大学入試の数学の問題を解くゲイ2023
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慈恵医大
https://pbs.twimg.com/media/FogO43XaYAAcaBK.jpg:large
VIPQ2_EXTDAT: none:feature:V:512:: EXT was configured >>172
何よ、カチカチ山ってw 失礼しちゃうわ！
派手に解けるってどういう意味かわからないけど、解けたなら解法を書き込みなさいよ💢
>>174
161さんが解かないみたいだから、あたしが解くわね
といっても151さんがほとんど解いているわよね
151さんの言っているのは
n^3-7n+9 = n^3-n-6n+9 = (n-1)n(n+1) - 3(2n-3)
で(n-1)n(n+1)も3(2n-3)も3の倍数だから、与式が素数になるとしたら3でしかない
したがって
n^3-7n+9 = 3
n^3-7n+6 = 0
(n-1)(n-2)(n+3) = 0
だから n = 1, 2, -3 が答えね
n^3-7n+9 が3の倍数であることを示すには、nを3で割った余りで分類しても良いわ
でも標準的な解答って何なのかしら？
151さんの方法は思いつけば簡単だけど、思いつかなければできないし
nを3で割った余りで分類ってのも、どうして3で考えるのか謎だし
論理的思考力というより思いつきを要求する問題って、入試問題としてどうなのかしらって思うのよね
だってそれってただのパズルじゃない？ じゃあ、解いたついでにアタシがとっておきの問題出していい？
大学入試問題じゃないけど、高校までの知識で解けるわ
ただ難易度はどの大学入試問題よりも上ね
円周上にn個の点をとって、そのうちどの2点の間も直線で結ぶとき
円の内部が最大で何個の領域に分割されるか、その個数をnで表せ 2019年の産業医大の大問2の(7)を検索して見てみてね
一般項はnC4+nC2+1になるわ
その年の産業医大は大問3も面白そうね 産業医大の大問3面白かったわ。
27ね。
でも>>177 は出典を教えてくれたことは感謝するけど、
なんの説明もなく答えだけ書くのってどうなのかしら？
このスレ的にはOKなのかしら？
とりあえず真似させてもらって答えだけ書いたけど、
本当にこのスレこれでいいの？ >>178
どうせどこかでカンニングしただけでしょ？ >>175
標準的な解答というか、
取っ掛かりがない場合はいくつかの数で試してみるのは鉄則ではないかしら。
そしたら「あら、どれも3の倍数だわ」って気づくでしょ。
気づけばあとはmod3で考えるなりすれぱいいと思うわよ。
>>180
他のサイト頼るのやめない？
出題も解答も解説もスレの中で完結させましょうよ。 なんだか東大や京大の問題でも簡単すぎるってすぐ言われちゃうし、
でもスレタイ的に高校数学の範囲内でなければならないと思うし、
それで思いついたのが数学オリンピックの問題なんてどうかしら？
一応数学オリンピックの問題は高校数学の範囲内よね？
いくわよ。
p+q=(p-q)^3
を満たす素数の組(p, q)を全て求めよ。
どうかしら？これでもまだ簡単かしら？ 2q=(p-q)^3-(p-q)≡0 (mod6)
∴q=3
p^2-3^2=(p-3)^4
ピタゴラス数には5の倍数が含まれる
もしもp-3が5の倍数なら(p-3)^4≧625
隣接する平方数との差は9よりはるかに大きい
∴p=5
5+3=(5-3)^3 >>183
あなた面白い解き方するわねえ。
一行目は与式の両辺からp-qを引いたのね。
三行目はちょっと考えちゃったけど、
与式にq＝3を代入したものの両辺に
p-3を掛けたのね。
それで四行目、
ピタゴラス数には5の倍数が含まれるの？
本当に？なぜ？
って思ったけど、ピタゴラス数の一般式を
mod5で見たら納得できたわ。
でも、これって一般的な高校生が
知っているレベルの知識かしら？
確かに間違いはなさそうだけど、
もう少し一般的な高校生の知識の範囲で
何とかならないものかしら？ んま、この年老いたアタシに高校生ぽく解けとおっしゃるの？
しょうがない、やってみましょう
高校生風にフェルマーの小定理を使えばいいわね
p^2-3^2=(p-3)^4
p-3が5の倍数だとするとp+3は5の倍数ではないから
両辺の素因数分解の5の指数が符合しない
∴p^2-3^2≡1 (mod5)←フェルマーの小定理
∴p=5 アタシも問題出すわ
某国の国際数学オリンピック選手選抜に使われた問題だって
日本でいうところの本選なのかしら？まさか予選？
元の問題は難しいから少しだけシンプルにしてみたわ
ωを1の虚数3乗根とする
複素数から複素数への関数fが、任意の複素数aと任意の複素数b≠0に対して
f(a+b)+f(a+bω)+f(a+bω^2)=0
を満たしているという
このとき、任意の複素数zに対して
f(z)=0
