大学入試の数学の問題を解くゲイ2023
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0322Usagi2023/09/22(金) 00:48:53.420
>>321
ほとんどの人に理解できない書き方するのやめなさいよ
ふつうに言葉で書けば通じるのに。相手にしてもらえない可能性が高くなるだけよ？
それに、どういう意図の書き込みなのかもわからないわ。
あなたは答えを知っていて、それを私たちに問題として出題しているのか
それとも京大の問題を見て思いついた疑問を書いただけで、あなたもまだ答えを知らないのか
どっちなの？

ついでに言えば、|A|=∞ は記号の正しい使い方じゃないわ
そんなに記号を使いたいなら |A|=ℵ_0 と書きなさい！
0323陽気な名無しさん2023/09/22(金) 01:37:38.470
アタシも >>321 には物言いをつけたかったのよね。
でも何て言っていいか迷ってたから、うさぎが言ってくれて良かったわ。
g|fなんて書き方、高校までの範囲では出てこないわよね。
素朴な疑問だけど、アレフゼロなんて記号、スマホでも出せるのかしら？
どのみち加算無限とか連続無限なんて概念自体高校までの範囲を越えてると思うけど。

元ネタが大学入試問題だったとしても、それに手を加えて大学入試問題レベルを越えたら、
それはもうこのスレの対象範囲を越えてると思うわ。
大学入試問題そのものを出すか、手を加えるにしても大学入試問題レベルを越えない範囲にして欲しいものだわ。

大学入試問題レベルでも、ここで出されるのはハイレベルなものが多いから、
たまには難関大学ではない中堅レベル大学の入試問題程度なんかもあっていいと思うわ。
簡単な問題もたまにはないと、本当にうさぎとか一部の人しか解けないわよ。
0324陽気な名無しさん2023/09/22(金) 12:53:19.000
もう10日近く誰も書き込まないから、このまま誰も書き込まないとスレが落ちてしまって、
うさぎにもうさぎの腰巾着の>>323にも会えなくなって淋しくなるから、
以前京大の問題を解いたときにふと気になったことを、質問と出題を兼ねて書き込んだだけなのに、
なぜこんなに詰問され、叩かれなければならないの？
全くの純粋な善意から書き込んだのよ？
>>257だって同じようなスタンスの書き込みなのに、何故アタシだけ論難されなければならないのかしら？
0325Usagi2023/09/23(土) 05:00:28.530
>>324
スレあげてくれてありがとうね。傷ついたならごめんなさいね。
でも人のことを腰巾着だとか言うのは良くないわよ。仲良くしてくれているだけなんだから。
別にあなたをハブろうとして書いたわけじゃないの。
>>257は誰が読んでも理解できるように書かれているじゃない？
それに、自分でもまだ答えを出していない疑問だというスタンスもわかるわ。
>>321は違うのよ。言葉が足りなすぎるの。ていうか言葉がないw
これじゃ数学科に行ったような人にしか理解できないでしょ。それって人口の何%かしら？
大学で数学科以外の理系専攻だった人も分からない人が大部分だと思うわよ。
あたしだって前スレで ℝ[x] みたいな記号を知ったから分かったけど、もともと知らなかったし。
前スレを見ていなくて今のスレから見る人だっているでしょう？
だから、ふつうの言葉で書いておけば理解して疑問に答えてくれるかもしれない人でも
説明なしの記号を使っているせいでそうしてくれない、という可能性があるのよ。
それって、あなたにとっても損でしかないと思うけど、どうかしら？
確かにこのスレによく書き込んでいるのは数人だろうけど
その人たちだけに通じればいいって考えは排他的すぎるわよ。
こんな書き方が当然になったら、新しく参加する人がいなくなってしまうわ。
それに、あたしだけかもしれないけど、言葉がないと人間と会話してる感じがしないから
あまり相手をする気にならないのよ。

そして、まだ自分でも答えを出していない疑問なのか、それとも答えを知っている問題を出題しているのか
ここのスタンスをはっきりさせるのも重要よ。
前者の場合なら、まとまりきっていなくても思ったことを>>266みたいに気軽に書き込めるわ。
けれど後者の場合なら、見た目からして難しそうだし、あたしとしては
これまでの流れからして、超絶難問でテストされているように感じてしまうのよ。
そう思うと居心地よくなし、間違ったり解けなかったりすると意地悪コメント来るかもしれないと
身構えちゃって、完璧に解かないだめと思って気軽に書き込めないのよ。

第一あなたの問題、京大の問題を一般化してるのはわかるけど、一気に二段階一般化してて難しすぎるわ。
つーか、元の京大の問題がすでに難しいでしょw ネットで調べると最難レベルという評判よ。
そこから二段階難しくするってw
とりあえず一段階だけ一般化した問題については考えてみたから、書いておくわ。
0326Usagi2023/09/23(土) 05:06:02.400
問題
f(x)とg(x)は実数係数のxの整式で、すべての正の整数nに対してf(n)/g(n)は整数である。
このとき、f(x)はg(x)で割り切れることを示せ。

解答
g(x) = 定数の場合はf(x)はg(x)で割り切れるから、g(x)の次数が1以上の場合を考えるわね。
f(x)をg(x)で割った商をq(x)、余りをr(x)とすると f(x) = q(x)g(x) + r(x) となるわ。
q(x)の次数に関する帰納法で r(x) = 0 を示すわ。
ただし便宜上、q(x) = 0 の場合はq(x)の次数を -1 と考えることにするわね。

q(x)の次数が -1 の場合は、f(x)/g(x) = r(x)/g(x) となるわ。
r(x)の次数をmとすると、これはg(x)の次数より小さいから
r(x)/g(x)の分子と分母をそれぞれx^mで割ったものを考えると
n → ∞のとき、分子 → 定数、分母 → ∞ だから、r(x)/g(x) → 0 となるわ。
したがって、もしr(x) ≠ 0 なら十分大きい整数Nに対して 0 < |r(N)/g(N)| < 1 となって
f(N)/g(N) = r(N)/g(N) が整数であることに矛盾するわ。したがって r(x) = 0 よ。

では命題が次数kの場合まで成り立つするわ。
f(x)とg(x)の次数をそれぞれ s, t とすると q(x) の次数は s-t だから
これが k+1 となる場合、つまり s-t = k+1 の場合を考えるわ。
F(x) = f(x+1)g(x) - f(x)g(x+1)
G(x) = g(x)g(x+1)
とおくわ。f(x) = ax^s + …, g(x) = bx^t + … の形だから、
F(x) = {a(x+1)^s + … }(bx^t + … ) - (ax^s + …){b(x+1)^t + … }
は x^{s+t} の項が消えて、次数は s+t-1 以下になるわ。G(x)の次数は 2t だから
F(x)をG(x)で割った商の次数 ≤ (s+t-1) - 2t = s-t-1 = k
となるわね。そして、すべての正の整数nに対してf(n)/g(n)が整数だから
F(x)/G(x) = {f(x+1)g(x) - f(x)g(x+1)} / {g(x)g(x+1)} = f(x+1)/g(x+1) - f(x)/g(x)
もすべての正の整数xに対して整数になるの。
したがって帰納法の仮定から、F(x)はG(x)で割り切れるわ。
F(x) = f(x+1)g(x) - f(x)g(x+1)
= {q(x+1)g(x+1) + r(x+1)} g(x) - {q(x)g(x) + r(x)} g(x+1)
= {q(x+1)-q(x)} g(x)g(x+1) + r(x+1)g(x) - r(x)g(x+1)
だから、これが G(x) = g(x)g(x+1) で割り切れるということは
r(x+1)g(x) - r(x)g(x+1) が g(x)g(x+1) で割り切れることになるけれど
r(x)の次数がg(x)の次数より小さいので
r(x+1)g(x) - r(x)g(x+1) の次数は g(x)g(x+1) の次数より小さくなるから
r(x+1)g(x) - r(x)g(x+1) = 0
が結論されるわ。仮定から、正の整数nに対してg(n) ≠ 0 だから
r(2) = {g(2)/g(1)} r(1)
r(3) = {g(3)/g(2)} r(2) = {g(3)/g(2)} {g(2)/g(1)} r(1) = {g(3)/g(1)} r(1)
などとなって、結局すべての正の整数nについて
r(n) = {g(n)/g(1)} r(1)
となるわ。もし r(1) ≠ 0 なら、xのt次方程式 {g(x)/g(1)} r(1) - r(x) = 0 が
t個より多くの解を持つことになって矛盾するから、r(1) = 0よ。
するとr(x)はすべての正の整数nに対して r(n) = 0 となるけれど
r(x)はt次未満の整式だから、これが成り立つのは r(x) = 0 の時に限るわ。（終）

