大学入試の数学の問題を解くゲイ2023
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0237陽気な名無しさん2023/08/04(金) 08:26:38.790
自然数nに対して、3^nを2^nで割った余りをa[n]とする。
数列{a[n]}(n=1,2,3,...)は有界か？


メルカリで見つけた問題。
0238陽気な名無しさん2023/08/04(金) 18:30:18.360
はあ……。
アタシまた難しすぎるだなんだ言われて怒られちゃうのね……。

憂鬱。
0239Usagi2023/08/04(金) 19:44:09.450
>>236
>ちなみに3辺の長さが矛盾していないか計算してみたけど、正しかったわ。
アタシもまずそこが気になって調べたのよ。
余弦定理とか知らない小学生だったら自分で確認できないから、すごくもやもやして問題を意味不明に感じると思うし
そもそも未知数を未知数のまま扱う代数的思考を要求しているから小学生にはハードル高いと思うの
こんなのできない今の小学生ヤバいとか言われてるんだけど、たぶん大人にやらせても正答率高くないと思うのw
0240Usagi2023/08/04(金) 21:37:12.430
>>237
メルカリで見つけたってどういうこと？　これ大学入試問題なの？

もし有界であると仮定すると、ある自然数mがあって、すべてのnに対して a[n] ≤ m となるわ。
3^n を 2^n で割った商の整数部分を q[n], 小数部分を d[n] とおくと
(3/2)^n = q[n] + d[n] そして 3^n = q[n] 2^n + a[n] だから d[n] = a[n]/2^n よ。
a[n] ≤ m だから n→∞ のとき d[n] ≤ m/2^n → 0
したがってある自然数 N があって n ≥ N であるすべての n に対して d[n] < 1/3 が成り立つわ。

ここで s を奇数として q[N] = (2^k)s と表したとき、すべての i ≥ 0 に対して、i ≤ k ならば
q[N+i] = (3/2)^i q[N]
d[N+i] = (3/2)^i d[N]
が成り立つことを帰納法で示すわ。
i = 0 のときは明らかね。
i < k のときは、帰納法の仮定から
(3/2)^{N+i} = q[N+i] + d[N+i] = (3/2)^i q[N] + (3/2)^i d[N]
だから
(3/2)^{N+i+1} = (3/2)^{i+1} q[N] + (3/2)^{i+1} d[N]
だけど、i+1 ≤ k だから (3/2)^{i+1} q[N] は整数、そして
(3/2)^{i+1} d[N] = (3/2) d[N+i] < (3/2)(1/3) = 1/2 < 1 だから
q[N+i+1] = (3/2)^{i+1} q[N]
d[N+i+1] = (3/2)^{i+1} d[N]
となって帰納法完了ね。

このことから
q[N+k] = (3/2)^k q[N] = (3/2)^k (2^k)s = (3^k)s
(3/2)^{N+k} = q[N+k] + d[N+k] = (3^k)s + d[N+k]
だけど (3^k)s は奇数だから
(3/2)^{N+k+1} = (3/2)((3^k)s - 1) + 1/2 + (3/2) d[N+k]
において (3/2)((3^k)s - 1) は整数、そして
1/2 + (3/2) d[N+k] < 1/2 + (3/2)(1/3) = 1
だから
q[N+k+1] = (3/2)((3^k)s - 1)
d[N+k+1] = 1/2 + (3/2) d[N+k]
となるわ。ところが 1/2 + (3/2) d[N+k] > 1/3 だから
d[N+k+1] > 1/3 となってこれは矛盾よ。
したがって {a[n]} は有界ではないわ。
0241陽気な名無しさん2023/08/04(金) 22:36:11.470
>>240
>(3/2)^{N+k+1} = (3/2)((3^k)s - 1) + 1/2 + (3/2) d[N+k]

これってどういう計算されてんですか？


何か良い問題がないかメルカリで模試や問題集を探してて見つけた問題。
数学オリンピックの問題だと思います。
0242Usagi2023/08/04(金) 23:54:14.560
ごめんなさい、そこ間違っていたわ。その上の式
(3/2)^{N+k} = (3^k)s + d[N+k]
の両辺に 3/2 をかけて
(3/2)^{N+k+1} = (3/2)(3^k)s + (3/2) d[N+k] = (3/2)((3^k)s - 1) + 1 + 1/2 + (3/2) d[N+k]
だから
q[N+k+1] = (3/2)((3^k)s - 1) + 1
d[N+k+1] = 1/2 + (3/2) d[N+k]
としなければいけなかったわ。
もっと簡単に解けるのかしら？
0244陽気な名無しさん2023/08/05(土) 09:44:21.510
うさぎはいつも問題解いてくれる優しい人だから>>153,>>221の出典も明かしておこうかねえ。
どう思う？今さら知りたい？
探すのに少し時間かかるけど…
0245Usagi2023/08/06(日) 14:06:15.340
>>243
なにやらマニアックな問題集あるのね
画像の右側が解答になっていたことに、ついさっきまで気付かなかったわ
気付いたけど読めないし欠けてるw
読めない記号があると思ったら ord っていう記号があるのね？
https://ja.wikipedia.org/wiki/指数_(初等整数論)
数学オリンピックって中高生向けじゃないの？
アタシも知らなかった記号だけど参加者には常識なのかしら
この模範解答を復元して理解するのにはちょっと時間がかかりそうだわ
でも割と複雑で、思いつきが必要そうな解答っぽいわね
正直、アタシもし「余りが10^2021より大きいことがあるか」って出題されてたら
「なにその謎の数は？」って思って解けなかったと思うわ
あなたの出題の「有界か」って聞かれ方だと、解答を書きあげるのにはそれなりに時間かかったけど
解き方の方針は割とすぐ思いついて、シャワー浴びながら「たぶんこんな感じでできそうだわ〜」って思ったわ
「有界である」の方が強い命題なのに、そっちの方が解きやすいって不思議よね

>>244
そうね、出典も知りたいけど、何より解き方教えてほしいわ
アタシの他にも問題に取り組んでみた人はみんな知りたがってると思うわ
時間がある時に書き込んでくれたら嬉しいわ
0246Usagi2023/08/06(日) 14:23:09.470
誤　「有界である」の方が強い命題なのに
正　「有界でない」の方が強い命題なのに
0247Usagi2023/08/06(日) 20:15:20.610
アタシちょっと早とちりしたみたい
ordは上のwikipediaに出てくるものとは違うみたいね
心眼使ってみたら、解答の一行目で ord を定義しているみたくて、おそらく

正の整数nに対し、nが2^kで割り切れるような最大の非負整数kを ord_2 n と書く

とか書かれているようだわ。疲れた。これ以上心眼使うの無理w
0248陽気な名無しさん2023/08/09(水) 20:48:12.850
ordの使い方なんてその時それぞれ定義するんじゃないの。
wikiでどう書いてあるのかは知らないけど。

その前にそもそも有界って概念自体が高校の範囲超えてるんじゃない？
0249陽気な名無しさん2023/08/09(水) 20:50:08.120
>>153,>>221って、解けそうで解けないって感じだから、
かなり良問だと思うんだけど、
出典は興味深いわ。
0250陽気な名無しさん2023/08/09(水) 20:56:45.940
アタシ今日家帰る途中に本屋寄って
受験生でもないのに最新の受験情報チェックしてたんだけど
今年の京大理系の1番の問2って相当出来悪かったのね

文系の1の問2はこのスレでも話題になったけど
簡単そうに見えるのに(実際アタシたちみたいな大人には簡単)実は受験生には解けない問題出すのって
なかなか出題のセンスがあるんじゃないかしら
0251Usagi2023/08/10(木) 15:36:18.690
>>250
それ>>23にあるやつね？

整式 x^2023 - 1 を整式 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 で割ったときの余りを求めよ.