であることを示せ 与えられた条件は、複素数平面上で任意の正三角形を考えたとき
その３頂点でのfの値を合計すると0になるってことよね。
zを任意の複素数として、zを重心に持つ正三角形ABCを考えるわ。
各辺を３等分した点の間に、各辺に平行になる直線だけを引くと
正三角形ABCは合同な9個の正三角形に分割されて、Zは3本の線が交わる点になるわね。
辺ABを1:2に内分する点をP、辺ACを1:2に内分する点をQとすると
△APQと△zPQは正三角形だから、条件から
f(A) + f(P) + f(Q) = 0 = f(z) + f(P) + f(Q)
したがって f(A) = f(z) となるわ。同様に f(B) = f(C) = f(z) よ。
最後に正三角形ABCに条件を使うと 0 = f(A) + f(B) + f(C) = 3f(z)
したがって f(z) = 0 ね。 >>190
あら、ふつうに褒めてくれるのね。ありがと
元の難しいバージョンってどんなだったのかしら
ていうか、あなたカチカチ山姐さんよね
187を解いたご褒美に、あなたの153の解法を教えてくれないかしら
らすかるさんも解けないみたいだしやっぱり難問なのよ >>191
姐さん、ふだんどんな文章書いてるのかしらw
この問題、もっとシンプルに、どんな複素数 z, w に対しても f(z) = f(w) であることを示してもいいのよね
なぜって、平面上のどんな2点の間にも、正三角形ふたつを貼り合わせてできるひし形を
角度60度の2頂点がその2点となるように描くことができるから
あとは188と同じ考え方で f(z) = f(w) がわかるのよね
ポイントは、2点を頂点に持つふたつの正三角形が、その2点以外の頂点を共有しているってことよね
正方形だと同様の議論は作れないから、正方形でも成り立つのかは分からないわ
けど、3次元に拡張することはできるわね
3次元空間から複素数（または実数）への関数fが、任意の正四面体ABCDに対して
f(A) + f(B) + f(C) + f(D) = 0 を満たしているなら、任意の点Pに対して f(P) = 0 が言えるわ 元の問題は正n角形なのよ
ζを1の原始n乗根とする
複素数から複素数への関数fが、任意の複素数aと任意の複素数b≠0に対して
f(a+b)+f(a+bζ)+f(a+bζ^2)+…+f(a+bζ^(n-1))=0
を満たしているという
このとき、任意の複素数zに対して
f(z)=0
であることを示せ >>194
あら、そうなのね！
上に正方形とかだとよく分からないって書いたけど、ちょっと考えてみるわ 今日電車に乗りながら思いを巡らせていたら閃いたわ
zをひとつの頂点とする正n角形を考えるの
他の頂点を A_1, …, A_{n-1} とするわ
この正n角形を z を中心に 2kπ/n 回転させることを考えるの
このとき各頂点 A_i が移る先を A_i(k) で表すことにするわね（A_i(0) = A_i よ）
回転後、元の正n角形のn個の頂点は z, A_1(k), …, A_{n-1}(k) に移るけど、これらも正n角形を作るから
f(z) + f(A_1(k)) + … + f(A_{n-1}(k)) = 0 よね
この式の k = 0 から k = n-1 までの総和をとると
nf(z)
+ f(A_1(0)) + f(A_1(1)) + … + f(A_1(n-1))
+ f(A_2(0)) + f(A_2(1)) + … + f(A_2(n-1))
+ …
+ f(A_{n-1}(0)) + f(A_{n-1}(1)) + … + f(A_{n-1}(n-1))
= 0
となるわ。ところが各 i について
A_i(0), A_i(1), …, A_i(n-1)
は A_i を z を中心に 2π/n ずつ回転させたものだから、これらは正n角形を作るから
f(A_i(0)) + f(A_i(1)) + … + f(A_i(n-1)) = 0 となるの
したがって、上の式は nf(z) = 0 となって f(z) = 0 が結論されるわ
正三角形とか正方形の場合は、つい正三角形や正方形に特有の性質を考えてしまうから
こういう一般的な議論は思いつきにくいのね このように回転させてみようなどとよく思いつくものだけ n∈ℤ, x∈ℤ, y∈ℤ が
|x² - (n²+1)y²| < 2n
をみたしているとき
|x² - (n²+1)y²|
は平方数であることを示せ
この方が問題として綺麗かしらね
アタシの好みなだけだけど 問題を拵えてみたの。
完全に大学受験レベルだけど、誰か解けるかしら？
解いてくれたら嬉しいわ。
問題．
nを1より大きな奇数とし、
a=(1/2)(√n+1/√n)^2
とする。不等式
(x-1)(a-[x])>[x](x-[x])
をみたす実数xの範囲を求めよ。
[x]はx以下最大の整数を表している。 難しいわね
一応解けたけど、場合分けが多くてなんかスッキリしないの