>>321の問題だと、もしAが無限に続く等差数列を含むなら同様に解けると思うけれど
そうでない場合はちょっと分からないわ。
ちなみにこれを書いたのは、あなたがふと疑問に思ったことだって書いたからよ。
そう書いてくれなければ、もとの問題は解けていないからダメねと思って書き込まなかったわ。
0327Usagi2023/09/23(土) 05:11:20.520
>>323
あたしPCだけどℵをどうやって出すのか分からなかったから
Wikipediaのaleph numberのページに行って、そこからコピペしたわ
ちなみに加算無限じゃなくて可算無限よね
0328陽気な名無しさん2023/09/23(土) 06:49:17.840
>>327
打ち間違えたわ＜可算無限
0329陽気な名無しさん2023/09/23(土) 08:48:39.360
なるほどねえ
上手く解けるものね
これなら全然大学入試にも使えるじゃない
0330陽気な名無しさん2023/09/23(土) 22:06:00.220
ていうか、これ前に似たような問題やらなかったっけ
その時もうさぎが日本語書けええええええってブチ切れてたような
同じ出題者かしら？
うさぎがキレ散らかしながらもどこかから見つけてきた解き方を覚えてると
そんなに難しくないような気がするわ
0331Usagi2023/09/24(日) 04:59:30.200
>>321について、ちょっと思ったことを厳密じゃないけど書いてみるわ。
f(x) = a_s x^s + … + a_1 x + a_0
g(x) = b_t x^t + … + b_1 x + b_0
として、s+t+2 個の整数 n_1, …, n_{s+t+2} に対して f(n_i)/g(n_i) = m_i が整数だとするわ。
すると s+t+2 個の式 f(n_i) - m_i g(n_i) = 0 ができるけど
これは s+t+2 個の未知数 a_s, …, a_0, b_t, …, b_0 についての連立方程式になるわよね。
すべて = 0 だから値は決まらないけれど、うまくいけば a_j/b_t や b_k/b_t の比率がすべて決まって
その場合、連立方程式の係数がすべて整数だから、これらの比率は有理数になるんじゃないかしら。
これが解けるかどうかについては線型代数の話になってくると思うんだけど
あたしはこれについてはちょっとわからないから、誰か教えてくれたら嬉しいわ。

でももしこれができるとすれば、F(x) = f(x)/b_t と G(x) = g(x)/b_t の係数はすべて有理数になって
f(x)/g(x) = F(x)/G(x) = Q(x) + R(x)/G(x)
に現れる商Q(x)と余りR(x)の係数もすべて有理数になるわ。
ここで R(x) ≠ 0 と仮定するわ。
Q(x)に現れる係数をすべて規約分数で表した時、その分母の最小公倍数をdとするわ。
|x| → ∞ のとき R(x)/G(x) → 0 だから、ある正の整数Nがあって |x| ≥ N なら 0 < |R(x)/G(x)| < 1/d となるわ。
すると |n| ≥ N である任意の整数nについて、
Q(n) が整数なら f(n)/g(n) = Q(n) + R(n)/G(n) は整数ではないし、
Q(n) が整数でない場合は、Q(n) は一番近い整数から 1/d 以上離れているから
f(n)/g(n) = Q(n) + R(n)/G(n) はやはり整数じゃないわ。
すると f(n)/g(n) が整数となるnは2N個未満しかないことになって、無限にあるという仮定に反するわ。
だからR(x) = 0、つまりf(x)がg(x)で割り切れることになると思うの。
0332陽気な名無しさん2023/09/24(日) 09:37:19.190
素晴らしいわ
正解だと思うわ

> Q(n) が整数でない場合は、Q(n) は一番近い整数から 1/d 以上離れているから

これ、f(ℝ-ℚ)⊂ℝ-ℚとなるf∈ℝ[X]の時に出てきたわよね？
03333212023/09/24(日) 13:33:17.030
やっぱり凄いわね、うさぎ
口の達者さもさることながら数学の実力も一流ね
この問題(質問)は過去にいくつかの掲示板で出してきたけど解いたのはうさぎがはじめてよ🐇🐰
0334Usagi2023/09/24(日) 22:20:12.390
やだ、あたしも既約分数を規約分数とか書いてたわw

>>332
前スレ見てみたけど、こういう議論は出てなかったと思うわ。
前スレの問題を解くのにも使えるのか知らないけど。

大筋では解けたかもしれないけど、>>331の前半部分がいいかげんだから
アタシの中では完全にスッキリとはしてないのよね
a_s, …, a_0, b_t, …, b_0 を縦に並べたベクトルをvとすると
上の連立方程式は n_i や m_i を使って表される (s+t+2)次の正方行列Aを用いて
Av = O と表されるわよね（Oは零ベクトル）
b_t ≠ 0 だから v ≠ O ね。したがって、vはAの核空間に属するOでないベクトルになるわ。
核空間の次元が1なら v/b_t は一意的に決まるけど
次元が2以上ならそういかなくて、その場合、a_j/b_t や b_k/b_t が有理数である必要性がない気がするの。
そういうことが起こらないのかどうか、アタシちょっとわからないから
ここのところをだれか説明して補完していただけないかしら？
0335陽気な名無しさん2023/09/25(月) 01:20:35.970
変なところで悩むのね
Ax=Oの零ではない解で成分が全て有理数のものどれかひとつを
(a'[s],…,a'[0],b'[t],…,b'[0])
とし、
F(x)=a'[s]x^s+…+a'[0]
G(x)=b'[t]x^t+…+b'[0]
とするとf(n)G(n)-F(n)g(n)=0が無数のnで成り立つのでfG-Fgは多項式として0
Gは多項式として0ではないので任意のxで
f/g=F/G
が成り立つ
初めからF/Gだと思えばいい
0336Usagi2023/09/26(火) 21:35:37.42F
なるほど、ありがとう。

>Ax=Oの零ではない解で成分が全て有理数のものどれかひとつを
なぜそういう解が存在するかというと、連立方程式を解いていくと
s+t+2個の未知数のうちいくつかをパラメータとして
残りの未知数がそれらのパラメータの有理数係数の一次結合で表されるから
パラメータの未知数に0以外の有理数を入れればそういう解が得られるのね。

>f(n)G(n)-F(n)g(n)=0が無数のnで成り立つので
無数ではなくて、n_1, …, n_{s+t+2} のs+t+2個よね。
でもfG-Fgは高々s+t次だから、fG-Fg = 0 となるのはその通りね。
ってことは、s+t+2個じゃなくてs+t+1個の格子点だけ考えれば十分だったのね。

>Gは多項式として0ではないので任意のxでf/g=F/Gが成り立つ
ここは不正確で、gとGの零点以外の任意のxで、よね。でもそれらは高々有限個しかないから
F/Gが無数の整数に対して整数の値をとるという性質は保たれるのね。

で考えてみたけれど、Aの核空間の次元（dim ker A）って、実は t+1 なのね。（tはg(x)の次数）
（s+t+1個の格子点で議論を始めるならAは (s+t+1)×(s+t+2)行列だけど、どっちでも同じ）
問題の条件が満たされる場合 f/g = Q となる整式Q(x)があるわけだけど
任意のs次以下のF(x)とt次以下のG(x)に対して、それらの係数のつくるベクトルvが Av = O を満たせば
上の議論から F = (f/g)G = QG となってFの係数はGの係数が決まれば決まるから
vは実質Gのt+1個の係数 b_t, …, b_0 で決まるので、dim ker A ≤ t+1 ね。
逆に、任意のt次式G(x)に対して F = QG とおけば
F(n_i) - m_i G(n_i) = F(n_i) - Q(n_i) G(n_i) = 0
となるから、FとGの係数のつくるベクトルvは Av = O を満たすわ。
このことから、dim ker A ≥ t+1 がわかるわ。
したがって dim ker A = t+1 ね。
ついでに rank A = (s+t+2) - dim ker A = s+1 になるわ。
0337陽気な名無しさん2023/09/26(火) 23:56:17.650
なんか急に不安に駆られたわ
勝手に s+t+2 個の整数 n_1, …, n_{s+t+2} をとってきて s+t+2 個の式 f(n_i) - m_i g(n_i) = 0 ができるのはいいんだけど、
これをAv=OとかいたときrankA=s+1となる根拠ってどこにあるんだっけ
つまり、なんで勝手に s+t+2 個の整数 n_1, …, n_{s+t+2} をとってきた時点で f(n_i) - m_i g(n_i) = 0 のうちのs+1個が独立な方程式だと言い切れるの？
0338Usagi2023/09/27(水) 10:39:12.850
それは、線型写像 T: V → W に対して
rank T + dim ker T = dim V
であるという定理を使っただけなんだけど。

結局G(x)の係数 b_t, …, b_0 がパラメータになるのよ。
これらを未知数じゃなくて定数だと思うと
もとの連立方程式は、 a_s, …, a_0 のs+1個を未知数として持つ連立方程式とみなせるの。
これが解けるということは、s+1個独立な式があるということで
解くとa_s, …, a_0 が b_t, …, b_0 の有理数係数の一次結合で表されるわ。
逆にs+1個独立な式がないと、a_s, …, a_0 が完全に決まらないことになるわ。

でもs+t+1個以上のn_iについて
f(n_i) - m_i g(n_i) = 0
に加えて
F(n_i) - m_i G(n_i) = 0
が成り立てば
(第1式) × G(n_i) - (第2式) × g(n_i)
から
f(n_i)G(n_i) - F(n_i)g(n_i) = 0
で、これは高々s+t次だから整式として f(x)G(x) - F(x)g(x) = 0 となり
したがって F(x) = {f(x)/g(x)} G(x) = Q(x)G(x) となって
F(x)の係数a_s, …, a_0はG(x)の係数b_t, …, b_0の有理数係数の一次結合として完全に決まるわ
だからどれでもいいからs+t+1個の情報があれば十分ってことじゃない？
0339陽気な名無しさん2023/09/27(水) 11:38:55.270
s≧2とする。
s+t+2 個の整数 n_1, …, n_{s+t+2} を、
s+t+2 個の式 f(n_i) - m_i g(n_i) = 0 が、
この中のどれか2つだけが独立で、他の式は独立な2式の線型和となるようにとる。
(もしかしたらどう頑張ってもこのようには n_1, …, n_{s+t+2} をとれないかもしれないんだけど、もしとれないのだとしたらその理由は？)
このとき、s+t+2 個の式 f(n_i) - m_i g(n_i) = 0 を Av=O とかくと rankA=2 である。

しかし、ここから>>335-336の議論を続けると、あれよあれよというまに
rankA=s+1>2
となり、最初に rankA=2 にとったのはなんだったのかしら？
とならない？