>アタシたちみたいな大人には簡単
そうなの？　京大受験生にとって難しいなら世の中の９割以上の大人は解けないと思うけど

アタシが考えた解き方は
x^2023 - 1 = (x - 1)(x^2022 + x^2021 + … + x + 1)
で右側のかっこの中身を x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 で割ると x^2 + x + 1 余るから、
(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1 が答えになるかしら？
他の解き方もあるの？
0252Usagi2023/08/10(木) 16:16:18.130
x^2023 - 1 - (x^3 - 1)
= x^3 (x^2020 - 1)
= x^3 (x^{5⋅404} - 1)
= x^3 (x^5 - 1)(x^{5⋅403} + x^{5⋅402} + … + x^{5⋅2} + x^5 + 1)
で x^5 - 1 が x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 で割り切れることから
x^2023 - 1 を x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 で割った余りは x^3 - 1 である
というふうにも解けるわね。
でもこれは答えがわかってたからできただけで最初から思いつくのは難しいわ
0253陽気な名無しさん2023/08/11(金) 08:04:56.520
整式 x^2023 - 1 を整式 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 で割ったときの余りを求めよ.

こーいうのって、普通に高校でやった考え方だと、
x^2023 - 1 ＝（ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 ）Q(x)＋ax^3＋bx^2＋cx＋d
って置くんじゃないの？
それでx^4 + x^3 + x^2 + x + 1が０になるものを代入するのよね。
１の原始５乗根をζとおくと、これ及びこれの２乗、３乗、４乗が該当するから、
代入すると
ζ^3 -１＝aζ^3＋bζ^2＋cζ＋d
ζ -１＝aζ＋bζ^4＋cζ^2＋d
ζ^4 -１＝aζ^4＋bζ＋cζ^3＋d
ζ^2 -１＝aζ^2＋bζ^3＋cζ^4＋d
これすべて満たすようなa, b, c, dを求めればいいのよね。
って、見た瞬間にa＝１、b＝c＝０，d＝-1が満たすことはわかるから、
余りは x^3 - 1 って解くのが普通の高校生の解法ではないかしら。
でも高校生でζなんて使わないかしら。
0254Usagi2023/08/11(金) 14:12:43.040
そうね、そのやり方はめんどくさそうだからアタシは考えなかったんだけど
実際にやってみると、最後の連立方程式の答えを見た瞬間に思いつければできるのね
思いつけないと計算地獄になるけどw
「普通の」高校生の解法じゃない気がするわ
ネットで検索してみたらいろいろ出たけど、これ↓が数学的で良いと思ったわ
https://akiyamath.com/2023/03/kyoto_2023-1/
0255陽気な名無しさん2023/08/11(金) 16:23:21.540
>>254 のリンク先の方法って、
>>253 の方法と基本的な方針は同じだけど、
革新的に洗練させたって感じ。
0256陽気な名無しさん2023/08/11(金) 20:40:35.340
アタシたち数学好きの大人には、って意味ね
>>253のようにやって身動きとれなくなった受験生が多かったらしい
>>251-252のような柔軟な式変形が案外出来ない、ってことなのよね
0257陽気な名無しさん2023/08/12(土) 13:40:35.130
nを自然数とする。1個のさいころをn回投げ、出た目を順に
X[1],X[2],……,X[n]
とし、n個の数の積X[1]X[2]……X[n]をYとする。
p,qはどちらも1以上6以下の整数とする。
Yがpで割り切れるという事象とYがqで割り切れるという事象が
独立となるためのp,qに関する必要十分条件は何か？

>>23の3番を見てふと気になったこと
0258陽気な名無しさん2023/08/12(土) 14:43:14.000
と、いうか
独立となるためのn,p,qに関する必要十分条件は何か？
と質問すべきだったわ
0260陽気な名無しさん2023/08/12(土) 18:16:13.070
あ、n=1は別か…。
0261陽気な名無しさん2023/08/12(土) 22:10:39.340
違うか！
京大も独立ではないね。
勘違いごめんなさい！！
0262陽気な名無しさん2023/08/14(月) 07:20:26.380
>>257

>>23 の3番は難しくないのに、
こうやって一般化して独立性まで考えるとなると
とたんに難しくなるわね。
難しくなるというか、確率の問題で独立性について
あまり扱いなれていないからそう感じるのかしら。

どちらにしても独立について復習するいい問題ね。
0263陽気な名無しさん2023/08/14(月) 08:23:47.150
アタシ案外差がついたんじゃないかという気がするわ
本番中に(2)を3で割り切れる確率×5で割り切れる確率とした人けっこういそうな気がするの
0264陽気な名無しさん2023/08/14(月) 10:05:58.80S
(2)は、
3でも5でも割りきれない確率と、
3で割りきれる確率、5で割りきれる確率
を足して、1を引けばいいんでしょ？
0265Usagi2023/08/15(火) 02:02:06.500
>>264
それでいいと思うわ
がんばって表作ってみたんけど、うまく表示されるかしら？

　　　　　　　　　|　５で割り切れる　|　５で割り切れない　|
—————————————————————————————
３で割り切れる　　|　　　　ア　　　　|　　　　イ　　　　　|
—————————————————————————————
３で割り切れない　|　　　　ウ　　　　|　　　　エ　　　　　|
—————————————————————————————

15で割り切れる確率 = ア
= エ + (ア + イ) + (ア + ウ) - (ア + イ + ウ + エ)
= 3でも5でも割り切れない確率 + 3で割り切れる確率 + 5で割り切れる確率 - 1

となるわね。でも次のように考えた方が簡単かしら？

15で割り切れる確率 = ア
= 1 - (イ + ウ + エ)
= 1 - ((ウ + エ) + (イ + エ) - エ)
= 1 + エ - (ウ + エ) - (イ + エ)
= 1 + 3でも5でも割り切れない確率 - 3で割り切れない確率 - 5で割り切れない確率
= 1 + (3/6)^n - (4/6)^n - (5/6)^n
0266Usagi2023/08/15(火) 03:07:56.270
>>257
とりあえず、pとqのいずれも1または素数の場合は、
s = 1から6までの数の中でpを約数に持たないものの割愛
t = 1から6までの数の中でqを約数に持たないものの割愛
とおいたとき、
1から6までの数の中でpもqも約数に持たないものの割愛 = st
となることが必要十分条件でいいかしら？