まず a = 1 + n/2 + 1/(2n) で n は1より大きい奇数だから、a は 2より大きく、整数でない数ね
もし [x] ≤ 0 なら x-1 < [x] ≤ 0 かつ a-[x] > x-[x] ≥ 0 だから (x-1)(a-[x]) ≤ [x](x-[x]) となってダメね
もし [x] > a なら (x-1)(a-[x]) < 0 ≤ [x](x-[x]) だからこれもダメ
したがって 1 ≤ [x] < a が必要なの
ここで d = x-[x] とおくと、問題の不等式は
([x]+d-1)(a-[x}) > [x]d
つまり
(2[x]-a)d < ([x]-1)(a-[x]) (★)
と書き換えられるの
・1 ≤ [x] < a/2 の場合
2[x]-a < 0 かつ 0 ≤ d < 1 だから(★)の左辺は0以下、右辺は0以上だから、(★)が成立
・a/2 < [x] < a-1 の場合
1 < a-[x]
⇔ [x] < [x](a-[x])
⇔ 2[x]-a < ([x]-1)(a-[x])
となるけど、2[x]-a > 0 かつ 0 ≤ d < 1 だから (2[x]-a)d ≤ 2[x]-a < ([x]-1)(a-[x]) となって(★)が成立
・a-1 < [x] < a の場合
このとき [x] = (n+1)/2 だから、これを(★)に代入して整理すると
{(n^2-1)/2n}d < (n^2-1)/4n となり、これは d < 1/2 と同値
したがって x = [x]+d < (n+1)/2 +1/2 = n/2 + 1
以上をまとめると 1 ≤ [x] < n/2 + 1
はー大変だったわ。もっと簡単に解けるのかしら？ あ、最後書き間違ったわ
1 ≤ x < n/2 + 1 が答えよ うさぎ、あなたってほんと素晴らしい実力者よね。
x=1は入らないでしょう。
でも、もうほぼ正解といっていいわよね。 全く場合分けせずに解く方法もあるわ。
(x-1)(a-[x])>[x](x-[x])
(x-1)(1+(n+1/n)/2-[x])>[x](x-[x])
(x-1)((n+1/n)/2-[x-1])>([x-1]+1)(x-1-[x-1])
y=x-1とおくと
y((n+1/n)/2-[y])>([y]+1)(y-[y])
y(n+1/n)/2-y[y]>y-[y]+y[y]-[y]^2
[y]^2-2y[y]+[y]-y+y(n+1/n)/2>0
nが3以上の奇数なのであらためてnを自然数として2n+1とおきなおすと
[y]^2-(2y-1)[y]-y+y(2n+1+1/(2n+1))/2>0
記号が錯綜するけどy=a/2とおくと
[a/2]^2-(a-1)[a/2]-a/2+a/4 (4n^2+4n+2)/(2n+1)>0
[a/2]^2-(a-1)[a/2]+an^2/(2n+1)>0 …(★)
f(x)=x^2-(a-1)x+an^2/(2n+1)とおくと、y=f(x)の頂点のx座標は(a-1)/2で、
[a/2]は(a-1)/2に最も近い整数だから、(★)が成り立つということは、
すべての整数mに対してf(m)>0が成り立つということよね。
と、いうわけでこれは大昔の東大入試の問題なのよ。
http://server-test.net/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=1997&v3=1&v4=2&y=1997&n=2
https://www.youtube.com/watch?v=2XzOe34FPn0
https://ameblo.jp/mathisii/entry-12352941501.html
どこ見ても下手糞な解き方しか載ってなかったわ。
アタシが昔使ってた問題集にはもっと簡単な解き方が載ってたのに。 >>205
あらやだ！
そうね、 [x] = 1 かつ d = 0 のときは除かなきゃいけなかったわ
元ネタの東大の入試問題難しすぎね
東大受験生でも本番でこれ解けた人きっとほとんどいないわよね
日本の大学って高校生に何を求めてるのかしらw 東大入試は差がつかないでしょうね
みんな同じようなところができて、同じようなところができない
でも女子入学者が増えるからこの難しさでいいらしい >>209
どういうこと？ 難しくてみんなができないからってこと？
でも難易度下げた方が女子の割合って増えるんじゃないかしら
IQの分布でも、極端に高い人や低い人の割合は男の方が大きくて、女は平均付近に集まるっていうし
日本で東大とかの女子率が異様に低いのって必要以上に難しい入試制度のせいよ
アメリカなら有名校でも女子率もっと高いっていうか、男女同じくらいなことが多いんじゃないかしら 数学で差がつかないと国語や英語が得意な女子が入りやすくなる x=f[n](θ) (n=1,2,3,...),
y=g[n](θ) (n=1,2,3,...)
