なんだ、150と153 は別人なのね？ なんかおかしいと思ったわ。

細かく場合分けしてみたの。
まず、y = 0 なら |x^2 - (n^2+1)y^2| = x^2 が平方数になるから y ≠ 0 ね。

(1) |x| = n|y| の場合
|x^2 - (n^2+1)y^2| = y^2 が平方数になるからこれは関係ないわ。

(2) |x| < n|y| の場合
x^2 - (n^2+1)y^2 ≤ (n|y|-1)^2 - (n^2+1)y^2 = -y^2 - 2n|y| + 1 = -(|y|+n)^2 + n^2 + 1
だけど、|y| ≥ 1 だから右辺は負になるわ。したがって
|x^2 - (n^2+1)y^2| - 2n = (|y|+n)^2 - n^2 - 1 - 2n = (|y|+n)^2 - (n+1)^2 ≥ 0
したがって |x^2 - (n^2+1)y^2| ≥ 2n

(3) |x| > n|y| の場合
Y = |y|, |x| = nY+k (k ≥ 1), そして
f(Y) = x^2 - (n^2+1)y^2 = (nY+k)^2 - (n^2+1)Y^2 = -Y^2 + 2nkY + k^2
とおくわ。
すべての Y≥1 について |f(Y)| が平方数でないなら |f(Y)| ≥ 2n であることを示すわ。

(3a) Y = 2nk の場合
|f(Y)| = |f(2nk)| = k^2 が平方数になるからこれは関係ないわ。

(3b) Y < 2nk の場合
Y ∈ [1, 2nk-1] だけど、f(Y)はYに関する2次関数でその軸のY座標は Y = nk なので
[1, 2nk-1] のちょうど真ん中に軸があるのね。したがって
f(Y) ≥ f(1) = f(2nk-1) = 2nk + k^2 - 1 ≥ 2nk ≥ 2n だから |f(Y)| ≥ 2n

(3c) Y > 2nk の場合
f(Y) ≤ f(2nk+1) = -2nk - k^2 - 1 < -2nk ≤ -2n だから |f(Y)| ≥ 2n

これでできてるかな。もっと簡単にできるのかしら？
つーか難しすぎよ。誘導なしで大学入試で出題されるのは想像できないわ。