本当は s+t+2 個の方程式 f(n_i) - m_i g(n_i) = 0 をどうとってもこの中に十分豊富に独立な式が入っていることを先に示さないといけないのに、独立な式がたくさんあると仮定して最後結局やっぱり独立な式がs+1個ありましたね、
ということになってない？
0340Usagi2023/09/28(木) 02:05:30.180
(1) f/g が無限個の整数に対して整数の値を取る
⬇︎
(2) f/g が s+t+1個の整数に対して整数の値を取る
⬇︎
(3) ある F, G ∈ ℚ[x] があって高々有限個の点を除くすべてのxに対して f(x)/g(x) = F(x)/G(x)
⬇︎
(4) GはFを割り切る
⬇︎
(5) f/g = F/G = Q となる Q ∈ ℚ[x] が存在する
⬇︎
(6) dim ker A = t+1

こういう流れよ。
(2)の時点では dim ker A ≥ 1 はわかっているけど dim ker A = t+1 であることは判明していないわ。
でも(2)から(3)を出すのにそのことは使ってないから問題ないわ。
もし独立な式の数が少ないなら、それは制約がより少なくて自由なんだからより簡単なだけ。
その場合パラメータの数が増えるけど、全部が0にならないように有理数を適当に設定しとけばいいわ。
(5)の時点で>>321の問題が解けるわけだけど
(6)はそれに付け加えとして、(5)で出たQ(x)を使って dim ker A = t+1 を導いたのよ。

だから実際問題として

>この中のどれか2つだけが独立で、他の式は独立な2式の線型和となるようにとる。
>(もしかしたらどう頑張ってもこのようには n_1, …, n_{s+t+2} をとれないかもしれないんだけどもしとれないのだとしたらその理由は？)

これはどう頑張ってもできないのよ。理由は(6)によるわ。
0341陽気な名無しさん2023/09/28(木) 12:43:43.620
あ、つまり、
P,Q,R∈ℝ[x], degP=s, degQ=t, P=QR,
∀x[k](k=1,2,...,s+t+2)∈ℝ, x[i]≠x[j](i≠j),
y[k] : =R(x[k])
としたときにs+t+2個の(P,Qの係数に関する)方程式
P(x[i])-y[k]Q(x[k])=0 (k=1,2,...,s+t+2)
のなかには必ずs+1個独立なものがある、
という定理が、(この問題にまったく無関係とまではいわなくても)やや脱線気味に、豆知識的に書いてある、
と思えばいいのかしら？
0342陽気な名無しさん2023/09/28(木) 13:02:53.080
アタシを1番不安にさせたのは>>336の
> 無数ではなくて、n_1, …, n_{s+t+2} のs+t+2個よね。
このツッコミだわ

ここ無数でいいはずなのに、なんでいきなり細かいこと言い出すのよ、って思ったんだけど、
よく読むとうさぎの中では(2),(3)で
f/g∈ℝ(X)(有理関数体)がdegf+degg+2個の格子点を通る⇒f/g∈ℚ(X)
という元の問題より少し緩やかな仮定で上記命題を示したい、
という意志がわりと強めだったってことなのかしら

アタシの中では(2)が全く存在しなかったから急に行列とかs+t+2個の整数とか持ち出されて、もしかして精密に考えると何かすごいことが言えるのかしらとか混乱してしまったわ
そもそも>>335もAx=Oなんて考えてなくて、無数にある有理数係数の連立方程式のゼロでない有理数解が存在するのでそれを〜
くらいしか念頭になかったの
0344Usagi2023/09/29(金) 21:43:19.990NIKU
>>341
そういう感じよ。より正確にはs+t+1個以上の式があれば独立な式の数は常にs+1個となるわ。

>>342
>ここ無数でいいはずなのに、なんでいきなり細かいこと言い出すのよ、って思ったんだけど、
無数でいいはずないわ。
あくまでAv = Oの解を見ているのだから、Aを作る時に使ったs+t+2個に関する条件しか成立することは保証されていないわ。
もしs+t個以下の方程式で始めていたら、「無数の〜」は言えないし、(3)の結論は得られないでしょ。

>そもそも>>335もAx=Oなんて考えてなくて、無数にある有理数係数の連立方程式のゼロでない有理数解が存在するのでそれを～
なんでそういうものがあるってすぐわかったのかしら？
>>336の最初に書いたことを頭の中で考えたの？
あたし考え直してみて今はっきり認識したんだけど、これを言うためには
ker A ≠ {O}（したがって dim ker A ≥ 1）であることをはっきりと言う必要があったわね。
このことは問題のfとgの係数で作るベクトルがker Aに属することからわかるわ。

あなたって数学的直感が素晴らしいけど、無限の扱い方がちょっといいかげんな気がするの。
無限は数じゃないから、ふつうの数と同じように扱うことはできないわ。
（|A|=∞ とか書いちゃってることとも無関係でない気もするわ）
証明は有限の長さでなければならないから、無限にあるもの全てを扱うっていうのは基本的にできないのよ。
無限に式があっても、基本的にはそのうち何個かを取り出したものを解くことしかできないわ。
その個数はいくら大きくても、一億個でもいいけれどね。
そして連立一次方程式を解くというのは線型代数の話になるのだから、行列の話になるのは自然な流れでしょ。
無限に多くの式は、行列を使って同じように検討することもできないし。
「無限に式があるんだから、情報が不足したら考慮する式をどんどん増やしていけばうまくいきそうよね」
とかつい思っちゃうけれど、それだけでは証明にはならなくて、うまくいくことを検証する必要があるわ。
だって、情報を増やしていく時に「ハズレ」ばっか引いてしまったら永遠に証明が終わらないからね。
この問題の場合は、式がs+t個以下では足りないけれど、どれでもいいからs+t+1個以上あれば十分なのよね。
そこまではっきりさせてはじめて証明になるし、数学的意味もわかってくるじゃない？

あなたって恐らく前スレであたしが解けなかった「f(ℝ-ℚ)⊂ℝ-ℚならf∈ℚ[X]」の問題を出した姐さんよね？
（もし人違いだったらごめんなさいね）
あの時あなたは
「n次多項式f(x)が無数の有理数に対してfが有理数の値をとるなら、f(x) ∈ ℚ[x]である」
を帰納法で示してくれたけど、あたしがそれを見て
「n次多項式f(x)がn+1個の有理数に対して有理数の値をとるなら、f(x) ∈ ℚ[x]である」
に書き直してみたわよね。無限ってむやみやたらに使うものじゃないと思うの。
あたしは問題となっていることを示すのに必要最低限の仮定だけを使って示したいし
そうすることで数学的理解も深まると思うの。
0345Usagi2023/09/29(金) 21:47:49.160NIKU
関係ないけど、無限次元の行列といえば、ヒルベルト空間上の線型作用素も
はじめの頃は無限行列とか呼ばれてたらしいわ。今でもそう言うことあるのかしら？
あと「線型」と「線形」のどっちが正しいのか、いまだに分からなくて困るわw
0346陽気な名無しさん2023/09/29(金) 22:32:34.690NIKU
うーん、やっぱりぜんぜん納得できないわ
うさぎが最初にs+t+2個の整数を選んだのって、なにか選び方があるの？
それとも適当に絶対値の小さいほうからs+t+2個選ぶ、とかでいいのかしら

アタシには後者のように適当に選んでるようにしか読めないからそれで考えるけど、
かりにdim kerA=1であるようにs+t+2個を選んでしまった場合、有理数解を
(a'[s],…,a'[0],b'[t],…,b'[0])
とし、
F(x)=a'[s]x^s+…+a'[0]
G(x)=b'[t]x^t+…+b'[0]
とするとf(n)G(n)-F(n)g(n)=0がs+t+2個のnで成り立つ、って言えないのでは？
だって、dim kerA=1ということは見かけ上f(n_i) - m_i g(n_i) = 0がs+t+2個あるように見えても本質的にはs+t+1個はあるどれかの式の定数倍ということであって、
ある(n_1,m_1)を通るということしか情報はないんじゃないのかしら

>あたし考え直してみて今はっきり認識したんだけど、これを言うためには
>ker A ≠ {O}（したがって dim ker A ≥ 1）であることをはっきりと言う必要があったわね。

こんなことは当たり前中の当たり前のことであって、もっと別のdim kerAについての議論が必要な気がするわ


>この問題の場合は、式がs+t個以下では足りないけれど、どれでもいいからs+t+1個以上あれば十分なのよね。

アタシ、これ大間違いだと思う
0347陽気な名無しさん2023/09/29(金) 22:43:04.700NIKU
アタシ迂闊にもうさぎに釣られて>>335でAなんて書いたけど
ほんとうは余計なこと書かず
この無数の連立方程式を解き、(係数が有理数だから)有理数解が存在するので、それを〜〜
だけのほうがよかったんだわ
0348Usagi2023/09/30(土) 02:19:12.920
>>346
>うさぎが最初にs+t+2個の整数を選んだのって、なにか選び方があるの？
>それとも適当に絶対値の小さいほうからs+t+2個選ぶ、とかでいいのかしら
あたしも>>331書いた時には、そういうの気にしなきゃいけないのかと思ってわかってなかったの。
けれど今はわかったの。どれを選んでも良いの。そしてs+t+1個でいいの。

>だって、dim kerA=1ということは見かけ上f(n_i) - m_i g(n_i) = 0がs+t+2個あるように見えても本質的にはs+t+1個はあるどれかの式の定数倍ということであって、
>ある(n_1,m_1)を通るということしか情報はないんじゃないのかしら
これはいろいろ間違っているわ。
dim ker A = 1 ということは rank A = s+t+1 だから本質的に独立な式がs+t+1個あることになるわよ。
本質的に独立な式が1個だけになるのは dim ker A = s+t+1 の場合でしょ？
そしてここで独立な式だとかいうのは、あくまでこれらの式たちを
a’[s], …, a’[0], b’[t], …, b’[0] を変数とする方程式として見た時の話よ。