はみな実数から実数への関数で、周期2πをもち、C^∞級であるものとする。
さらに、n→∞のとき、f[n](θ)はcosθへg[n](θ)はsinθへ一様収束するものとする。
このとき、
lim[n→∞]∫[0→2π]√((dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2)dθ
は2πになるだろうか？ 東大だと今年の物理は流石にやりすぎよね。数学に関しては最近は共通テストが難易度高めで国公立二次が易化傾向で差が付かないのよね。2010年くらいの難易度に落ち着くと力の差がはっきりしそうね。 >>212
ならないでしょ
単位円周に沿って細かく波打ちながら一周する曲線を考えるの
nが大きくなるとき、波打つ幅も波同士の間隔も小さくなるようにするの
波打っているからこの曲線の長さは2πより大きいわ
曲線上の点のx軸からの角度がθの時のx座標とy座標をf[n](θ), g[n](θ)とすれば
f[n], g[n] はn→∞のときcosθとsinθにそれぞれ一様収束するわ
問題の積分は曲線の長さを表しているけど、nが大きくなるときに
波同士の間隔が十分に小さくなっていくように設定すれば、曲線の長さが短くならないようにできると思うわ
具体的な式とか計算は勘弁して
こういう問題を出すのはやめてほしいわ
ふつうのオカマが楽しく取り組める問題にしてほしいの じゃ、あたしがふつうのオカマが楽しく取り組める問題出すから、よければ誰か解いてみて。
A子、B子、C子の3人はD子と友達になりました。3人がD子に誕生日をきくと、D子は
「2001年の2/17、3/13、4/13、5/15、6/17、
2002年の3/16、4/15、5/14、6/12、8/16、
2003年の1/13、2/16、3/14、4/11、7/16、
2004年の1/19、2/18、5/19、7/14、8/18 のうちのどれかよ」
と答えました。そしてD子は、A子に月だけを、B子に日だけを、C子に年だけを教えました。
すると3人が次のように会話を始めました。
A子「あたしはD子の誕生日がいつなのか分からないけど、B子が分からないことも分かるわ」
B子「あたしもまだ分からないわ」
C子「あらそう？」
B子「そうよ。でもC子、あんたがそれを聞いてもまだ分からないことも分かるの」
C子「あたしもまだ分からないけど、A子がまだ分からないことも分かるわ」
A子「じゃあ分かったわ」
B子「あたしも分かった」
C子「あたしも〜」
さてD子の誕生日はいつでしょうか。 読み直したら会話の日本語がおかしかったから訂正するわ。
A子「あたしはD子の誕生日がいつなのか分からないけど、B子も分からないことは分かるわ」
B子「あたしもまだ分からないわ」
C子「あらそう？」
B子「そうよ。でもC子、あんたがそれを聞いてもまだ分からないことはあたし分かるの」
C子「あたしもまだ分からないけど、A子もまだ分からないことは分かるわ」
A子「じゃあ分かったわ」
B子「あたしも分かった」
C子「あたしも～」 「2001年の2/17、3/13、4/13、5/15、6/17、
2002年の3/16、4/15、5/14、6/12、8/16、
2003年の1/13、2/16、3/14、4/11、7/16、
2004年の1/19、2/18、5/19、7/14、8/18
A子「あたしはD子の誕生日がいつなのか分からないけど、B子が分からないことも分かるわ」
B子が分からないことがA子に分かるということは、上の中で日が1つしか現れない月はA子には教えられなかったということ
例えば、もしもA子に4月が教えられていたら、誕生日は
2003 4/11、2001 4/13、2002 4/15
の可能性があり、万が一11日がB子に教えられていればB子は誕生日が特定できるわけだから、B子も分からないと主張出来ない
したがって、4月と6月は除外される
「2001年の2/17、3/13、5/15
2002年の3/16、5/14、8/16、
2003年の1/13、2/16、3/14、7/16、
2004年の1/19、2/18、5/19、7/14、8/18
B子「あたしもまだ分からないわ」
C子「あらそう？」
B子が分からないということは、B子に教えられたのは15日と17日ではないということ
「2001年の3/13
2002年の3/16、5/14、8/16、
2003年の1/13、2/16、3/14、7/16、
2004年の1/19、2/18、5/19、7/14、8/18
B子「そうよ。でもC子、あんたがそれを聞いてもまだ分からないことも分かるの」
C子がまだ分からないということが分かるということは、B子に教えられたのが13日ではないということ
もしもB子に13日が教えられ、C子が2001年を教えられていた場合C子もまだ分からないとは言えない
2002年の3/16、5/14、8/16、
2003年の2/16、3/14、7/16、
2004年の1/19、2/18、5/19、7/14、8/18
C子「あたしもまだ分からないけど、A子がまだ分からないことも分かるわ」
A子がまだ分からないことが分かるということは、2004年ではないということ
もしもA子に1月が教えられていた場合A子は誕生日が特定できてしまう
A子が絶対に分からないことがC子に分かるということは、C子に教えられたのは2004年ではない
2002年の3/16、5/14、8/16、
2003年の2/16、3/14、7/16、
A子「じゃあ分かったわ」
これは3月ではないということ
2002年の5/14、8/16、
2003年の2/16、7/16、
B子「あたしも分かった」
これは16日ではないということ
2002年の5/14 C子「アタシもまだ分からないけど、A子もまだ分からないことは分かるわ」
A子「じゃあ分かったわ」
B子「んまっ、いやらしい！アタシまだ分かんないわ。C子、アンタは？」
C子「アタシも分かっちゃった♡」
B子「ブス！」
これでもいいのかしら？ >>218
姐さん完璧よ！ すばらしいわ。
これは「シェリルの誕生日」っていう、2015年の14歳向けのシンガポールとアジアの数オリの問題があって、
それの発展バージョンとして作られた「デニーズの仕返し」っていう問題なの。