上の表が p = 3, q = 5 のケースと思ってもらうと

Yがpでもqでも割り切れる確率 = ア
= 1 - (ウ + エ) - (イ + エ) + エ
= 1 - Yがpで割り切れない確率 - Yがqで割り切れない確率 + Yがpでもqでも割り切れない確率
= 1 - s^n - t^n + (st)^n
= (1 - s^n)(1 - t^n)
= Yがpで割り切れる確率 × Yがqで割り切れる確率

となるから、Yがpで割り切れる事象とYがqで割り切れる事象は独立になるわ。

逆にこれが成立するためには、

Yがpでもqでも割り切れない確率 = (st)^n

でなくてはいけなくて、これはつまり

1から6までの数の中でpもqも約数に持たないものの割愛 = st

であるということになるわ。

例えば、p = 3, q = 5 のときは
s = |{1, 2, 4, 5}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 4/6
t = |{1, 2, 3, 4, 6}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 5/6
1から6までの数の中で3も5も約数に持たないものの割愛
= |{1, 2, 4}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 3/6 ≠ (4/6)×(5/6)
だから条件が満たされないわ。

p = 3, q = 2 のときは
s = |{1, 2, 4, 5}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 4/6
t = |{1, 3, 5}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 3/6
1から6までの数の中で3も2も約数に持たないものの割愛
= |{1, 5}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 2/6 = (4/6)×(3/6)
だから条件が成立して独立になるわ

pやqが合成数、つまり4や6の場合は複雑になりそうね。
0267陽気な名無しさん2023/08/15(火) 07:59:21.640
割愛ってなんかステキね。
割合を愛しているのね。
0268陽気な名無しさん2023/08/15(火) 10:13:40.000
割愛ってふつうはキャッツアイと読まないかしら
0269陽気な名無しさん2023/08/15(火) 10:45:53.460
>>266
なるほど…
p,qは素数でm≧pqのとき
(m-[m/p])(m-[m/q])=m(m-[m/p]-[m/q]+[m/(pq)])
すなわち
[m/p][m/q]=m[m/(pq)]
が成り立てばm面体サイコロで
Yがpで割り切れることとYがqで割り切れること
が独立になるのかしら

p,qが素数でもなくてよいなら
[m/p][m/q]=m[m/lcm(p,q)]
なのかしら？
0270陽気な名無しさん2023/08/15(火) 10:51:04.930
気軽に質問しといてなんだけど、案外難しそうね
ごめんなさいね

整数mが与えられたとき
[m/p][m/q]=m[m/(pq)]
を満たす素数p,q(p≠q,pq≦m)は存在するか判定出来たりするのかしら

アタシにはちょっと難しすぎるわ…
0271Usagi2023/08/16(水) 00:58:57.410
ひゃだ！漢字まちがっちゃった☆
確かにこれじゃ「かつあい」だわ。
ていうかなんで「わりあい」の変換候補で「割愛」も出てくるのよ！（選んだアタシが悪いけど）

>>269
前半については、p ≠ q ならばその通りだと思うわ。
（例えば p = q = 2, m = 4 なら式が成り立つけど独立じゃないわ。）

後半の
>p,qが素数でもなくてよいなら
>[m/p][m/q]=m[m/lcm(p,q)]
は単なる予想で書いたの？
これが正しいかどうかは分からないけど、とりあえず書いておくと、
pが合成数の場合、Yがpで割り切れない確率が s^n みたいな単純な形にならないから上の議論は通じないの。
例えば m = 6 として
Yが4で割り切れない確率 = {(2/3)n+1}(1/2)^n
Yが6で割り切れない確率 = (1/2)^n + (2/3)^n - (1/3)^n
になるわ。

>>270
とりあえず、mが異なる素因数pとqを持つときは m = kpq と表せるから
[m/p] [m/q] = kq ⋅ kp = kpq ⋅ k = m [m/(pq)]
となって成り立つわよ。（m = p^j の形のときはわからないけど。）
もしかして、[m/p][m/q]=m[m/(pq)] が成り立つのはこの場合に限るという可能性もあるかもね。

ところでこの京大の問題、1992年の第4問の丸パクリなのね。
http://server-test.net/math/php_q.php?name=kyoto&v1=1&v2=1992&v3=1&y1=1992&n1=1&y2=1992&n2=2&y3=1992&n3=3&y4=1992&n4=4&y5=1992&n5=5&y6=1992&n6=6&y7=0000&n7=0
過去問やってた人にはボーナス問題ね。
0272陽気な名無しさん2023/08/16(水) 09:50:59.970
あ、ごめんなさい
nの回数で様子が変わるのはちょっとアタシの脳に負荷がかかりすぎるので
>[m/p][m/q]=m[m/lcm(p,q)]
も勝手にn=1だけの話にしちゃってたわスマンコ

なるほどね、素因数が2つあればそうなるわね

1992年に受験生だった人は今だいたい50歳
出題者が自分の頃の問題使ってるとか？
0273陽気な名無しさん2023/08/16(水) 09:56:43.830
しかしアタシの感覚だと30年前の過去問はやらないというか
見つけるのも難しいくらいなんだけど
東大や京大は25ヶ年とか出てるからみっちり過去問演習するのかしら
0274Usagi2023/08/17(木) 22:08:07.070
この問題、興味深いからもうちょっと考えてみたんだけど、たぶん次のことが成り立つと思うの。

1からmまでの数が等しい確率で出るサイコロをn回降って出るn個の目の積をYとする。
pとqは互いに素なmの約数で、いずれも素数の2乗を約数に持たない数とする。
このとき、pがYを割り切る事象とqがYを割り切る事象は独立である。

誰か証明してごらんなさいよ！
0275陽気な名無しさん2023/08/18(金) 10:19:04.170
いつも穏やかなうさぎが、
こんな挑発的な発言するの
珍しいわ！
0276陽気な名無しさん2023/08/19(土) 13:27:42.290
意外と難しいし、なぜか品格を感じるわ
アタシには解けないかも…
0277Usagi2023/08/19(土) 15:52:23.090
アタシも証明を書いたわけじゃないんだけど、中国の剰余定理を使えば言えるんじゃないかなって気がするの
でも証明をうまく書くのなかなか難しそうだから
いつもアタシをいぢわるな問題で苦しめてくる姐さん達におまかせして、鮮やかに証明してもらおうと思ったの☆
ま、もし間違いだったら反証してちょうだいw
0278Usagi2023/08/21(月) 21:57:31.330
>>274では、素数の2乗を約数に持たないという条件を書いたけど
よく考えたらこの条件要らないと思うわ。だからこうよ↓

mを自然数とし、pとqを互いに素なmの約数とする。
1からmまでのすべての自然数が等しい確率で出るサイコロをn回振って出るn個の目の積について、
これをpが割り切る事象とqが割り切る事象は独立である。