次の段階でf(n)G(n)-F(n)g(n)=0がs+t+1個のnで成り立つという話の時は
今度は a’[s], …, a’[0], b’[t], …, b’[0] の方を定数と見て
h(x) = f(x)G(x) - F(x)g(x) という、xを変数とする整式を考えているのよ。
h(x) = 0 が x = n_1, …, n_{s+t+1} というs+t+1個の根を持つことから
h(x) は因数定理により (x-n_1)…(x-n_{s+t+1}) で割り切れ
h(x)が高々s+t次であることから h(x) = 0 がわかるのよ。

>>347
>この無数の連立方程式を解き、(係数が有理数だから)有理数解が存在するので、それを～～
無数の〜ってそんなこと有限のステップでできるかどうかわからないし
きちんとした数学の証明とはいえないと思うわ
0349陽気な名無しさん2023/09/30(土) 08:56:58.140
>本質的に独立な式が1個だけになるのは dim ker A = s+t+1 の場合でしょ？
ごめん、書き間違えたわ

>そしてここで独立な式だとかいうのは、あくまでこれらの式たちを
>a’[s], …, a’[0], b’[t], …, b’[0] を変数とする方程式として見た時の話よ。
わかってる

>次の段階でf(n)G(n)-F(n)g(n)=0がs+t+1個のnで成り立つという話の時は
>今度は a’[s], …, a’[0], b’[t], …, b’[0] の方を定数と見て
>h(x) = f(x)G(x) - F(x)g(x) という、xを変数とする整式を考えているのよ。
これも当然わかってるんだけど…

やっぱりアタシうさぎの理屈では
なぜ無数の(s+t+2個の)xに対してF(x)/G(x)がf(x)/g(x)と同じ値をとるのか
がいまいち判然としないわ
s+t+2とかs+t+1とか出てきて具体的で現実的で精緻な議論のはずなのに、むしろ全然わかんない…

連立方程式を解くっていっても
f(n_i) - m_i g(n_i) = 0
という方程式は無数にあるが、独立なものは有限個(f,gの係数の個数未満)
これら独立な方程式全てをもってきて、それらの解が作るベクトル空間をVとする
Vには成分が全て有理数の元が存在する(というか、Vの基底は全てが有理数のものをとれる)
が、それはいまの議論にはまだ関係なくて、とにかく、
Vの元でゼロではなくかつf,gの係数でもないものをとりF,Gとする (*)
F(x)/G(x)は無数のxにたいしてf(x)/g(x)と同じ値をとる (*)
したがってfG-Fgは多項式として0 …(以下略)
ということなんだけど、
うさぎの議論でなんで(*)が不要なのかアタシにはわかんないのよね
F,Gの係数がVの元だということはかなり決定的なことだと思うんだけど
でも、うさぎの主張だとそもそも(*)が不要ってことなのよね？n_iを適当にとるということは
わからん…
まあ、もう少し考えてみるわ

というか考えてたら別の方向にいっちゃったんだけど
係数をハメル基底で表すのも悪くなさそうよね
0350陽気な名無しさん2023/09/30(土) 14:01:49.060
あ、ごめんわかったわ
なるほどね、勝手にs+t+2(s+t+1)個選べばいいのね
0351Usagi2023/09/30(土) 16:15:56.630
そうよ、どれでもいいからs+t+1個以上選べばいいのよ。
何がわからなかったのかよくわからなかったけど納得されたのかしら。

>これら独立な方程式全てをもってきて、それらの解が作るベクトル空間をVとする
そのVってあたしの ker A そのものよね？

>Vの元でゼロではなくかつf,gの係数でもないものをとりF,Gとする (*)
このF, Gはゼロでないものでなければいけないけれど、F = f, G = g でもいいわ。
その場合、f, gがもともと有理数係数だったってだけの話よ。

つーかこれ、もともとアタシがよくわからないって書いてた疑問を
あなたが>>335で鮮やかに解決してくれたと思ったら
なぜか今度はアタシがそれをあなたに説明することになってワケわかんなくて
アタシおかしいこと言ってるのかしら？って不安になってきてたわw
0352陽気な名無しさん2023/09/30(土) 17:30:38.070
この問題考えた時にまず>>349で解いたのよ
つまり、無数の方程式から独立なもの全てを選び、これが全部でr個だとする(r<s+t+2)
この連立方程式をr×s+t+2行列BでBx=Oと表す(dimkerB=s+t+2-r)
で、kerBの有理数解をひとつ選ぶ、と

でもうさぎの言うことをよく読むと、行列Bじゃなくて適当に選んだ行列Aで議論してるじゃない？
んもう、いくらなんでもアンタ適当に選んじゃダメよってずっと思ってたんだけど
今日ゆっくり考えたら大丈夫だったわ

議論をBで始めるのとAで始めるのとはうさぎには同じかもしれないけどアタシの中ではかなり違う最初の一歩だからうさぎのやろうとしてることとなかなか折り合いがつかなかったわ
無数でいいのになんでいちいちsとかtとか出すのよ！んもう！！ってしっかり読もうとしなかったり
自分の考えが抽象的でなかなか良いものだと自信があったのもあって行列もs+t+2ももうやめて！！ってなってたところもあるかもしれない

悪かったわね
0353陽気な名無しさん2023/10/15(日) 08:06:50.44ID:Tsb2pvOj0
移動して復活したのね。
皆さん戻ってくるかしら？
0354陽気な名無しさん2023/10/15(日) 23:42:36.46ID:38gfmdz+0
もしかしたら簡単かも

ℤ1[X]⊂ℤ[X]はモニックの集合、P∈ℤ1[X]とする
∀f∈ℤ[X], ∃F∈ℤ1[X] s.t. F⚪︎f/P∈ℤ[X] か？
0355陽気な名無しさん2023/10/16(月) 17:16:00.96ID:A6mSabhj0
F⚪︎fの意味が分からないわ。
F(f(x))のこと？それともf(F(x))のこと？
もしかしてF(x)f(x)のこと？
F(x)f(x)なら簡単よね。F=Pとすればいいんだから。
0356陽気な名無しさん2023/10/17(火) 20:11:28.34ID:Dqo2CTbA0
P(x)=x
f(x)=1
0357陽気な名無しさん2023/10/18(水) 11:00:47.98ID:A4dHkKYj0
Pは∀なの？∃なの？問題からして∀Pを一つ固定した時に、ってことよね？
何なら「∀f∈ℤ[X], ∃F∈ℤ1[X] s.t. F⚪︎f/P∈ℤ[X]となるPの条件は？」という問いにしてもいいのでは？
例えばP=定数とかにしたらFをPの任意の倍元にすればいいから必ず成り立つわけだし。
もし任意のPに対して成り立つなら>>354の答えはyesになるわけだし。
出題者はyesになることをわかっていて出題しているのかな。
0358Usagi2023/10/22(日) 02:55:55.13ID:qIszYqZg0
>>354
あなたって321の人？ もしそうなら失望したわ
違う人だとしても、アタシもうこういうの相手にするの嫌になったわ
このスレで解いているのほぼアタシだから、アタシへの嫌がらせみたいにも感じてきたわ
モニックって最高次係数が1の多項式のことよね？ そんな言葉、一般人は知らないの
そしてℤ1[X]っていうのは一般的な記号なのかしら？ 誰か教えてほしいわ

まず言いたいのは、s.t. は such that だろうけど、こんなの一般的な日本人に通じるはずないわ
省略記号というのは、何度も登場するものに対して使うもので、しかも必ず最初に断ってから使うものよ
しかも英語で書いているならまだしも、日本語の文章中に英単語の略をいきなり使うなんてありえないわ
これ↓のk170さんの解答を読みなさいよ
https://math.stackexchange.com/questions/934108/what-does-s-t-mean
英語でも基本的には s. t. なんて使うべきではないって書かれているわ
自分用のノートなら好きなだけ書いていいわよ？
でも他人に理解してもらうための文章を書く時に、説明もなくこういう書き方をするのは独り善がりすぎるわ

そもそも、こういうインチキ論理式もどきみたいなのって、アタシ軽蔑するくらい嫌いなの
これ↓のhmakholm left over Monicaさんの解答を読みなさいよ
ちょうどアタシが言いたいことが丁寧に説明されているから
（321にある (∀a∈A)なんて、まさにこの方が批判している書き方ね）
https://math.stackexchange.com/questions/2933370/do-we-need-such-that-after-qualifiers
日本語の文章中でs.t.とか書くくらいだから、英語は読めるんでしょ？
これ読んだらこういう書き方はやめなきゃいけないとわかるはずよ
もし理解できないとしても、そういう書き方を続けていると
記号の使い方に対する無理解をさらすだけだからやめた方がいいわよ

そしてF⚪︎fだっていきなり使ってるから、実際に通じていないじゃないの
理解してもらえなくて損するのはあなただって、何度も言っているでしょ？
もちろん関数合成に⚪︎を使うのは一般的なことだけれど
何の説明もないから、アタシも何を表しているのか推測しなきゃわからなかったわ
>>356は F⚪︎f が f(F(x)) の意味ではないということを示す反例として書いたんだろうけど
なんで日本語で説明しないで、読者に推測させようとするのかしら？
ここは数学の問題を解くスレであって、日本語が不自由な人の書き込みの意味を推測するスレではないわ
ホント何様のつもりなの？