https://en.wikipedia.org/wiki/Cheryl%27s_Birthday#Second_sequel:_%22Denise's_Revenge%22
元の問題文では、B子が
「あたしもまだ分からないけど、C子もまだ分からないことは分かるわ」
って言ってるんだけど、この文の後半部分が問題作成者の意図した効果を発揮するためには、
ここが解釈される時点で文の前半部分の内容がC子の知識に入っていないといけないから、
上の会話では、B子の発言を分けて、C子がまず前半を理解していることをはっきりさせたの
>>219
なるほどね、それもアリね！ その場合、C子がわかったことによって結局B子もわかるわね。
設定をうまく変えれば、ひとりだけ誕生日がわからないで取り残される問題も作れそうね。 . . *
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整数 a,b,c が |a^2-b^2-2abc|<2c を満たしている。
abc が偶数であることを示せ。 il||li (OдO`) il||li恐ろしいスレを開いてしまったわ 書き込めたわ。
それでは東大2023年文系第一問いくわね。
k を正の実数とし、2次方程式 x^2+x-k=0 の二つの実数解を a, b とする。
k が k＞2 の範囲を動くとき、
a^3/(1-a) + b^3/(1-b)
の最小値を求めよ。 a^3/(1-a)+b^3/(1-b)
=-a^2-a-1+1/(1-a)-b^2-b-1+1/(1-b)
=-2k-2+3/(2-k)
→-∞ (k→+∞)
∴最小値はない あらごめんなさい、出題ミスだわ。
a^3/(1-a) + b^3/(1-b)
ではなくて、
a^3/(1-b) + b^3/(1-a)
だったわ。 いるわよ！ Talkには行っていないわ
やっぱりJane Styleの乱のせいで書き込める人減っちゃったのかしら？
根と係数の関係 a+b = -1, ab = -k を使うと
a^3/(1-b) + b^3/(1-a)
= {(1-a)a^3 + (1-b)b^3} / (1-a)(1-b)
= {a^3+b^3 - (a^4+b^4)} / {1 - (a+b) + ab}
= (2k^2 +7k + 2)/(k-2)
= 2k + 11 + 24/(k-2)
= 15 + 2(k-2) + 24/(k-2)
ここで k > 2 だから、2(k-2) と 24/(k-2) は正だから相加相乗平均の不等式から
与式 ≥ 15 + 2√{2(k-2)・24/(k-2)} = 15 + 8√3
等号が成立するのは 2(k-2) = 24/(k-2) のときで、k > 2 だから k = 2 + 2√3 のときね
これで合ってるかしら？
東大にしては簡単すぎない？ >>206の問題とはえらい違いね 本来このスレはこのくらいのレベルがちょうどいいと思うわよ。
これより難しくなると、うさぎや一部の専門家っぽい人しかできなくなっちゃう。 よかった！うさぎいたのね
やっぱり鋭い論客がいないとスレって盛り上がらないのよね
Twitterスレにくまちゃんがいるようにこのスレにはうさぎがいてくれないと くまちゃんがどういうコテなのか知らないからそこはわからないけど、そんなふうに言っていただいて嬉しいわ
でもアタシばっか解いててもスレが盛り上がっているとは言えないから、他の人もどんどん解いてほしいわ
5chすっかり過疎っちゃったからしょうがないかしらね だから、東大にしては簡単、位のレベルがちょうどいいのよ。
東大の難しい方のレベルになると、もううさぎしか解く人いなくなるかもよ。 >>234
簡単って書いたのは、別にもっと難しいの出して、て意味じゃなかったの
でもこれだったら解ける人いっぱいいそうなのに誰も解かなかったからやっぱり人少ないのねって思ったわ
もっと簡単な小中学校レベルの話でもアタシは歓迎なの
難易度よりも興味深さよね
最近のニュースで小６が三角形の面積の問題で正答率が２割ってのがあったわ
www.asahi.com/articles/ASR7X56R8R7WUTIL015.html
問題文には、テープの上の直線と下の直線は並行って書いてあるんだけど
でもこれ結構難しいっていうか意地悪よね
３辺すべての長さが書かれているんだもの
大人にやらせてもどれだけできるかわからないわ >>235
これ底辺以外見る必要ないじゃないの。
普通の数学の問題は余計な情報は書かれていないことが多いから
それに慣れている人から見たらこの問題は意地悪に見えるかもしれないけど、
この問題はそもそも必要な情報を取捨選択できるかを問うてる問題だと思うわよ。
ちなみに3辺の長さが矛盾していないか計算してみたけど、正しかったわ。
テープの幅は３cmね。 自然数nに対して、3^nを2^nで割った余りをa[n]とする。
数列{a[n]}(n=1,2,3,...)は有界か？
メルカリで見つけた問題。 はあ……。
アタシまた難しすぎるだなんだ言われて怒られちゃうのね……。
憂鬱。 >>236
>ちなみに3辺の長さが矛盾していないか計算してみたけど、正しかったわ。
アタシもまずそこが気になって調べたのよ。
余弦定理とか知らない小学生だったら自分で確認できないから、すごくもやもやして問題を意味不明に感じると思うし
そもそも未知数を未知数のまま扱う代数的思考を要求しているから小学生にはハードル高いと思うの
こんなのできない今の小学生ヤバいとか言われてるんだけど、たぶん大人にやらせても正答率高くないと思うのw >>237
メルカリで見つけたってどういうこと？ これ大学入試問題なの？
もし有界であると仮定すると、ある自然数mがあって、すべてのnに対して a[n] ≤ m となるわ。
3^n を 2^n で割った商の整数部分を q[n], 小数部分を d[n] とおくと
(3/2)^n = q[n] + d[n] そして 3^n = q[n] 2^n + a[n] だから d[n] = a[n]/2^n よ。
a[n] ≤ m だから n→∞ のとき d[n] ≤ m/2^n → 0
したがってある自然数 N があって n ≥ N であるすべての n に対して d[n] < 1/3 が成り立つわ。
