(2t^2+t+5) = (81/8)(-(4/9)t^2+(28/81)t+76/81)
= -(9/2)t^2 + (7/2)t + 19/2
はー、この計算も死ぬ程しんどかったわw
他にどんな方法があるのかしら？ 公式って何？ 受験生の標準的な解き方は？