あなたみたいな書き方は間違っていると思うけれど、やるなら同サロじゃなくて数学板行きなさいよ
こんなとこよりも通じる人が多いでしょ？
0359Usagi2023/10/22(日) 03:15:16.37ID:qIszYqZg0
変なコメントが来たら嫌だから最後に一応問題を解いておくわ
でももう二度としないわよ

アタシが理解した問題を書き直してみるとこうよ↓
（こういうふうに書かれていたら文句言わなかったわ）

ℤ[X]で整数係数のXの多項式の集合を表し、ℤ1[X] = { f(X) ∈ ℤ[X] | fの最高次係数が1 } とする。
P(X) ∈ ℤ1[X] かつ f(X) ∈ ℤ[X]とする。
このとき、ある F(X) ∈ ℤ1[X] があって F(f(X))/P(X) ∈ ℤ[X] となることを示せ。

解答
P(X)が0次式の場合 P(X) = 1 だから、これは明らかに成立するわ。
だからP(X)がn次式として、n ≥ 1 の場合を考えるわ。
P(X)のn個の根をα_1, …, α_n とすると、 P(X) ∈ ℤ1[X] だから
根と係数の関係からα_1, …, α_n を変数とする基本対称式はすべて整数となるわ。
F(X) = (X - f(α_1)) … (X - f(α_n))
とおくと、これを展開した時の各 X^i の係数は f(α_1), …, f(α_n) を変数とする基本対称式かその -1倍になるけれど、
それぞれをα_1, …, α_n を変数とする式として展開した時の各項の係数は、f(X) ∈ ℤ[X] だから、整数になるわ。
そして、これらはα_1, …, α_n の任意の置換に対して不変だから
対称式の基本定理からα_1, …, α_n の基本対称式を変数とする整数係数の多項式で表せるわ。
以上からF(X)の係数は整数となって、したがって F(X) ∈ ℤ1[X] となるわ。
さて、P(X) が (X-α)^m を因数に持つとすると、
F(f(X)) = (f(X) - f(α))^m × (Xの多項式) だから F(f(α)) = 0、
そして m ≥ 2 なら任意の k < m について
F(f(X))のk階微分 (d/dX)^k F(f(X)) は (f(X) - f(α)) を因数に持つから X = α で値0を取るわ。
このことから F(f(X)) は (X-α)^m で割り切れ、したがってP(X)で割り切れるの。
F(f(X)) ∈ ℤ[X]であって、P(X) の最高次係数が1だから、割り算のやり方を考えれば
商の係数が全て整数となることがわかるから F(f(X))/P(X) ∈ ℤ[X] となるわ。
0360陽気な名無しさん2023/10/22(日) 09:15:50.56ID:kukMdiDj0
>>うさぎ
あなた戻ってきたのね、良かったわ。
>>354 はたぶんいつもの、おそらく専門家かそれに近い人よ。
monicは業界内では常識の言葉だから、わざとか無意識でか知らないけどここでも使ったのね。
s.t.はアタシが受けた授業の、とある教授は当たり前に使っていたわ。
業界内では当たり前に使う人もいるってことね。
ℤ1[X]に関しては一般的な記号ではないと思うけど、
『ℤ1[X]⊂ℤ[X]はモニックの集合』と書いているから、まあ、まあまあ。
繰り返しになるけど、全体的に業界内では普通に使う（人もいる）表現で書いてあるから、
わざとか無意識でか知らないけど・・・って、アタシはこの人
わざと業界人っぽさをひけらかしているんだと思うわ。
合成関数の表し方については、F⚪︎fと書いたら、
F(f(x))のつもりで書く人、f(F(x))のつもりで書く人、どっちもいるみたいよ。
だからこれは業界内でも同じ流儀の身内たちだけの中でならいいけど、
そうでないならどっちの意味で書いているのか明記しないとダメよ。
でも合成関数の記号のマルは、もっと小さいマルで書いていた記憶があるから、
これ見た時はちょっと違和感を覚えたわ。

解法については、何となくアタシも考えていたんだけど、
大筋同じような解法考えていたわ。
ただ、『さて、P(X) が (X-α)^m を因数に持つとすると、』から先、
微分とかまで考える必要あるかしら？
P(X) はモニックだから P(X)=(X - α_1) … (X - α_n) よね。
それで、F(f(X)) = (f(X) - f(α_1)) … (f(X) - f(α_n)) よね。
各 i=1, …, n に対して F(f(X)) の因数 (f(X) - f(α_i)) の X に α_i を代入すると０になるから、
この因数 (f(X) - f(α_i)) は (X-α_i) を因数に持つ。
だから F(f(X)) 全体では (X - α_1) … (X - α_n) = P(X) を因数に持つ。
これは重解を持とうと持つまいと（複数の α_i が等しかったりしたとしても）関係なく成り立つわ。
だから F(f(X)) は P(X) で割り切れる。
あと、F(f(X)) のその他の因数、つまり F(f(X))/P(X) が整数係数であることは、
『割り算のやり方を考えれば』でいいと思うわ。

これで良くない？
0361陽気な名無しさん2023/10/22(日) 09:35:04.20ID:4P24DPsi0
このことを端的に言うとなんだろうか？
学部生が習うような代数の言葉で表すと？
0362陽気な名無しさん2023/10/22(日) 10:01:27.26ID:PquMP1Mh0
みんな戻ってきたようで安心したわ。
0363Usagi2023/10/22(日) 12:33:06.06ID:qIszYqZg0
>>360
>s.t.はアタシが受けた授業の、とある教授は当たり前に使っていたわ。
授業なら先生が説明するだろうし、板書するの大変だから省略するのはわかるわ。
それに、もし授業が英語で行われるような場合なら、書くときはs.t.でも
口で言うときは such that て言うわけだからふつうにわかるだろうし。
でもこういうところでいきなり s.t. はないわ。

>全体的に業界内では普通に使う（人もいる）表現で書いてあるから、
そうだろうけど、上の二番めのリンクの方は、業界に蔓延している、
論理記号と一緒にコンマや s.t. を書いたり量化記号を後に書いたりする習慣を批判しているわ。
この例の場合
for all f∈ℤ[X], there is an F∈ℤ1[X] such that F⚪︎f/P∈ℤ[X]
という英文の一部の省略のために論理記号を使っているけれど
それは英語と論理という異なる言語をごっちゃにしていて言語道断ってこと。

>でも合成関数の記号のマルは、もっと小さいマルで書いていた記憶があるから、
正しい記号は f∘g かしら？
こういう問題もあるから、やはり記号の説明は必要なのよね。

解法についての指摘はその通りね！
(f(X) - f(α_i)) それぞれに因数定理を使えばいいのね。
アタシはつい F(f(X)) 全体に因数定理を使うことを考えちゃったから
重根があったらわからないわって思っちゃったの。

ていうか、このスレ5ch全体で見ても屈指の健全スレだと思うんだけど
なんでPINKに追いやられなきゃいけないのかしら
18禁よね？ 本来の対象者である大学受験生の多くが立ち入り禁止になるわ？
0364Usagi2023/10/22(日) 12:34:12.31ID:qIszYqZg0
>>361
なんなのよ。思わせぶりに書かないで教えなさいよ。
0365陽気な名無しさん2023/10/23(月) 05:23:23.71ID:zV9Mewbs0
この問題を一言で表すと
ℤ[X]/(P)はℤ上整である
ということだ
だからもう少し環論的な証明があるかもしれない
0367陽気な名無しさん2023/10/23(月) 09:20:36.71ID:aUn6DPEh0
>>354 = >>361 = >>365 = >>366　かしら？
学部生が習うようなとか、環論的とか、加群とか、さすがにスレチよ。
数学板でやってちょうだい。
>>354 は、>>359 のように書かれていれば
大学入試レベルで解けるからスレチではないかもしれないけど、
書き方がダメよね。
0368陽気な名無しさん2023/10/23(月) 09:38:28.35ID:aUn6DPEh0
大学入試レベルで解けるってつい書いちゃったけど、本当かしら？
代数学の基本定理を当然のように使っているけど、
大学入試レベルで代数学の基本定理やってたかしら？
それとも代数学の基本定理使わないで解けるかしら？
0369Usagi2023/10/23(月) 16:55:36.90ID:cuLGepjl0
>>368
高校まででは代数学の基本定理も習わないし対称式の基本定理も習わないから、高校レベルでは解けないわよ
これらの定理を聞きかじったことのある高校生はそれなりにいるとは思うけど
証明まで読んだことのある高校生なんてほとんどいないでしょうし
それにfが整数係数だから書き換えた式も整数係数になるとか、環を意識しなきゃいけないポイントもあるわ
0370Usagi2023/10/23(月) 17:16:28.71ID:cuLGepjl0
>>365
興味深そうな話をしているのはわかるけど、同サロでやる意味がわからないわ
そういうことを知らないアタシみたいな人たちに説明してくれるならいいけどさ
別に義務ではないけれど、同サロって基本的にオネエ言葉での会話を楽しむ場所でしょ？
言葉が全くないか、あってもオネエじゃないから、言葉のやりとりを楽しむ目的ではなさそうね
かと言って数学的に専門的な話をしたいなら、こんなとこじゃなくて数学板の方が100倍適しているわ
（それとも書き込んでいないだけで数学科釜がけっこういて見てたりするのかしらw）
0371陽気な名無しさん2023/10/25(水) 07:08:38.81ID:3krOhf1x0
>>369
やっぱり高校レベルでは無理よね。
代数学の基本定理の証明なんて、アタシだって覚えていないわ。
というかちゃんと証明を理解して納得した記憶もないわ。

