https://methodology.site/trigonometric-addition-formulas/
このベクトル使った方法だとややこしい計算不要で図形的に意味もわかりやすいの
cosとsinの式が同時に出るしね☆
オイラーの公式とかマクローリン展開は大学入試では基本ダメでしょ
もっともこの東大の問題の場合、まずsinとcosを定義せよって言って、
それからその定義にもとづいて加法定理を証明せよって言ってるの。
だからsinとcosをマクローリン級数で定義して、それを使って加法定理を証明するなら筋は通るけど
でも複素関数とか級数の収束を議論しなきゃいけなくなっちゃうわね
指数定理っていうか指数法則よね？
気になったから本で調べたら、加法定理は必要ないわ。
e^xのマクローリン級数を使うと
e^(x+y) = 1 + (x+y)/1! + (x+y)^2/2! + (x+y)^3/3! + …
だけど、この級数はxとyがどんな複素数でも絶対収束するから項の順番を変えてもよいから、yのべきで整理して
e^(x+y) = a_0(x) + a_1(x) y + a_2(x) y^2 + a_3(x) y^3 + …
となるとするわ。ここでa_i(x)はxのべき級数になっているわ。
xを固定して両辺をyについてn階微分してy = 0 とおくと
e^x = n! a_n(x)
となるから、a_n(x) = e^x/n! ね。したがって
e^(x+y) = e^x (1 + y/1! + y^2/2! + y^3/3! + … ) = e^x e^y
となるの！