そしてたぶんだけどね、独立になるのはこの場合に限る気がするの。
つまり、pとqが互いに素なmの約数であることが独立になるための必要十分条件だと予想するわ。
0279Usagi2023/08/22(火) 21:52:51.670
このまま誰も解かないかもしれないし、自分で証明書いてみたわw
でも結構長くて記号や式が込み入っているから、ここに書き込むのすごく大変になるし
できたとしても、読みにくくて理解困難になると思うのよ。
だから、ちょっと恥ずかしいけどPDFにしてアップロードしたわ
これなら、もうしばらく自分で考えたい人はそのまま続けてもらえばいいしね☆
ちゃんと証明できているといいんだけど…。
https://9.gigafile.nu/1130-b5d2994370b66b6861132080b7b0d3b5e
0280陽気な名無しさん2023/08/23(水) 06:26:49.200
大作ね…
理解出来るかわかんないけど、勉強させていただくわ
0281Usagi2023/08/28(月) 22:39:17.520
ちょっとだけ修正しといたわ。
r_iが0以上p未満ってことを書き加えたのと、2頁目の式変形の下から２行目を書き加えただけだけど。
https://86.gigafile.nu/1206-db821888cb105c2b823d6343814085b9c

ていうかアタシかなり頑張って書いたのに反応薄くてちょっと寂しいわ
関係ないけどアタシ今日誕生日だったの…
0282陽気な名無しさん2023/08/28(月) 23:35:57.910
あらおめでとう
何歳になったの？
0283Usagi2023/08/29(火) 01:01:31.660
ありがとう。
先入観とか持たれるの嫌だしミステリアスでいたかったけど
アタシもうさんざん書き込んでていまさら先入観もクソもないだろうからいうと
年は、アタシが大学受験したとき加法定理を証明せよって問題が出て
何これ馬鹿なの死ぬのって思ったって言えばわかるかしら。
だってアタシ加法定理なんてもともとうろ覚えで、自信なくなったらいつも自分で証明して使ってたからね。
ちなみに他の問題は全然できなかったわw

誰か証明にコメントちょうだいよ。
なるほど、間違ってる、わからない、当たり前のこと書いていい気になるなブス！
なんでもいいからw
0284陽気な名無しさん2023/08/29(火) 08:35:59.340
あなた東大受験したのね。
それだけでレベルの高さがわかるわ。
証明も素人が余暇で気軽にコメントするには
レベルが高いわよ。
よっぽど暇でじっくり読み込める人で、
かつ結構なレベルの人でないと
この証明にコメントするのは難しいわ。

とりあえずこれはこれで反応する人を待ちつつ、
一方で普通の大学受験レベルの問題でもしないと
このスレ進まないのではないかしら。
数学オリンピックレベルの問題も、
高校の範囲内とはいえ、
スレが進みにくい高難度になるのではないかしら。

例えば加法定理を証明せよ、ってこのスレでやったら、
何通りかの証明が出てくるかもしれないわよ。
0285Usagi2023/08/29(火) 19:23:16.980NIKU
証明一見長いけど、言ってることはシンプルなの。
補題では、各A_iにmod pによる同値関係を与えることができるけど
その直積はA_1×…×A_n上の同値関係になるから、それでA_1×…×A_nを割った商集合をSとしたの。
B_iの方にも同じことをしてできる商集合をTとすると
SとTの間に、各要素のサイズの全体に対する割合とpで割った時の余りを保存する同型対応があると言ってるだけ。
本題のサイコロの話は、この補題と中国の剰余定理からの帰結よ。
同値類はもとになる集合を過不足なく分割するから、サイズを計算するときは単純な足し算になるのがポイントよ。
（高校生に理解できないかもだけど、出てきた話題を自分なりに考察してまとめたらこうなっただけだから勘弁してね）

「加法定理を証明せよ」をググってみたら、余弦定理を使ったややこしい証明ばっか出てきてびっくりしたわ。
そのやり方をする場合、余弦定理は証明しなくてもいいのかしらね？
0287Usagi2023/08/29(火) 21:51:21.410NIKU
>>286
この問題、友達が見せてきたことがあった気がするけど
こんなの解けるわけないよねwって流してた気がするわ
アタシは基本的に過去問ほとんどやらなかったの
だってどうせ同じ問題出ないだろうし
難しい問題は解き方思いつかなかったらしょうがないわよね〜て思ってたから

もし今受験勉強するなら違うでしょうけど
今はインターネットや参考書の情報が豊富で、問題のパターンや攻略法が整理されてるからね
0288陽気な名無しさん2023/08/29(火) 22:23:43.090NIKU
加法定理の証明ってアタシ高校では二点間の距離の公式使って証明習ったわ。
あと、オイラーの公式使った証明が出てくるかと思ったけど、
オイラーの公式の証明にマクローリン展開が必要なのね。
大学入試では使えないかしら。
それに複素数乗が指数定理成り立つことの証明って、
もしかして加法定理使ってたかしら？
0289Usagi2023/08/30(水) 01:40:11.890
あたしは基本的に↓みたいな方法で証明してたと思うわ
https://methodology.site/trigonometric-addition-formulas/
このベクトル使った方法だとややこしい計算不要で図形的に意味もわかりやすいの
cosとsinの式が同時に出るしね☆

オイラーの公式とかマクローリン展開は大学入試では基本ダメでしょ
もっともこの東大の問題の場合、まずsinとcosを定義せよって言って、
それからその定義にもとづいて加法定理を証明せよって言ってるの。
だからsinとcosをマクローリン級数で定義して、それを使って加法定理を証明するなら筋は通るけど
でも複素関数とか級数の収束を議論しなきゃいけなくなっちゃうわね

指数定理っていうか指数法則よね？
気になったから本で調べたら、加法定理は必要ないわ。
e^xのマクローリン級数を使うと
e^(x+y) = 1 + (x+y)/1! + (x+y)^2/2! + (x+y)^3/3! + …
だけど、この級数はxとyがどんな複素数でも絶対収束するから項の順番を変えてもよいから、yのべきで整理して
e^(x+y) = a_0(x) + a_1(x) y + a_2(x) y^2 + a_3(x) y^3 + …
となるとするわ。ここでa_i(x)はxのべき級数になっているわ。
xを固定して両辺をyについてn階微分してy = 0 とおくと
e^x = n! a_n(x)
となるから、a_n(x) = e^x/n! ね。したがって
e^(x+y) = e^x (1 + y/1! + y^2/2! + y^3/3! + … ) = e^x e^y
となるの！
0290Usagi2023/08/30(水) 07:00:38.540
「この級数は」は正しくは「これを展開した級数は」
0291陽気な名無しさん2023/08/30(水) 08:11:42.120
そうね、指数定理ではなく指数法則だったわ。
オイラーの公式は大学受験を考えなければ、
図形的な証明とは全く異なる証明として大丈夫そうね。
アタシの高校の授業では、α＞βとして座標平面上に
A(cosα, sinα)、B(cosβ, sinβ)、C(cos(α-β), sin(α-β))
とするとE(1, 0)に対して三角形OABと三角形OCEが合同だから、
AB=CEが成り立つということで、
この両辺をそれぞれ二点間の距離の公式に当てはめて
等式で結んで、まずcos(α-β)の公式を証明したわ。
あとはαにπ/2-α代入したりして芋づる式に導いたわ。
普通高校の授業ってそうやってるものだと思ったけど、
違うのかしら？