>>370
>>365 に関してなんだけど、
>可換環論において、可換環 B とその部分環 A について、B の元 b が A 係数のモニック多項式の根であるとき、b は A 上整である（integral over A）という。
B のすべての元が A 上整であるとき、B は A 上整である、または、B は A の整拡大（integral extension）であるという。（Wikipedia）
ということなんだけど、ℤ[X]/(P)ってℚ[X]/(P)つまり、ℚにPの根を添加した体の部分環でしょ。
ということはPはℤ係数のモニックなんだからこれがℤ上整なのは当たり前じゃない。
>>365 は当たり前なことしか言ってないと思うわよ。
でも多項式環を考える時、元である多項式を関数と見て合成関数を考えるなんてしたことないから、
このことが>>354とどう関係するのかはよくわからないわ。
0372陽気な名無しさん2023/10/25(水) 07:19:36.49ID:3krOhf1x0
数学板にも高校レベルのスレだってあるんだし、
純粋に数学要素だけを求めるなら数学板行けばいいのよ。
ここはやっぱり同サロ要素があってナンボだと思うわ。
それともスレチ連発するいやらしさが同サロっぽいとでもいうのかしら？
そういう同サロっぽさはいやだわ。
0374陽気な名無しさん2023/10/26(木) 13:50:53.17ID:YQsdlhAf0
>>373 は、アタシとうさぎ以外の釜にチャレンジしてもらいたいわね。
このスレにちょうどいい問題だと思うわ。
0375陽気な名無しさん2023/10/26(木) 17:54:08.30ID:9gTB3v3B0
厚かましいわね
アンタうさぎほど解いてないでしょう？
アンタが解きなさいよ
0376陽気な名無しさん2023/10/26(木) 18:10:57.70ID:YQsdlhAf0
厚かましいとかそういう問題ではなくて、
せっかく高校レベルの問題なんだから、
大学数学やってない人に解いてもらいたいのよ。
このスレが大学数学やった人だけが解くのは
残念なことだもの。
（うさぎも大学数学独学でかじってるわ）
もっと多くの釜に参加してもらいたいのよ。
0377Usagi2023/10/26(木) 21:57:37.65ID:2b5Q++bK0
>>371
レスありがとう。
ℤ[X]/(P)という記法がそもそもわからなかったから、ちょっと調べてみたんだけど
まず (P) はPによって生成されるイデアルで、Pの倍数の集合、つまり
(P) = { gP | g ∈ ℤ[X] } ということよね？
ℤ[X]/(P)はℤ[X]を(P)で割ってできる剰余環、つまり
ℤ[X]の要素の中で、その差が(P)の要素であるものを同一視して得られる環ってことよね？
アタシまだ環論勉強できていないから色々おかしなこと書いてたらごめんなさいね。
でもそうなら>>365は確かに>>354の書き換えなんだと思うわ。
Wikipediaの定義の可換環Bにあたるのが、この場合ℤ[X]/(P)でしょ。
f ∈ ℤ[X] に対して、ℤ[X]/(P)の要素である同値類でfが属するものを [f] と書くことにすると
[f] = { f + g | g ∈ (P) } よね？
F(f)がPで割り切れる、つまり F(f) ≡ 0 (mod P) なら、F([f]) = [0] となるから
ℤ[X]/(P)で考えると、F(Y) = 0 というℤ係数モニック方程式の根が Y = [f] であるということでしょう。
ただし、厳密にはℤ自体はℤ[X]/(P)の部分環じゃなくて、Wikipediaの定義の部分環Aにあたるのは
{ [z] | z ∈ ℤ } になるんじゃないかしら？ でもこの集合をℤと同一視してℤと呼んでいいなら
任意の [f] ∈ ℤ[X]/(P) がℤ上整、つまり ℤ[X]/(P) はℤ上整、と言えるんじゃないかしら。

でもあなたはもしかして違う話をしているの？ それとも実は同じなの？
>ℤ[X]/(P)ってℚ[X]/(P)つまり、ℚにPの根を添加した体の部分環でしょ。
ここがよくわからないわ。Wikipediaの「剰余環」を読むと、確かに
「剰余環は体の拡大を構成する」と書かれていて、例えば剰余環ℝ[X]/(X^2+1)は複素数体ℂと同型、とあるわ。
アタシなりの理解では、X^2+1 = 0 の根のどちらか、例えばiをXで表すことにすれば
ℂとℝ[X]/(X^2+1)の間に a + bi ↔︎ [a + bX] という同型対応が作れるってことかしら？
一般に体Kに対して、K/(P)はKにPの根を添加した体と同型になるの？
上の例みたいに Pが2次式で P(X) = X^2 - cX + d なら、その根のひとつをXで表せば
もうひとつは根と係数の関係から c-X と表せるから、このことが言えそうなのはわかるけれど
Pが3次以上でも同様のことが言えるのか、未勉強のアタシにはわからないわ。

もうひとつ気になった点は、ℚ[X]/(P)がℚにPの根を添加した体であると書かれているけれど
ℚ[X]/(P)は、ℚにPの根を添加した体に同型なだけで、イコールではないのよね？
上の例だとℂとℝ[X]/(X^2+1)は同型だけど ℂ = ℝ[X]/(X^2+1) ではないのよね？
「ℚにPの根を添加した体の部分環」というのは、数の集合よね。
一方、ℤ[X]/(P) はXの多項式の集合の集合よね。
>ℤ[X]/(P)ってℚ[X]/(P)つまり、ℚにPの根を添加した体の部分環でしょ。
この言い方は、これらを同型対応を通して同一視しているの？
そしてそうだとすると、「ℤ上整なのは当たり前」なの？
>>365は>>354の単なる書き換えだから、365が当たり前ということは
アタシが>>359で証明したことは証明するまでもなかったってことになるわ。
当たり前というのは勘違い？ それとももっと深い意味で当たり前なの？
ああっ、もういろいろわかんない！
ごめんなさい、狂ったように書き散らしてしまって…
0378陽気な名無しさん2023/10/27(金) 07:36:53.04ID:W+xQRGGA0
話がよく見えんが、とりあえずQ[X]/(P)は体になるとは限らない
0379陽気な名無しさん2023/10/28(土) 08:43:34.74ID:u669qhtc0
>>377

あなたの学習能力は凄いわね。尊敬するわ。

アタシゃ昔やったうろ覚えの記憶で書いてるから、

アタシの方こそ色々おかしなこと書いてるような気がするわ。

だいたい元々Pはモニックの前提だったのに、

いつの間にPは既約（しかもある代数的数の最少多項式）のイメージで書いてしまってたようだし。

(>>378 が指摘してるのはたぶんここではないかしら)

あなたの説明で、>>365は>>354の書き換えであることが分かった気がしたわ。

ありがとうね。



ただね、

>ただし、厳密にはℤ自体はℤ[X]/(P)の部分環じゃなくて、Wikipediaの定義の部分環Aにあたるのは

{ [z] | z ∈ ℤ } になるんじゃないかしら？

この部分は、{ [z] | z ∈ ℤ } = ℤ になると思うわよ。

なぜなら P はモニックなんだから degP ≧１としていいわよね。そうすると（P)の要素は０以外はすべて deg ≧１でしょ。

そうすると

>[f] = { f + g | g ∈ (P) }

なんだから [z] (∀z ∈ ℤ) は z と異なるあらゆる z' ∈ ℤに対して [z'] とは同じ剰余類にはなりえないでしょ。

この段階で、

> >>365は>>354の単なる書き換えだから、365が当たり前ということは

アタシが>>359で証明したことは証明するまでもなかったってことになるわ。

これは言えてるのではないかしら。



そこから先の体の拡大の話、

>一般に体Kに対して、K/(P)はKにPの根を添加した体と同型になるの？

これはPがK上代数的な元の最少多項式なら成り立ったと記憶しているわ。

もしそうならならPの一つの根をαとすれば、１，α，・・・，α^(degP-1)

を基底とするK上 degP 次の拡大体になったはず。

もちろん同型対応を通して同一視している表現よ。
0380陽気な名無しさん2023/10/28(土) 08:44:51.68ID:u669qhtc0
ヤフーメールで下書きして、そのままコピペしたら一行おきになってたわ。
ごめんなさいね。
0381陽気な名無しさん2023/10/28(土) 09:18:19.07ID:u669qhtc0
間違えちゃいけないと、ちょっと慎重な表現してたけど、
モニックが既約であることと、ある代数的数の最少多項式であることは同値みたいね。

ttps://math-notes.info/wp-content/uploads/2021/08/field-3.pdf
0382陽気な名無しさん2023/10/28(土) 09:37:44.64ID:u669qhtc0
>>378
納得したわ。
Pが既約でない時、P＝fgとすると、
ℚ[X]/(P)∋f,g はどちらも０ではないが、fg=0 になるわね。
零因子を持つから、体どころか整域ですらないわね。
既約なら体になることは>>379 と>>381 で大丈夫ね。
0383陽気な名無しさん2023/10/28(土) 10:18:45.54ID:9+wDBC/80
>>379の話はよく分からんが
たしかにQ[α]=Q(α)になることを理解するだけでもそれなりの代数学の素養が必要
0384陽気な名無しさん2023/10/28(土) 10:40:45.65ID:u669qhtc0
>>383
そうね。
すくなくともうさぎが独学でスムーズに理解できるようにキーワードを書いておくわ。

（P）は素イデアル
ℚ[x] はP.I.D.
P.I.D.では素イデアル⇔極大イデアル
極大イデアルによる商環は体

これくらい書いておけば十分でしょう。
0385Usagi2023/10/28(土) 22:27:31.79ID:Fa3w/DfT0
>>379
いろいろ補足ありがとう。
> [z] (∀z ∈ ℤ) は z と異なるあらゆる z' ∈ ℤに対して [z'] とは同じ剰余類にはなりえないでしょ。
これはわかってたんだけど、{ [z] | z ∈ ℤ } と ℤ は同型なだけで、厳密には異なるものでしょ？
前者は多項式の同値類（つまり多項式の集合）の集合で、後者は数の集合だもの。
代数では、同型なものを = としちゃうのが一般的な習慣なの？
なんか気持ち悪く感じちゃうんだけど…

