お待たせしました。
（4）をどうやって解いたか書き込むわよ。
A[…] の部分はAB, ACとして解くわね。

>>146 でも書いたけど、DからAB,ACに垂線下ろすの。
それぞれの足をP,Qとでもしようかしら。
そうすると∠APD＝∠AQD＝90°で仮定より∠PAQ=90°
だから四角形APDQは長方形なんだけど、
DP=DQ=半径（=r）だからこの四角形は正方形になるわ。
それでDP=AP=rであり、AP+PB=AB=20だからPB=20-AP=20-r
一方三角形BDPは3:4:5の三角形なのでDP:PB=3:4
つまりr:(20-r)=3:4なので、あとはこの比例式を解いてr=60/7

最初いろいろ考えた時は面倒に感じたけど、
整理するとかなり簡単ね。
うさぎの「一瞬でできた」という解法はどんなのかわからないけど、
この解法もなかなかシンプルでしょ？