オイラーの公式の証明法は基本的に大学入ってからよね。
でもドモアブル知っていれば二倍角や三倍角の公式
覚えてなくてもすぐ導けるから便利だったわ。
0292Usagi2023/08/31(木) 00:50:32.850
確かにそのやり方でもできるわね
でも2乗を計算したり後でαに別のものを代入したりで面倒だし
なによりも、結果として出る式が計算してみたらこうなったってだけで意味がわからないから
あまり良いやり方に思えないんだけど、その方法が一般的なのかしら？
アタシは高校でどう習ったとか教科書にどう書いてあったかとか覚えてないの

ベクトルのやり方は、(cos(α+β), sin(α+β)) が
e_1 = (cosα, sinα) と e_2 = (-sinα, cosα) を基底とする座標系では
(cosβ, sinβ) で表されるっていうことを用いているから、意味がよく分かるの
e_1とe_2の縦ベクトルを横に並べてできる R = (e_1 e_2) は角度αの回転を表す行列になって
(cos(α+β), sin(α+β)) = R (cosβ, sinβ) となるのよね
0293陽気な名無しさん2023/08/31(木) 06:35:52.140
一般的だとおも
0294陽気な名無しさん2023/08/31(木) 06:36:49.470
あら、途中で書き込んじゃった。
やっぱり下書きしてからじゃないとダメね。
0295陽気な名無しさん2023/08/31(木) 06:48:35.750
今度はちゃんと下書きしたわ。
改めて。

>>291 に書いた方法は、なんといっても
あの偉大な小平邦彦先生が監修している東京書籍の教科書に
載っていた方法だから、少なくとも当時は一般的だったと思うわ。
（当時っていっても、高2の数学が
代数・幾何と基礎解析に分かれていた時代だけどね）

それでベクトルのやり方って、鮮やかで簡潔ね。
驚いちゃったわ。
でも一次変換知っていないと駄目ね。
最近の高校生は一次変換やってないんでしょ。
あたしゃ代数・幾何で一次変換やったけどね。
一次変換が高校の範囲から外れたのは本当に残念よね。
0296陽気な名無しさん2023/09/01(金) 07:32:49.380
たしかに中国剰余定理を使うと当たり前のことだと思えるようになってきたわ
0297Usagi2023/09/03(日) 04:07:32.780
>>295
そうね、まあ、一次変換は表に出さなくても>>289のリンク先にみたいに書けばいいのよね
実際、説明なしで回転行列を使ったら証明としてはダメだと思うわ
あたしの時は、行列の計算方法は教えるのに、それが一次変換であるという数学的意味は教えないというクソみたいな課程だったのw
今度の新課程では行列が「数学的な表現の工夫」という項目で紹介されるけど、入試では出されない感じらしいわ
ちなみに高校で一次変換があった頃って、どのくらいのことをやってたのかしら。
3×3とか、2×2以外の行列もやったの？ 固有値、階数、核とかもやったの？
0298Usagi2023/09/03(日) 04:32:16.530
>>296
そうよね？
1からmまでの中に、pで割った余りとqで割った余りのすべての組み合わせの数が同じ割合で存在しているから
サイコロを一回振って出る目について、それをpで割ってr余る確率とqで割ってs余る確率は、どのrとsについても独立よね。
だから複数回振って目の積をとっても同じことになるわよね。

逆に、pとqが互いに素なmの約数でない場合、どこかで割合が均等でなくなりそうだから
一般的には、独立でなくなると予想できると思うの。
それを証明するのはパスだけどw
0299Usagi2023/09/03(日) 04:35:43.260
上の質問は3×3とか3×2とか2×3とかも出てきたのって意味ね
0300陽気な名無しさん2023/09/03(日) 07:19:25.130
>>297
行列や一次変換やったといっても、
2×2だけよ。それより大きいのは紹介だけかな。
行列の足し算掛け算と、単位行列逆行列
くらいまでやったかしらねえ。
固有値はやってなかったと思うわ。
一次変換は座標軸が変わるイメージが
面白かったけど、大部分の生徒は、
イメージなんてなくてただ教えられた計算を
訳もわからずやっていたわ。
イメージがないと計算だけしても
面白くないと思うんだけどね。
0301陽気な名無しさん2023/09/03(日) 16:25:53.680
m,nを自然数、p,qを互いに素なmの約数とし、
M=Σ[x[1]=1～m]Σ[x[2]=1～m]…Σ[x[n]=1～m]cos(2πx[1]x[2]…x[n]/m)
P=Σ[x[1]=1～m]Σ[x[2]=1～m]…Σ[x[n]=1～m]cos(2πx[1]x[2]…x[n]/p)
Q=Σ[x[1]=1～m]Σ[x[2]=1～m]…Σ[x[n]=1～m]cos(2πx[1]x[2]…x[n]/q)
とする。
PQ/Mの値を求めよ。
0302陽気な名無しさん2023/09/03(日) 17:09:29.670
ちょっと、うさぎ！！
小平邦彦先生のウィキペディア読んでたら小平先生が「初等幾何学の重要性を主張していた。」って書いてあったわよ！
0303Usagi2023/09/04(月) 04:49:28.810
>>300
イメージできないことを訳もわからず計算させられるのは辛いわよね
大部分の生徒にとってそうだったなら、高校の課程から無くなった方が良かったとも考えられるわね
でも数学って最初イメージできないことも具体例を計算していくうちにイメージができてくるってこともあるから
一概にそういうのが悪いとも言えないところもあるわよね
あたしも群の商群なんか、具体例を自分でいろいろ作ってみてイメージができてきたから。
思ったけど、昔と違って今はPCでいろいろな関数のグラフとか一次変換の様子とかをグラフィックで簡単に見せられるんだから
そういうのを中高で活用すれば生徒がイメージしやすくなって良さそうじゃないかしら
0304Usagi2023/09/04(月) 04:57:42.670
>>301
あなたさ、これもう完全に大学入試とかのレベルじゃないでしょw　いくらなんでもこれはどうなの？
そもそも問題ちゃんと成立しているのかしら。
例えば n = 1 で m ≥ 2 なら、M = Σ[x=1～m] cos(2πx/m) = 0 となるから、PQ/Mは定義されなくない？
0307Usagi2023/09/05(火) 00:07:21.230
>>302
そういえば、しばらく前に小平先生の「幾何への誘い」っていう文庫本を買ったのに
最初の方だけ読んで放置していたの思い出したから、発掘してきたわw

