自己レスだけど、三角形についてはたぶん解明できたわ。
点Oを中心とする半径1の円に△ABCが内接しているとするわ。α = ⦣A, β = ⦣B, γ = ⦣C とおくわ。
OからA, B, C に直線を引くと、３つの二等辺三角形△OAB, △OBC, △OCAができるわ。
円周角の定理から ⦣AOB = 2γ（または、これが鈍角の場合は△OABの内部から見ると 2π− 2γ）ね。
OからABに垂線を下ろして直角三角形をふたつに分けると、AB = 2sinγであることがわかるわ。
同様に BC = 2sinα, CA = 2sinβ となるわね。（三角形の外接円だから単に正弦定理からと言っても良いけど）
⦣AOB + ⦣BOC + ⦣COA = 2πだから、問題はこう言い直せるの。
α, β, γ > 0, α+β+γ = π で sinα, sinβ, sinγがすべて有理数となるものはあるか？
これを解くわ。sinαとsinβが有理数だと仮定するわ。
sinγ= sin(π−(α+β)) = sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
もしcosαとcosβがともに有理数なら、sinγも有理数になるわね。
もしcosαとcosβのうち片方が有理数でもう片方が無理数なら、sinγは無理数になるわ。
最後にcosαとcosβがともに無理数の場合、sinαとsinβは有理数だから
0でない有理数p, qと平方数でない正の整数m, nがあってcosα = p√m, cosβ= q√n となるわ。
√mと√nが一次独立なら、sinγ= p sinα√m + q sinβ√n は無理数だし
√mと√nが一次従属なら、sinγ= r√mの形になるけど、これも無理数ね。
（以上の議論で sinα, sinβ, sinγ ≠ 0 であることに注意）
まとめると
sinα, sinβ, sinγがすべて有理数
⟺ sinα, sinβ, cosα, cosβがすべて有理数
⟺ αとβはピタゴラスの三角形に現れる角
ここで面白いことに気づいたの。この議論はα, β, γに関して対象だから
αとβがピタゴラスの三角形に現れる角なら、γもピタゴラスの三角形に現れる角であることになるわね！
結論を言うと、直角三角形でなくても、ピタゴラスの三角形に現れる角だけでできた三角形なら、条件を満たすってことね。
同様に考えると、四角形の場合は
α, β, γ, δ > 0, α+β+γ+δ = π で sinα, sinβ, sinγ, sinδがすべて有理数となるものはあるか？
五角形の場合は
α, β, γ, δ, ε > 0, α+β+γ+δ+ε = π で sinα, sinβ, sinγ, sinδ, sinεがすべて有理数となるものはあるか？
六角形の場合は
α, β, γ, δ, ε, ζ > 0, α+β+γ+δ+ε+ζ = π で sinα, sinβ, sinγ, sinδ, sinε, sinζがすべて有理数となるものはあるか？
のように言い直せるわね。