>> >>365は>>354の単なる書き換えだから、365が当たり前ということは
>アタシが>>359で証明したことは証明するまでもなかったってことになるわ。
>これは言えてるのではないかしら。
えーと、任意の ℤ[X]/(P) の元fは ℚ[X]/(P) の元でもあり
つまりℚにPの根を添加した体の要素であるってことよね？
でもこのことからfがℤ係数のモニック多項式の根と言えるのかしら？
もちろんfがPの根の場合は、それはℤ係数のモニック多項式の根だけど
例えば f = 1/2 なら、これはℤ係数のモニック多項式の根じゃないんじゃないの？
あとこれって、あなたが、Pが既約だと思い込んでいて
その結果ℚ[X]/(P)をℚにPの根を添加した体だと思ったから言ったことなのよね？
そうでない場合は、別の議論が必要なんじゃないのかしら？

>これはPがK上代数的な元の最少多項式なら成り立ったと記憶しているわ。
>もしそうならならPの一つの根をαとすれば、１，α，・・・，α^(degP-1)
>を基底とするK上 degP 次の拡大体になったはず。
これはとても興味深いわ。じゃあK上既約なn(>1)次方程式の根のひとつをαとすると
残りのn-1個の根はすべてαのK上の(n-1)次以下の式で表すことができるのね？
いずれにせよ、このこと自体が当たり前とは言えないレベルの話だから
Pが既約な時あなたの議論が正しいとしても>>354が当たり前と言っていいのか微妙な気がするけど…
0386陽気な名無しさん2023/10/29(日) 11:27:56.88ID:LnxNFhA30
てすと
0388陽気な名無しさん2023/10/29(日) 13:20:54.53ID:8rEB/JGo0
>>387
>>373 が先よ
0389陽気な名無しさん2023/10/31(火) 08:40:00.81ID:FVOckjyx0
>>385
>同型なだけで、厳密には異なるものでしょ？
これね、その疑問はよくわかるわ。
代数で同型なものっていろいろあるけど、
いろいろ証明して同型だ、って判明するものもあれば、
自然に同一視できる自明な同型（canonicalな同型とかいうわね）
もあって、自明な同型は場合によて同一視することもあるのよ。
同一視した方が便利だったり理論がわかりやすくすっきりすることもあるし。
例えば線形代数の「双対空間」って知ってるかしら。
双対空間の双対空間は、最初の空間に同型になるんだけど、
これは自然な同型になるから普通同一視するわ。
今回の場合、{ [z] | z ∈ ℤ } と ℤ は自然な同型でしょ。
同一視して差し支えない例だと思うわ。

>> >>365は>>354の単なる書き換えだから、365が当たり前ということは
>アタシが>>359で証明したことは証明するまでもなかったってことになるわ。
>これは言えてるのではないかしら。
これに関しては、あなた >>377 で
> でもこの集合をℤと同一視してℤと呼んでいいなら
>任意の [f] ∈ ℤ[X]/(P) がℤ上整、つまり ℤ[X]/(P) はℤ上整、と言えるんじゃないかしら。
って言ってたでしょ。その通りだと思うし、
上記の自然な同型でこの話は終わっていると思うわ。
体の部分環とかいう話はここでは必要ないと思うわ。

>これはPがK上代数的な元の最少多項式なら成り立ったと記憶しているわ。
>もしそうならならPの一つの根をαとすれば、１，α，・・・，α^(degP-1)
>を基底とするK上 degP 次の拡大体になったはず。
これはね、K上既約なn(>1)次方程式の根のひとつをαとして、
他の根の一つをβとしたときに、K(α)とK(β)は同型なのは間違いないのだけれど、
同一になるとは限らないのよね。
だから、
>K上既約なn(>1)次方程式の根のひとつをαとすると
>残りのn-1個の根はすべてαのK上の(n-1)次以下の式で表すことができるのね？
これは成り立たないわ。
例えばℚ上で考えるとして２の4乗根の最少多項式は x^4-2 になるけど、
これの4っつの解は ±(２の4乗根), ±(２の4乗根)i になるわよね。
ℚ（２の4乗根）＝ℚ（ー２の4乗根）ではあるけれど
ℚ（２の4乗根）≠ ℚ（(２の4乗根)i ）よ。
（上は実数体ℝの部分体だけど下は違う）だから、
この場合、ℚ（２の4乗根）はℚ上４次だけど、最少多項式 x^4-2
の根全てを添加した体（ℚ上の x^4-2 の分解体って言うんだけれど）
ℚ(２の4乗根, i) はℚ（２の4乗根）上２次、
ℚ上だと８次の体になるわ。
ちなみに余談だけど分解体の、元の体上の自己同型群を考えた時、
その部分群たちの一つ一つとその分解体の中間体の一つ一つが、
その部分群による固定体（その部分群によって移り合わない元全体からなる体）
という関係で完全に１：１対応する
（部分群の指数と体の拡大次数の関係も完全に一致する）
というのが体のガロア理論よ
0390陽気な名無しさん2023/10/31(火) 12:13:38.34ID:pLlvhAYD0
この人、アタシたちとは整の定義が違うのかしら
0391陽気な名無しさん2023/10/31(火) 15:17:56.07ID:FVOckjyx0
>>390
整の定義はずっと >>371 にあるwikiの定義でやってきてるわよ。
あなたたちの「たち」がどんな人たちを含むのかは知らないけど、
あなたたちはwikiの定義と違う定義でやっているのかしら？
それは一体どんな定義なのかしら？
0392Usagi2023/11/03(金) 00:19:21.12ID:Xc1Wtdwf0
>>389
なるほどね、自然な同型の場合は同一視するのね。

>上記の自然な同型でこの話は終わっていると思うわ。
>体の部分環とかいう話はここでは必要ないと思うわ。
ちょっとよくわからないわ。
あなたは、>>365が>>354の書き換えであることを気づかずに
（☆）　 ℤ[X]/(P)はℚ[X]/(P)の部分環だからℤ上整である
と書いたと思うのよ。
もちろん、>>359でアタシが書いた証明を前提にすれば、365は354の書き換えだから当たり前と言えるけれど
でもあなたは、>>379で359の証明は必要なかったって書いたと思うの。
結局359は必要なの？
アタシがわからないのは、直接（☆）が当たり前のものとして理解できるのかしら、ということよ。
例えば、もしℚ[X]/(P)がℤ上整なのだとしたら（☆）が言えるんだろうけど、そうは思えなかったの。

最後の部分については納得したし、勉強意欲が湧いてきたわ。ありがとう。
あなたが>>371で「ℚにPの根を添加した体」って書いた時、
「ℚにPの根のひとつを添加した体」の意味で書いていたのね。
でもアタシは「ℚにPの根のすべてを添加した体」の意味だと思ってしまったのよ。
日本語はこういうところが難しいわね。
0393陽気な名無しさん2023/11/03(金) 10:50:17.06ID:gfK4fzRt0
いやにネチっこい書き方するわね
はっきり言ってやりなさいよアンタはアホだって
0394Usagi2023/11/03(金) 11:06:03.09ID:Xc1Wtdwf0
>>393
消えなさい
実生活でストレス溜まってるのか知らんが、匿名掲示板で他人をそしるとか
他人のことをとやかく言う前に、アンタはまず自分を見つめ直しなさい
仲良く交流する気がないなら来ないで
0395陽気な名無しさん2023/11/03(金) 11:15:31.28ID:gfK4fzRt0
アタシャこのやりとりにうんざりしてんのよ
当たり前と主張する人は一向に証明しないしそれをうさぎがいやらしい言い回しでネチネチとせめるのも
そろそろいい加減にしなさいよ
0396Usagi2023/11/03(金) 11:58:54.49ID:Xc1Wtdwf0
あなたちょっと捻くれてないかしら
もっと物事を単純にとらえたら？
アタシはせめてるわけじゃないわ
人の書き込みで理解できなかった部分、共通見解に達していないと思われる部分について問うているだけよ
よくわからない部分をそのままにするのは嫌だからよ
それに、そうではないのに表面的にすべて納得したように振る舞うのは誠実じゃないから
（これって対面だと結構難しいから、ある意味掲示板のメリットだと思うわ）
だから、どこですれ違っているのかはっきりするように丁寧に書いているだけよ
まあ、丁寧に書いているのはいつもだけど。
それは、アタシの考えがなるべく正確に読み手に伝わって欲しいからよ
それをいやらしいだとか言われたら、じゃあどう書いて欲しいのよ？
0397Usagi2023/11/03(金) 12:08:32.28ID:Xc1Wtdwf0
もしかして>>390もあなた？
390みたいに具体的な問題点を指摘しないものは、ただのいいがかりと変わらないのよ
0398陽気な名無しさん2023/11/03(金) 12:25:25.08ID:gfK4fzRt0
はい？
あまりにも話が噛み合わないからアンタの使ってる整の定義は何？と問い糺すのが言いがかりなの？
アンタ、ちょっと捻くれすぎてない？
0399Usagi2023/11/03(金) 13:40:14.11ID:Xc1Wtdwf0
なんでそんなに喧嘩腰なのかしら。
定義はWikipediaを引用しているじゃないの
あなたの定義がそれと異なるなら、「私の知っている定義はこうなんだけど…」と具体的に述べればいいわ
定義は同じだけれど、そのあとの議論でおかしいと思う部分があるのなら、
「…の理由で、議論がおかしいと思うんだけど」と、やはり具体的に述べればいいのよ
（あたしが>>392で書いたのはそういうものよ）
それはいやらしいとかいう問題ではなく、学問的に至極当然の態度よ
具体的な批判を述べずに嫌味や罵倒を言うのは、学問的態度の対極にあるのよ
小学生の口喧嘩と変わらないわ
0400陽気な名無しさん2023/11/03(金) 13:54:05.69ID:fMv6n82v0
それならあとは>>389が弁明するだけね
どう説明してくれるのか楽しみにしてるわ
0401陽気な名無しさん2023/11/03(金) 14:08:20.48ID:L4C0hZuG0
それならアタシは>>391の学問的態度を非難したいわ
ここに少なくとも2人(Usagiの自演でなければだけど)の混乱したオンナがいるんだからさっさと説明しなさいよ
煙に巻くようなことばかり言って証明しようとしない態度こそ真摯な学問的態度とはかけ離れていると言えるわ
0402陽気な名無しさん2023/11/03(金) 14:21:25.90ID:gfK4fzRt0
何よりもまずおかしいと指摘できるくらいの議論を見せてほしいわw
0403陽気な名無しさん2023/11/04(土) 09:55:19.16ID:2/nTeCmd0
>>うさぎ
>>400
ごめんなさいね。
あと一週間くらい忙しくて、しばらく回答できそうにないわ。
一週間ずっと殺人的に忙しいわけではないんだけれど、
キチンと回答するためには、>>392 やそれ以前のやり取りを
しっかり読み返して論点整理して、じっくり考え直して、
さらに回答の文章を丁寧に書かなきゃいけないでしょう。
それにはまとまった時間が必要そうだから、しばらくはごめんね。

