とりあえず、pとqのいずれも1または素数の場合は、
s = 1から6までの数の中でpを約数に持たないものの割愛
t = 1から6までの数の中でqを約数に持たないものの割愛
とおいたとき、
1から6までの数の中でpもqも約数に持たないものの割愛 = st
となることが必要十分条件でいいかしら？
上の表が p = 3, q = 5 のケースと思ってもらうと
Yがpでもqでも割り切れる確率 = ア
= 1 - (ウ + エ) - (イ + エ) + エ
= 1 - Yがpで割り切れない確率 - Yがqで割り切れない確率 + Yがpでもqでも割り切れない確率
= 1 - s^n - t^n + (st)^n
= (1 - s^n)(1 - t^n)
= Yがpで割り切れる確率 × Yがqで割り切れる確率
となるから、Yがpで割り切れる事象とYがqで割り切れる事象は独立になるわ。
逆にこれが成立するためには、
Yがpでもqでも割り切れない確率 = (st)^n
でなくてはいけなくて、これはつまり
1から6までの数の中でpもqも約数に持たないものの割愛 = st
であるということになるわ。
例えば、p = 3, q = 5 のときは
s = |{1, 2, 4, 5}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 4/6
t = |{1, 2, 3, 4, 6}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 5/6
1から6までの数の中で3も5も約数に持たないものの割愛
= |{1, 2, 4}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 3/6 ≠ (4/6)×(5/6)
だから条件が満たされないわ。
p = 3, q = 2 のときは
s = |{1, 2, 4, 5}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 4/6
t = |{1, 3, 5}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 3/6
1から6までの数の中で3も2も約数に持たないものの割愛
= |{1, 5}|/|{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 2/6 = (4/6)×(3/6)
だから条件が成立して独立になるわ
pやqが合成数、つまり4や6の場合は複雑になりそうね。