小平先生が初等・中等教育についても熱心だったなんて知らなかったわ。
ウィキペディアのおかげでいろいろわかったからちょっとメモ。
1957年にソ連が世界初の人工衛星打ち上げに成功して、冷戦中の米国は対抗意識で焦って
科学力増大のために高度な数学を初等・中等教育に持ち込むNew Mathという教育を始めたそうなの。
日本もその影響で、70年代の課程が高度な内容も取り入れて詰め込み教育になったらしいわ。
小平先生はこの動きに反対だったって、↓の論文の８頁目から書いてあるわ。
https://mylibrary.toho-u.ac.jp/webopac/bdyview.do?bodyid=TD35120616&elmid=Body&fname=35120616_cover.pdf
当時は小学生に集合論を、中学生にジョルダンの閉曲線定理を教えようとしていたって。
そんな定理アタシも知らなかったし、専門家にしか理解できないものをどう教えるのかしらw
でも小平先生の言葉が引用されているんだけど、僭越ながらアタシ完全には同意できないの。
歴史を辿らずに、後でできた考え方を先に学んだ方が良いこともあると思うのよね。
それに無限集合を扱わないなら集合論を教えても意味ない、は違うと思うわ。
>>265みたいに場合の数を考える時も集合で考えないと頭を整理できないし。
有限群を考える時は無限集合なんて出てこないけど、商群は集合という概念がなければ定義できないわ。

結局、70年代の課程が無理すぎたので、反動で80年代以降「ゆとり」になっていったらしいわ。
でも経緯を考えると別に「ゆとり」になったのではなく、単にふつうに戻っただけとも言えそうね。
0308陽気な名無しさん2023/09/05(火) 00:22:45.020
一時期の詰め込み教育はアタシも反対だわ。
中学校くらいで位相やったって聞いたけど、
位相なんて数学科出たアタシでも、
未だによくわかってないわ。
0309Usagi2023/09/05(火) 00:23:03.230
一次変換も、70年代に導入されたけど結局は無理もしくは意味ないと判断されて消えたってとこじゃないかしら
0310陽気な名無しさん2023/09/05(火) 00:25:55.290
一次変換は80年代後半に高校二年生でやったわ。
イヤだわ、トシがバレるわ〜
0311陽気な名無しさん2023/09/05(火) 00:28:12.670
というか、一次変換が無くなったときに、
行列自体全部無くなったんだっけ？
一次変換やらないなら行列やっても意味ないわよね？
0312Usagi2023/09/05(火) 00:54:49.910
入試が1997〜2005年の人は行列は習うのに一次変換は習わない意味不明な課程で、アタシはこれだったの。
たしか行列は、これ使って連立一次方程式解けるよね、みたいなしょうもない紹介のされ方だった気がするわ。
あと計算すると確かに成り立つよねって、ケイリー・ハミルトンの定理が教科書にあったと思うけど
まったく意味がわからなかったわねw
0313陽気な名無しさん2023/09/05(火) 07:32:39.040
ケイリーハミルトンって、固有値に関する固有多項式の話よね。
固有値って固有ベクトルとセットで一次変換がないと意味わからないのは当然よね。
固有値固有ベクトル一次変換なしでケイリーハミルトンやるって、
本当に意味が分からないわ。
0314Usagi2023/09/05(火) 18:47:25.60F
>>313
そうよね。しかも固有多項式 = 0 が重根を持たないなら固有ベクトルたちが一時独立になるから
ケイリー・ハミルトンの定理が成り立つことは簡単に理解できるけど
そうじゃない場合についてはアタシもよく知らないし、かなり高度な話よねw
0316陽気な名無しさん2023/09/07(木) 21:27:46.950
ねえ、さっきヨッシーの掲示板見たら回答が付いてたんだけど
読んでたらアタシひっどい書き間違えしてたのに気付いたわ

>M=Σ[x[1]=1～m]Σ[x[2]=1～m]…Σ[x[n]=1～m]cos(2πx[1]x[2]…x[n]/m)

これ、正しくは
M=Σ[x[1]=1～m]Σ[x[2]=1～m]…Σ[x[n]=1～m]cos(2πx[1]x[2]…x[n]/(pq))
だったわ！ごめんね！！
0317陽気な名無しさん2023/09/07(木) 23:16:33.880
あんたそっちの掲示板にずっといな。
0318Usagi2023/09/10(日) 23:56:55.350
まあそう言わずに、数学好きのゲイっていうマイノリティ中のマイノリティ同士なんだから、仲良くしていきましょう。

>>316
掲示板見たわ。この黄桃さんって方すごいわね。なるほど、
a = (x[1]…x[n-1]がpで割り切れる場合の数)
b = (x[1]…x[n-1]がqで割り切れる場合の数)
c = (x[1]…x[n-1]がpqで割り切れる場合の数)
とおくと、P = ma, Q = mb, M = mc となるのね。
ここで上で考察した確率の独立性から
c/m^{n-1} = a/m^{n-1} × b/m^{n-1}
だから、ab/c = m^{n-1}
したがって PQ = (ma)(mb)/(mc) = mab/c = m^n なのね？
よくこんなの思いついたわね。美しいと思うわ！
0319Usagi2023/09/11(月) 01:44:24.560
あ、PQじゃなくてPQ/Mね
0322Usagi2023/09/22(金) 00:48:53.420
>>321
ほとんどの人に理解できない書き方するのやめなさいよ
ふつうに言葉で書けば通じるのに。相手にしてもらえない可能性が高くなるだけよ？
それに、どういう意図の書き込みなのかもわからないわ。
あなたは答えを知っていて、それを私たちに問題として出題しているのか
それとも京大の問題を見て思いついた疑問を書いただけで、あなたもまだ答えを知らないのか
どっちなの？

ついでに言えば、|A|=∞ は記号の正しい使い方じゃないわ
そんなに記号を使いたいなら |A|=ℵ_0 と書きなさい！
0323陽気な名無しさん2023/09/22(金) 01:37:38.470
アタシも >>321 には物言いをつけたかったのよね。
でも何て言っていいか迷ってたから、うさぎが言ってくれて良かったわ。
g|fなんて書き方、高校までの範囲では出てこないわよね。
素朴な疑問だけど、アレフゼロなんて記号、スマホでも出せるのかしら？
どのみち加算無限とか連続無限なんて概念自体高校までの範囲を越えてると思うけど。

元ネタが大学入試問題だったとしても、それに手を加えて大学入試問題レベルを越えたら、
それはもうこのスレの対象範囲を越えてると思うわ。
大学入試問題そのものを出すか、手を加えるにしても大学入試問題レベルを越えない範囲にして欲しいものだわ。

