今日電車に乗りながら思いを巡らせていたら閃いたわ
zをひとつの頂点とする正n角形を考えるの
他の頂点を A_1, …, A_{n-1} とするわ
この正n角形を z を中心に 2kπ/n 回転させることを考えるの
このとき各頂点 A_i が移る先を A_i(k) で表すことにするわね（A_i(0) = A_i よ）
回転後、元の正n角形のn個の頂点は z, A_1(k), …, A_{n-1}(k) に移るけど、これらも正n角形を作るから
f(z) + f(A_1(k)) + … + f(A_{n-1}(k)) = 0 よね
この式の k = 0 から k = n-1 までの総和をとると
nf(z)
+ f(A_1(0)) + f(A_1(1)) + … + f(A_1(n-1))
+ f(A_2(0)) + f(A_2(1)) + … + f(A_2(n-1))
+ …
+ f(A_{n-1}(0)) + f(A_{n-1}(1)) + … + f(A_{n-1}(n-1))
= 0
となるわ。ところが各 i について
A_i(0), A_i(1), …, A_i(n-1)
は A_i を z を中心に 2π/n ずつ回転させたものだから、これらは正n角形を作るから
f(A_i(0)) + f(A_i(1)) + … + f(A_i(n-1)) = 0 となるの
したがって、上の式は nf(z) = 0 となって f(z) = 0 が結論されるわ

正三角形とか正方形の場合は、つい正三角形や正方形に特有の性質を考えてしまうから
こういう一般的な議論は思いつきにくいのね