メルカリで見つけたってどういうこと？ これ大学入試問題なの？
もし有界であると仮定すると、ある自然数mがあって、すべてのnに対して a[n] ≤ m となるわ。
3^n を 2^n で割った商の整数部分を q[n], 小数部分を d[n] とおくと
(3/2)^n = q[n] + d[n] そして 3^n = q[n] 2^n + a[n] だから d[n] = a[n]/2^n よ。
a[n] ≤ m だから n→∞ のとき d[n] ≤ m/2^n → 0
したがってある自然数 N があって n ≥ N であるすべての n に対して d[n] < 1/3 が成り立つわ。
ここで s を奇数として q[N] = (2^k)s と表したとき、すべての i ≥ 0 に対して、i ≤ k ならば
q[N+i] = (3/2)^i q[N]
d[N+i] = (3/2)^i d[N]
が成り立つことを帰納法で示すわ。
i = 0 のときは明らかね。
i < k のときは、帰納法の仮定から
(3/2)^{N+i} = q[N+i] + d[N+i] = (3/2)^i q[N] + (3/2)^i d[N]
だから
(3/2)^{N+i+1} = (3/2)^{i+1} q[N] + (3/2)^{i+1} d[N]
だけど、i+1 ≤ k だから (3/2)^{i+1} q[N] は整数、そして
(3/2)^{i+1} d[N] = (3/2) d[N+i] < (3/2)(1/3) = 1/2 < 1 だから
q[N+i+1] = (3/2)^{i+1} q[N]
d[N+i+1] = (3/2)^{i+1} d[N]
となって帰納法完了ね。
このことから
q[N+k] = (3/2)^k q[N] = (3/2)^k (2^k)s = (3^k)s
(3/2)^{N+k} = q[N+k] + d[N+k] = (3^k)s + d[N+k]
だけど (3^k)s は奇数だから
(3/2)^{N+k+1} = (3/2)((3^k)s - 1) + 1/2 + (3/2) d[N+k]
において (3/2)((3^k)s - 1) は整数、そして
1/2 + (3/2) d[N+k] < 1/2 + (3/2)(1/3) = 1
だから
q[N+k+1] = (3/2)((3^k)s - 1)
d[N+k+1] = 1/2 + (3/2) d[N+k]
となるわ。ところが 1/2 + (3/2) d[N+k] > 1/3 だから
d[N+k+1] > 1/3 となってこれは矛盾よ。
したがって {a[n]} は有界ではないわ。