大学入試問題レベルでも、ここで出されるのはハイレベルなものが多いから、
たまには難関大学ではない中堅レベル大学の入試問題程度なんかもあっていいと思うわ。
簡単な問題もたまにはないと、本当にうさぎとか一部の人しか解けないわよ。
0324陽気な名無しさん2023/09/22(金) 12:53:19.000
もう10日近く誰も書き込まないから、このまま誰も書き込まないとスレが落ちてしまって、
うさぎにもうさぎの腰巾着の>>323にも会えなくなって淋しくなるから、
以前京大の問題を解いたときにふと気になったことを、質問と出題を兼ねて書き込んだだけなのに、
なぜこんなに詰問され、叩かれなければならないの？
全くの純粋な善意から書き込んだのよ？
>>257だって同じようなスタンスの書き込みなのに、何故アタシだけ論難されなければならないのかしら？
0325Usagi2023/09/23(土) 05:00:28.530
>>324
スレあげてくれてありがとうね。傷ついたならごめんなさいね。
でも人のことを腰巾着だとか言うのは良くないわよ。仲良くしてくれているだけなんだから。
別にあなたをハブろうとして書いたわけじゃないの。
>>257は誰が読んでも理解できるように書かれているじゃない？
それに、自分でもまだ答えを出していない疑問だというスタンスもわかるわ。
>>321は違うのよ。言葉が足りなすぎるの。ていうか言葉がないw
これじゃ数学科に行ったような人にしか理解できないでしょ。それって人口の何%かしら？
大学で数学科以外の理系専攻だった人も分からない人が大部分だと思うわよ。
あたしだって前スレで ℝ[x] みたいな記号を知ったから分かったけど、もともと知らなかったし。
前スレを見ていなくて今のスレから見る人だっているでしょう？
だから、ふつうの言葉で書いておけば理解して疑問に答えてくれるかもしれない人でも
説明なしの記号を使っているせいでそうしてくれない、という可能性があるのよ。
それって、あなたにとっても損でしかないと思うけど、どうかしら？
確かにこのスレによく書き込んでいるのは数人だろうけど
その人たちだけに通じればいいって考えは排他的すぎるわよ。
こんな書き方が当然になったら、新しく参加する人がいなくなってしまうわ。
それに、あたしだけかもしれないけど、言葉がないと人間と会話してる感じがしないから
あまり相手をする気にならないのよ。

そして、まだ自分でも答えを出していない疑問なのか、それとも答えを知っている問題を出題しているのか
ここのスタンスをはっきりさせるのも重要よ。
前者の場合なら、まとまりきっていなくても思ったことを>>266みたいに気軽に書き込めるわ。
けれど後者の場合なら、見た目からして難しそうだし、あたしとしては
これまでの流れからして、超絶難問でテストされているように感じてしまうのよ。
そう思うと居心地よくなし、間違ったり解けなかったりすると意地悪コメント来るかもしれないと
身構えちゃって、完璧に解かないだめと思って気軽に書き込めないのよ。

第一あなたの問題、京大の問題を一般化してるのはわかるけど、一気に二段階一般化してて難しすぎるわ。
つーか、元の京大の問題がすでに難しいでしょw ネットで調べると最難レベルという評判よ。
そこから二段階難しくするってw
とりあえず一段階だけ一般化した問題については考えてみたから、書いておくわ。
0326Usagi2023/09/23(土) 05:06:02.400
問題
f(x)とg(x)は実数係数のxの整式で、すべての正の整数nに対してf(n)/g(n)は整数である。
このとき、f(x)はg(x)で割り切れることを示せ。

解答
g(x) = 定数の場合はf(x)はg(x)で割り切れるから、g(x)の次数が1以上の場合を考えるわね。
f(x)をg(x)で割った商をq(x)、余りをr(x)とすると f(x) = q(x)g(x) + r(x) となるわ。
q(x)の次数に関する帰納法で r(x) = 0 を示すわ。
ただし便宜上、q(x) = 0 の場合はq(x)の次数を -1 と考えることにするわね。

q(x)の次数が -1 の場合は、f(x)/g(x) = r(x)/g(x) となるわ。
r(x)の次数をmとすると、これはg(x)の次数より小さいから
r(x)/g(x)の分子と分母をそれぞれx^mで割ったものを考えると
n → ∞のとき、分子 → 定数、分母 → ∞ だから、r(x)/g(x) → 0 となるわ。
したがって、もしr(x) ≠ 0 なら十分大きい整数Nに対して 0 < |r(N)/g(N)| < 1 となって
f(N)/g(N) = r(N)/g(N) が整数であることに矛盾するわ。したがって r(x) = 0 よ。

では命題が次数kの場合まで成り立つするわ。
f(x)とg(x)の次数をそれぞれ s, t とすると q(x) の次数は s-t だから
これが k+1 となる場合、つまり s-t = k+1 の場合を考えるわ。
F(x) = f(x+1)g(x) - f(x)g(x+1)
G(x) = g(x)g(x+1)
とおくわ。f(x) = ax^s + …, g(x) = bx^t + … の形だから、
F(x) = {a(x+1)^s + … }(bx^t + … ) - (ax^s + …){b(x+1)^t + … }
は x^{s+t} の項が消えて、次数は s+t-1 以下になるわ。G(x)の次数は 2t だから
F(x)をG(x)で割った商の次数 ≤ (s+t-1) - 2t = s-t-1 = k
となるわね。そして、すべての正の整数nに対してf(n)/g(n)が整数だから
F(x)/G(x) = {f(x+1)g(x) - f(x)g(x+1)} / {g(x)g(x+1)} = f(x+1)/g(x+1) - f(x)/g(x)
もすべての正の整数xに対して整数になるの。
したがって帰納法の仮定から、F(x)はG(x)で割り切れるわ。
F(x) = f(x+1)g(x) - f(x)g(x+1)
= {q(x+1)g(x+1) + r(x+1)} g(x) - {q(x)g(x) + r(x)} g(x+1)
= {q(x+1)-q(x)} g(x)g(x+1) + r(x+1)g(x) - r(x)g(x+1)
だから、これが G(x) = g(x)g(x+1) で割り切れるということは
r(x+1)g(x) - r(x)g(x+1) が g(x)g(x+1) で割り切れることになるけれど
r(x)の次数がg(x)の次数より小さいので
r(x+1)g(x) - r(x)g(x+1) の次数は g(x)g(x+1) の次数より小さくなるから
r(x+1)g(x) - r(x)g(x+1) = 0
が結論されるわ。仮定から、正の整数nに対してg(n) ≠ 0 だから
r(2) = {g(2)/g(1)} r(1)
r(3) = {g(3)/g(2)} r(2) = {g(3)/g(2)} {g(2)/g(1)} r(1) = {g(3)/g(1)} r(1)
などとなって、結局すべての正の整数nについて
r(n) = {g(n)/g(1)} r(1)
となるわ。もし r(1) ≠ 0 なら、xのt次方程式 {g(x)/g(1)} r(1) - r(x) = 0 が
t個より多くの解を持つことになって矛盾するから、r(1) = 0よ。
するとr(x)はすべての正の整数nに対して r(n) = 0 となるけれど
r(x)はt次未満の整式だから、これが成り立つのは r(x) = 0 の時に限るわ。（終）

