その３頂点でのfの値を合計すると0になるってことよね。
zを任意の複素数として、zを重心に持つ正三角形ABCを考えるわ。
各辺を３等分した点の間に、各辺に平行になる直線だけを引くと
正三角形ABCは合同な9個の正三角形に分割されて、Zは3本の線が交わる点になるわね。
辺ABを1:2に内分する点をP、辺ACを1:2に内分する点をQとすると
△APQと△zPQは正三角形だから、条件から
f(A) + f(P) + f(Q) = 0 = f(z) + f(P) + f(Q)
したがって f(A) = f(z) となるわ。同様に f(B) = f(C) = f(z) よ。
最後に正三角形ABCに条件を使うと 0 = f(A) + f(B) + f(C) = 3f(z)
したがって f(z) = 0 ね。