ここで s を奇数として q[N] = (2^k)s と表したとき、すべての i ≥ 0 に対して、i ≤ k ならば
q[N+i] = (3/2)^i q[N]
d[N+i] = (3/2)^i d[N]
が成り立つことを帰納法で示すわ。
i = 0 のときは明らかね。
i < k のときは、帰納法の仮定から
(3/2)^{N+i} = q[N+i] + d[N+i] = (3/2)^i q[N] + (3/2)^i d[N]
だから
(3/2)^{N+i+1} = (3/2)^{i+1} q[N] + (3/2)^{i+1} d[N]
だけど、i+1 ≤ k だから (3/2)^{i+1} q[N] は整数、そして
(3/2)^{i+1} d[N] = (3/2) d[N+i] < (3/2)(1/3) = 1/2 < 1 だから
q[N+i+1] = (3/2)^{i+1} q[N]
d[N+i+1] = (3/2)^{i+1} d[N]
となって帰納法完了ね。
このことから
q[N+k] = (3/2)^k q[N] = (3/2)^k (2^k)s = (3^k)s
(3/2)^{N+k} = q[N+k] + d[N+k] = (3^k)s + d[N+k]
だけど (3^k)s は奇数だから
(3/2)^{N+k+1} = (3/2)((3^k)s - 1) + 1/2 + (3/2) d[N+k]
において (3/2)((3^k)s - 1) は整数、そして
1/2 + (3/2) d[N+k] < 1/2 + (3/2)(1/3) = 1
だから
q[N+k+1] = (3/2)((3^k)s - 1)
d[N+k+1] = 1/2 + (3/2) d[N+k]
となるわ。ところが 1/2 + (3/2) d[N+k] > 1/3 だから
d[N+k+1] > 1/3 となってこれは矛盾よ。
したがって {a[n]} は有界ではないわ。 >>240
>(3/2)^{N+k+1} = (3/2)((3^k)s - 1) + 1/2 + (3/2) d[N+k]
これってどういう計算されてんですか？
何か良い問題がないかメルカリで模試や問題集を探してて見つけた問題。
数学オリンピックの問題だと思います。 ごめんなさい、そこ間違っていたわ。その上の式
(3/2)^{N+k} = (3^k)s + d[N+k]
の両辺に 3/2 をかけて
(3/2)^{N+k+1} = (3/2)(3^k)s + (3/2) d[N+k] = (3/2)((3^k)s - 1) + 1 + 1/2 + (3/2) d[N+k]
だから
q[N+k+1] = (3/2)((3^k)s - 1) + 1
d[N+k+1] = 1/2 + (3/2) d[N+k]
としなければいけなかったわ。
もっと簡単に解けるのかしら？ なるほど。理解したわ。
こんな方法でもできるのね。
出題しといてアレだけどとても勉強になるわ。
出典はこの1番よ。
https://static.mercdn.net/item/detail/orig/photos/m31195349995_2.jpg
目をよく凝らせば模範解答が見えてくるはず…。心眼で見るのよ。
アタシはうさぎの方が自然なやり方な気がするけどね。 うさぎはいつも問題解いてくれる優しい人だから>>153,>>221の出典も明かしておこうかねえ。
どう思う？今さら知りたい？
探すのに少し時間かかるけど… >>243
なにやらマニアックな問題集あるのね
画像の右側が解答になっていたことに、ついさっきまで気付かなかったわ
気付いたけど読めないし欠けてるw
読めない記号があると思ったら ord っていう記号があるのね？
https://ja.wikipedia.org/wiki/指数_(初等整数論)
数学オリンピックって中高生向けじゃないの？
アタシも知らなかった記号だけど参加者には常識なのかしら
この模範解答を復元して理解するのにはちょっと時間がかかりそうだわ
でも割と複雑で、思いつきが必要そうな解答っぽいわね
正直、アタシもし「余りが10^2021より大きいことがあるか」って出題されてたら
「なにその謎の数は？」って思って解けなかったと思うわ
あなたの出題の「有界か」って聞かれ方だと、解答を書きあげるのにはそれなりに時間かかったけど
解き方の方針は割とすぐ思いついて、シャワー浴びながら「たぶんこんな感じでできそうだわ〜」って思ったわ
「有界である」の方が強い命題なのに、そっちの方が解きやすいって不思議よね
>>244
そうね、出典も知りたいけど、何より解き方教えてほしいわ
アタシの他にも問題に取り組んでみた人はみんな知りたがってると思うわ
時間がある時に書き込んでくれたら嬉しいわ 誤 「有界である」の方が強い命題なのに
正 「有界でない」の方が強い命題なのに アタシちょっと早とちりしたみたい
ordは上のwikipediaに出てくるものとは違うみたいね
心眼使ってみたら、解答の一行目で ord を定義しているみたくて、おそらく
正の整数nに対し、nが2^kで割り切れるような最大の非負整数kを ord_2 n と書く
とか書かれているようだわ。疲れた。これ以上心眼使うの無理w ordの使い方なんてその時それぞれ定義するんじゃないの。
wikiでどう書いてあるのかは知らないけど。
その前にそもそも有界って概念自体が高校の範囲超えてるんじゃない？ >>153,>>221って、解けそうで解けないって感じだから、
かなり良問だと思うんだけど、
出典は興味深いわ。 アタシ今日家帰る途中に本屋寄って
受験生でもないのに最新の受験情報チェックしてたんだけど
今年の京大理系の1番の問2って相当出来悪かったのね
文系の1の問2はこのスレでも話題になったけど
簡単そうに見えるのに(実際アタシたちみたいな大人には簡単)実は受験生には解けない問題出すのって
なかなか出題のセンスがあるんじゃないかしら >>250
それ>>23にあるやつね？
整式 x^2023 - 1 を整式 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 で割ったときの余りを求めよ.
