sinα, sinβ, sinγがすべて有理数
⟺ sinα, sinβ, cosα, cosβがすべて有理数
⟺ αとβはピタゴラスの三角形に現れる角か、それをπから引いたもの
ていうか気づいたの。
まずθ_1としてピタゴラスの三角形に現れる角を何か選ぶわ。φ_1 = π−θ_1 とおくと
sinφ_1 = sin(π−θ_1) = sinθ_1
cosφ_1 = cos(π−θ_1) = −cosθ_1
はともに有理数ね。
次に 0 < θ_2 < φ_1 となるピタゴラスの三角形に現れる角θ_2を選んでφ_2 = φ_1−θ_2とおくと
sinφ_2 = sin(φ_1−θ_2) = sinφ_1 cosθ_2 − cosφ_1 sinθ_2
cosφ_2 = cos(φ_1−θ_2) = cosφ_1 cosθ_2 + sinφ_1 sinθ_2
も有理数になるわ。
同様にφ_{k−1} まで作ったら、 0 < θ_k < φ_{k−1} となるピタゴラスの三角形に現れる角θ_k を選んで
φ_k = φ_{k−1} −θ_k とおくのよ。
すると θ_1, …, θ_k, φ_k は和がπでsinを取るとすべて有理数になるわ。
つまり、半径1の円の中心からピタゴラスの三角形に現れる角の2倍ずつずらして半径を描いていって
それと円周との交点たちを結んで多角形を作れば、条件を満たすものができるのよ。
じゃあ何角形までできるかだけど、それはピタゴラスの三角形に現れる角がどれだけ小さくなれるかという問題になるわ。
mを正の整数とすると
a = 2m+1, b = 2m(m+1), c = 2m^2+2m+1
はピタゴラス数だけど、a/c はmを大きくすればいくらでも0に近づけることができるから
いくらでもとんがったピタゴラスの三角形が存在するの。
だから>>16への答えは、「すべての n ≥ 3 に対して成り立つ」ね！
でも正六角形はこの方法で作れないから、これがすべてではないわね。
正六角形以外にもこの方法で作れない例はあるのかしら？