>>321の問題だと、もしAが無限に続く等差数列を含むなら同様に解けると思うけれど
そうでない場合はちょっと分からないわ。
ちなみにこれを書いたのは、あなたがふと疑問に思ったことだって書いたからよ。
そう書いてくれなければ、もとの問題は解けていないからダメねと思って書き込まなかったわ。
0327Usagi2023/09/23(土) 05:11:20.520
>>323
あたしPCだけどℵをどうやって出すのか分からなかったから
Wikipediaのaleph numberのページに行って、そこからコピペしたわ
ちなみに加算無限じゃなくて可算無限よね
0328陽気な名無しさん2023/09/23(土) 06:49:17.840
>>327
打ち間違えたわ＜可算無限
0329陽気な名無しさん2023/09/23(土) 08:48:39.360
なるほどねえ
上手く解けるものね
これなら全然大学入試にも使えるじゃない
0330陽気な名無しさん2023/09/23(土) 22:06:00.220
ていうか、これ前に似たような問題やらなかったっけ
その時もうさぎが日本語書けええええええってブチ切れてたような
同じ出題者かしら？
うさぎがキレ散らかしながらもどこかから見つけてきた解き方を覚えてると
そんなに難しくないような気がするわ
0331Usagi2023/09/24(日) 04:59:30.200
>>321について、ちょっと思ったことを厳密じゃないけど書いてみるわ。
f(x) = a_s x^s + … + a_1 x + a_0
g(x) = b_t x^t + … + b_1 x + b_0
として、s+t+2 個の整数 n_1, …, n_{s+t+2} に対して f(n_i)/g(n_i) = m_i が整数だとするわ。
すると s+t+2 個の式 f(n_i) - m_i g(n_i) = 0 ができるけど
これは s+t+2 個の未知数 a_s, …, a_0, b_t, …, b_0 についての連立方程式になるわよね。
すべて = 0 だから値は決まらないけれど、うまくいけば a_j/b_t や b_k/b_t の比率がすべて決まって
その場合、連立方程式の係数がすべて整数だから、これらの比率は有理数になるんじゃないかしら。
これが解けるかどうかについては線型代数の話になってくると思うんだけど
あたしはこれについてはちょっとわからないから、誰か教えてくれたら嬉しいわ。

でももしこれができるとすれば、F(x) = f(x)/b_t と G(x) = g(x)/b_t の係数はすべて有理数になって
f(x)/g(x) = F(x)/G(x) = Q(x) + R(x)/G(x)
に現れる商Q(x)と余りR(x)の係数もすべて有理数になるわ。
ここで R(x) ≠ 0 と仮定するわ。
Q(x)に現れる係数をすべて規約分数で表した時、その分母の最小公倍数をdとするわ。
|x| → ∞ のとき R(x)/G(x) → 0 だから、ある正の整数Nがあって |x| ≥ N なら 0 < |R(x)/G(x)| < 1/d となるわ。
すると |n| ≥ N である任意の整数nについて、
Q(n) が整数なら f(n)/g(n) = Q(n) + R(n)/G(n) は整数ではないし、
Q(n) が整数でない場合は、Q(n) は一番近い整数から 1/d 以上離れているから
f(n)/g(n) = Q(n) + R(n)/G(n) はやはり整数じゃないわ。
すると f(n)/g(n) が整数となるnは2N個未満しかないことになって、無限にあるという仮定に反するわ。
だからR(x) = 0、つまりf(x)がg(x)で割り切れることになると思うの。
0332陽気な名無しさん2023/09/24(日) 09:37:19.190
素晴らしいわ
正解だと思うわ

> Q(n) が整数でない場合は、Q(n) は一番近い整数から 1/d 以上離れているから

これ、f(ℝ-ℚ)⊂ℝ-ℚとなるf∈ℝ[X]の時に出てきたわよね？
03333212023/09/24(日) 13:33:17.030
やっぱり凄いわね、うさぎ
口の達者さもさることながら数学の実力も一流ね
この問題(質問)は過去にいくつかの掲示板で出してきたけど解いたのはうさぎがはじめてよ🐇🐰
0334Usagi2023/09/24(日) 22:20:12.390
やだ、あたしも既約分数を規約分数とか書いてたわw

>>332
前スレ見てみたけど、こういう議論は出てなかったと思うわ。
前スレの問題を解くのにも使えるのか知らないけど。

大筋では解けたかもしれないけど、>>331の前半部分がいいかげんだから
アタシの中では完全にスッキリとはしてないのよね
a_s, …, a_0, b_t, …, b_0 を縦に並べたベクトルをvとすると
上の連立方程式は n_i や m_i を使って表される (s+t+2)次の正方行列Aを用いて
Av = O と表されるわよね（Oは零ベクトル）
b_t ≠ 0 だから v ≠ O ね。したがって、vはAの核空間に属するOでないベクトルになるわ。
核空間の次元が1なら v/b_t は一意的に決まるけど
次元が2以上ならそういかなくて、その場合、a_j/b_t や b_k/b_t が有理数である必要性がない気がするの。
そういうことが起こらないのかどうか、アタシちょっとわからないから
ここのところをだれか説明して補完していただけないかしら？
0335陽気な名無しさん2023/09/25(月) 01:20:35.970
変なところで悩むのね
Ax=Oの零ではない解で成分が全て有理数のものどれかひとつを
(a'[s],…,a'[0],b'[t],…,b'[0])
とし、
F(x)=a'[s]x^s+…+a'[0]
G(x)=b'[t]x^t+…+b'[0]
とするとf(n)G(n)-F(n)g(n)=0が無数のnで成り立つのでfG-Fgは多項式として0
Gは多項式として0ではないので任意のxで
f/g=F/G
が成り立つ
初めからF/Gだと思えばいい
0336Usagi2023/09/26(火) 21:35:37.42F
なるほど、ありがとう。

>Ax=Oの零ではない解で成分が全て有理数のものどれかひとつを
なぜそういう解が存在するかというと、連立方程式を解いていくと
s+t+2個の未知数のうちいくつかをパラメータとして
残りの未知数がそれらのパラメータの有理数係数の一次結合で表されるから
パラメータの未知数に0以外の有理数を入れればそういう解が得られるのね。

>f(n)G(n)-F(n)g(n)=0が無数のnで成り立つので
無数ではなくて、n_1, …, n_{s+t+2} のs+t+2個よね。
でもfG-Fgは高々s+t次だから、fG-Fg = 0 となるのはその通りね。
ってことは、s+t+2個じゃなくてs+t+1個の格子点だけ考えれば十分だったのね。

>Gは多項式として0ではないので任意のxでf/g=F/Gが成り立つ
ここは不正確で、gとGの零点以外の任意のxで、よね。でもそれらは高々有限個しかないから
F/Gが無数の整数に対して整数の値をとるという性質は保たれるのね。

で考えてみたけれど、Aの核空間の次元（dim ker A）って、実は t+1 なのね。（tはg(x)の次数）
（s+t+1個の格子点で議論を始めるならAは (s+t+1)×(s+t+2)行列だけど、どっちでも同じ）
問題の条件が満たされる場合 f/g = Q となる整式Q(x)があるわけだけど
任意のs次以下のF(x)とt次以下のG(x)に対して、それらの係数のつくるベクトルvが Av = O を満たせば
上の議論から F = (f/g)G = QG となってFの係数はGの係数が決まれば決まるから
vは実質Gのt+1個の係数 b_t, …, b_0 で決まるので、dim ker A ≤ t+1 ね。
逆に、任意のt次式G(x)に対して F = QG とおけば
F(n_i) - m_i G(n_i) = F(n_i) - Q(n_i) G(n_i) = 0
となるから、FとGの係数のつくるベクトルvは Av = O を満たすわ。
このことから、dim ker A ≥ t+1 がわかるわ。
したがって dim ker A = t+1 ね。
ついでに rank A = (s+t+2) - dim ker A = s+1 になるわ。
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