>アタシたちみたいな大人には簡単
そうなの？ 京大受験生にとって難しいなら世の中の９割以上の大人は解けないと思うけど
アタシが考えた解き方は
x^2023 - 1 = (x - 1)(x^2022 + x^2021 + … + x + 1)
で右側のかっこの中身を x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 で割ると x^2 + x + 1 余るから、
(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1 が答えになるかしら？
他の解き方もあるの？ x^2023 - 1 - (x^3 - 1)
= x^3 (x^2020 - 1)
= x^3 (x^{5⋅404} - 1)
= x^3 (x^5 - 1)(x^{5⋅403} + x^{5⋅402} + … + x^{5⋅2} + x^5 + 1)
で x^5 - 1 が x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 で割り切れることから
x^2023 - 1 を x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 で割った余りは x^3 - 1 である
というふうにも解けるわね。
でもこれは答えがわかってたからできただけで最初から思いつくのは難しいわ 整式 x^2023 - 1 を整式 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 で割ったときの余りを求めよ.
こーいうのって、普通に高校でやった考え方だと、
x^2023 - 1 ＝（ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 ）Q(x)＋ax^3＋bx^2＋cx＋d
って置くんじゃないの？
それでx^4 + x^3 + x^2 + x + 1が０になるものを代入するのよね。
１の原始５乗根をζとおくと、これ及びこれの２乗、３乗、４乗が該当するから、
代入すると
ζ^3 -１＝aζ^3＋bζ^2＋cζ＋d
ζ -１＝aζ＋bζ^4＋cζ^2＋d
ζ^4 -１＝aζ^4＋bζ＋cζ^3＋d
ζ^2 -１＝aζ^2＋bζ^3＋cζ^4＋d
これすべて満たすようなa, b, c, dを求めればいいのよね。
って、見た瞬間にa＝１、b＝c＝０，d＝-1が満たすことはわかるから、
余りは x^3 - 1 って解くのが普通の高校生の解法ではないかしら。
でも高校生でζなんて使わないかしら。 そうね、そのやり方はめんどくさそうだからアタシは考えなかったんだけど
実際にやってみると、最後の連立方程式の答えを見た瞬間に思いつければできるのね
思いつけないと計算地獄になるけどw
「普通の」高校生の解法じゃない気がするわ
ネットで検索してみたらいろいろ出たけど、これ↓が数学的で良いと思ったわ
https://akiyamath.com/2023/03/kyoto_2023-1/ >>254 のリンク先の方法って、
>>253 の方法と基本的な方針は同じだけど、
革新的に洗練させたって感じ。 アタシたち数学好きの大人には、って意味ね
>>253のようにやって身動きとれなくなった受験生が多かったらしい
>>251-252のような柔軟な式変形が案外出来ない、ってことなのよね nを自然数とする。1個のさいころをn回投げ、出た目を順に
X[1],X[2],……,X[n]
とし、n個の数の積X[1]X[2]……X[n]をYとする。
p,qはどちらも1以上6以下の整数とする。
Yがpで割り切れるという事象とYがqで割り切れるという事象が
独立となるためのp,qに関する必要十分条件は何か？
>>23の3番を見てふと気になったこと と、いうか
独立となるためのn,p,qに関する必要十分条件は何か？
と質問すべきだったわ 参考(東大)
https://m.youtube.com/watch?v=IDC93W1Knmg
p=5,q=4は独立ではない。
一方、>>23のp=5,q=3は独立。
どちらもnには依らない。 違うか！
京大も独立ではないね。
勘違いごめんなさい！！ >>257
>>23 の3番は難しくないのに、
こうやって一般化して独立性まで考えるとなると
とたんに難しくなるわね。
難しくなるというか、確率の問題で独立性について
あまり扱いなれていないからそう感じるのかしら。
どちらにしても独立について復習するいい問題ね。 アタシ案外差がついたんじゃないかという気がするわ
本番中に(2)を3で割り切れる確率×5で割り切れる確率とした人けっこういそうな気がするの (2)は、
3でも5でも割りきれない確率と、
3で割りきれる確率、5で割りきれる確率
を足して、1を引けばいいんでしょ？ >>264
それでいいと思うわ
がんばって表作ってみたんけど、うまく表示されるかしら？
| ５で割り切れる | ５で割り切れない |
—————————————————————————————
３で割り切れる | ア | イ |
—————————————————————————————
３で割り切れない | ウ | エ |
—————————————————————————————
15で割り切れる確率 = ア
= エ + (ア + イ) + (ア + ウ) - (ア + イ + ウ + エ)
= 3でも5でも割り切れない確率 + 3で割り切れる確率 + 5で割り切れる確率 - 1
となるわね。でも次のように考えた方が簡単かしら？
15で割り切れる確率 = ア
= 1 - (イ + ウ + エ)
= 1 - ((ウ + エ) + (イ + エ) - エ)
= 1 + エ - (ウ + エ) - (イ + エ)
= 1 + 3でも5でも割り切れない確率 - 3で割り切れない確率 - 5で割り切れない確率
= 1 + (3/6)^n - (4/6)^n - (5/6)^n >>257
とりあえず、pとqのいずれも1または素数の場合は、
s = 1から6までの数の中でpを約数に持たないものの割愛
t = 1から6までの数の中でqを約数に持たないものの割愛
とおいたとき、
1から6までの数の中でpもqも約数に持たないものの割愛 = st
となることが必要十分条件でいいかしら？
上の表が p = 3, q = 5 のケースと思ってもらうと
Yがpでもqでも割り切れる確率 = ア
= 1 - (ウ + エ) - (イ + エ) + エ
= 1 - Yがpで割り切れない確率 - Yがqで割り切れない確率 + Yがpでもqでも割り切れない確率
= 1 - s^n - t^n + (st)^n
= (1 - s^n)(1 - t^n)
= Yがpで割り切れる確率 × Yがqで割り切れる確率
となるから、Yがpで割り切れる事象とYがqで割り切れる事象は独立になるわ。
逆にこれが成立するためには、
Yがpでもqでも割り切れない確率 = (st)^n
でなくてはいけなくて、これはつまり
1から6までの数の中でpもqも約数に持たないものの割愛 = st
であるということになるわ。
例えば、p = 3, q = 5 のときは
s = |{1, 2, 4, 5}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 4/6
t = |{1, 2, 3, 4, 6}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 5/6
1から6までの数の中で3も5も約数に持たないものの割愛
= |{1, 2, 4}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 3/6 ≠ (4/6)×(5/6)
だから条件が満たされないわ。
p = 3, q = 2 のときは
s = |{1, 2, 4, 5}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 4/6
t = |{1, 3, 5}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 3/6
1から6までの数の中で3も2も約数に持たないものの割愛
= |{1, 5}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 2/6 = (4/6)×(3/6)
だから条件が成立して独立になるわ
pやqが合成数、つまり4や6の場合は複雑になりそうね。 >>266
なるほど…
p,qは素数でm≧pqのとき
(m-[m/p])(m-[m/q])=m(m-[m/p]-[m/q]+[m/(pq)])
すなわち
[m/p][m/q]=m[m/(pq)]
が成り立てばm面体サイコロで
Yがpで割り切れることとYがqで割り切れること
が独立になるのかしら
p,qが素数でもなくてよいなら
[m/p][m/q]=m[m/lcm(p,q)]
なのかしら？ 気軽に質問しといてなんだけど、案外難しそうね
ごめんなさいね
整数mが与えられたとき
[m/p][m/q]=m[m/(pq)]
を満たす素数p,q(p≠q,pq≦m)は存在するか判定出来たりするのかしら
アタシにはちょっと難しすぎるわ… ひゃだ！漢字まちがっちゃった☆
確かにこれじゃ「かつあい」だわ。
ていうかなんで「わりあい」の変換候補で「割愛」も出てくるのよ！（選んだアタシが悪いけど）
>>269
前半については、p ≠ q ならばその通りだと思うわ。
（例えば p = q = 2, m = 4 なら式が成り立つけど独立じゃないわ。）
後半の
>p,qが素数でもなくてよいなら
>[m/p][m/q]=m[m/lcm(p,q)]
は単なる予想で書いたの？
これが正しいかどうかは分からないけど、とりあえず書いておくと、
pが合成数の場合、Yがpで割り切れない確率が s^n みたいな単純な形にならないから上の議論は通じないの。
例えば m = 6 として
Yが4で割り切れない確率 = {(2/3)n+1}(1/2)^n
Yが6で割り切れない確率 = (1/2)^n + (2/3)^n - (1/3)^n
になるわ。
>>270
とりあえず、mが異なる素因数pとqを持つときは m = kpq と表せるから
[m/p] [m/q] = kq ⋅ kp = kpq ⋅ k = m [m/(pq)]
となって成り立つわよ。（m = p^j の形のときはわからないけど。）
もしかして、[m/p][m/q]=m[m/(pq)] が成り立つのはこの場合に限るという可能性もあるかもね。
ところでこの京大の問題、1992年の第4問の丸パクリなのね。
http://server-test.net/math/php_q.php?name=kyoto&v1=1&v2=1992&v3=1&y1=1992&n1=1&y2=1992&n2=2&y3=1992&n3=3&y4=1992&n4=4&y5=1992&n5=5&y6=1992&n6=6&y7=0000&n7=0
過去問やってた人にはボーナス問題ね。 あ、ごめんなさい
nの回数で様子が変わるのはちょっとアタシの脳に負荷がかかりすぎるので
>[m/p][m/q]=m[m/lcm(p,q)]
も勝手にn=1だけの話にしちゃってたわスマンコ
なるほどね、素因数が2つあればそうなるわね
1992年に受験生だった人は今だいたい50歳
出題者が自分の頃の問題使ってるとか？ しかしアタシの感覚だと30年前の過去問はやらないというか
見つけるのも難しいくらいなんだけど
東大や京大は25ヶ年とか出てるからみっちり過去問演習するのかしら この問題、興味深いからもうちょっと考えてみたんだけど、たぶん次のことが成り立つと思うの。
1からmまでの数が等しい確率で出るサイコロをn回降って出るn個の目の積をYとする。
pとqは互いに素なmの約数で、いずれも素数の2乗を約数に持たない数とする。
このとき、pがYを割り切る事象とqがYを割り切る事象は独立である。
誰か証明してごらんなさいよ！ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