ところでアタシはうさぎがねちっこいとは思ったこともないわよ。
うさぎの指摘は具体的で、挑発的な発言もないし、
いつも真摯なレスをくれて感謝しているわよ。
このスレが良スレならば、それはひとえにうさぎのおかげだと思っているわ。
それに引きかえ>>400 はこれまでのイヤミな人と同一人物だと思うけど、
指摘するにしても具体的ではないことが多く、挑発的な発言が多くて嫌になるわ。

ちなみにアタシがあまり問題を解かないのは、
パッと見てすぐにわかるような問題ならば、他の誰かが解くべきだと思うし、
じっくり考えないとならないような問題ならば、なかなかその時間が取れないからよ。
まあ最近は>>400 らしき人が出す、完全にスレチな問題に、
うさぎが頑張って解くってパターンが多いようだけれども。
それより珍しく>>373 に、このスレにふさわしい問題が出されたから、
それを高校数学までしかやっていない釜に解いてほしいと思っているわ。
それがこのスレの本来の姿だと思うから。
0404陽気な名無しさん2023/11/05(日) 06:14:04.44ID:R5/eDDzn0
問題解けない人が
この問題はまだ解くな、あっちが先だ
とかいちいち指図しないでほしいわ
お門違いも甚だしいのよ
どの問題を解くかは問題を解ける有能な人に任せておけばいいと思うの
0405陽気な名無しさん2023/11/05(日) 07:14:12.87ID:d5pWgaGy0
スレタイ読めない人が書き込みしないでほしいわ
0406陽気な名無しさん2023/11/05(日) 07:40:55.47ID:l6LzFpCq0
解きもしないのに異様にスレタイに拘泥るのやめてほしいわ
0407陽気な名無しさん2023/11/05(日) 12:43:07.75ID:PzH8Zoxc0
>>405
たしかに…
解くゲイのスレなのに何で解かない人が出しゃばってくるのかしら
0408Usagi2023/11/05(日) 23:17:41.86ID:qOvk+zjX0
403=ものぐささんとして話を進めるけど、
ものぐささんは指図ではなくて希望のつもりで書いたんだろうとは思うわ。
でも反発する人が出るのもわかる。
でもね、アタシはみんなに仲良くしてほしいの。

問題解かない人が、って非難しているけど、じゃあみんなも解いてよ！
このスレで問題解いているの、大半がアタシだけど
アタシ以外が解いたもののいくつかは、ものぐささんによるものだと思うわよ。

このスレ、同サロがPINKに来る前はIDなしだったじゃない？
だからどれくらい人がいるのかさっぱりわからなかったの。
最悪、アタシとものぐささんと他一人で3人しかいない可能性すらあると思ってたのよ。
でもIDありになって、今日の書き込みから、アタシとものぐささん以外にも
4人はいることがわかって、すごく嬉しかったわ。
書き込まないで読んでいる人もいるだろうから、案外多くの人が見ていることがわかったわ。

実をいうと、アタシかなり孤独に感じてて辛かったのよ。
もしかして、3人しかいないスレで、ある一人が出し続ける難しい問題を
アタシが解き続けているだけだったらどうしよう、って時々頭をよぎってw
まあアタシが解き続けるから問題がどんどん難しくなってきた節もあるけど
でもそれで余計にアタシが解かないと誰も解きそうにない感じになってきて…
本当は、いろんな人の解き方を見たり、それについて話し合ったりしたいの…

もうスレタイと実態が全然合っていないけど
個人的には大学入試レベルにこだわる必要はないと思っているわ。
高校で何を習うかは、文科省が勝手に決めているだけで数学的に何も意味はないし
それに、まだ解けていない問題は高校レベルで解けるかどうか分からないものね。
実際、京大の入試問題を考察してたら高校レベルを超えた話になったりしたじゃない？
でもそれは自然なことだし、むしろ興味深いことだわ。

ただね、問題を出す人は、高校レベルの数学の知識で理解できるように書いて欲しいと強く思っているの。
要するに、大学数学を勉強した人でないと理解できない表記はやめて欲しいの。
（それがやりたいなら数学板にいくべきだわ）
アタシとものぐささんしかスレにいないなら実際上あまり問題なかったかもしれないけれど
他にも多くの人が見ていることがはっきりした以上、これは守って欲しいわ。
そもそも大学数学で使う記号って、本や分野が違えば違う意味になったりするわけで
実際、数学書でも記号は巻頭か巻末にリストになっていることが多いわよね。
高校までで習う記号は一般常識と考えられるからいいけれど、それ以外のものは必ず説明を付すべきね。
0409陽気な名無しさん2023/11/09(木) 15:32:00.02ID:jEJpfjjc0
>>うさぎ
とりあえず時間みつけて読み返してみたわ。
まず分かったのは、アタシは>>377 を勘違いしていたわ。
うさぎはこの一段目でで、>>365 と>>354 が書き換えであることを示しただけだったのね。
てっきり、365を証明しようとしていて、{ [z] | z ∈ ℤ }がℤと同一視できるかどうかが
証明の障壁になってるものだと勘違いしたのよ。
だから>>379 では同一視できることを説明して、それでOKだと思い込んでいたの。
アタシがきちんと読んでいなかったようだわ。ごめんなさいね。

それで、>>385 の2段目の
>例えば f = 1/2 なら、
これは
>ℤ[X]/(P) の元f
の仮定に反するわよね。
もしℚ[X]/(P)が体ならば既約でモニックであるPの根αを添加したものだから、
ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
それで、モニックの根となる数のことを代数的整数って言うんだけど、
代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数であることが知られているの。
このことのきちんとした証明は、代数的数（有理数係数の多項式の根）が
加減乗除で閉じていることの証明と同じようにするのだけれど、
詳しくは、例えば高木貞治先生の「代数的整数論」なんかにきちんと載っているわ。
だからℚ[X]/(P)が体ならばℤ[X]/(P)はℤ上整であることが言えるわ。

でも、
>あとこれって、あなたが、Pが既約だと思い込んでいて
その結果ℚ[X]/(P)をℚにPの根を添加した体だと思ったから言ったことなのよね？
そうでない場合は、別の議論が必要なんじゃないのかしら？
これは全くその通りだわ。
Pが既約でない時の、環論的な証明は今のところ思い浮かばないから、
やっぱりその場合は>>359 がわかりやすいと思うわ。
そもそも個人的に整域でない環は扱うの苦手だわ。
0410陽気な名無しさん2023/11/09(木) 15:40:12.26ID:jEJpfjjc0
>>408
それから、同じ日付でIDが異なるからって、別人だとは限らないわよ。
やっぱり書き込み内容や口調で判断する方がまだ妥当ではないかしら。
0411Usagi2023/11/09(木) 23:06:52.43ID:ECaIrZJc0
>>409
アタシが分からないのは↓なの。

（☆）　 ℤ[X]/(P)はℚ[X]/(P)の部分環だからℤ上整である

なぜ f = 1/2 という例を出したかというと、はじめに（☆）を見た時、

（★）　ℚ[X]/(P)はℤ上整であり、ℤ[X]/(P) ⊆ ℚ[X]/(P) なのでℤ[X]/(P)はℤ上整である

と言いたいのかと思ったのよ。 1/2 ∈ ℚ だから 1/2 ∈ ℚ[X]/(P) よね？
けれど 1/2 はℤ上整でないからℚ[X]/(P)はℤ上整ではないので、（★）は間違っているわよね。
じゃあ（★）の意味でないのなら、（☆）はどういう根拠なのかしら、とききたかったの。

>ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
↑はOKよ。でも↑と↓がどう関係があるのか、分からないわ。
>代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数であることが知られているの。
これはℤ上整なもの同士で加法減法乗法してできるものは、ℤ上整という意味よね？
でもそこからなぜ↓が結論されるのかアタシには理解できないわ。
>だからℚ[X]/(P)が体ならばℤ[X]/(P)はℤ上整であることが言えるわ。

f∈ℤ[X]/(P) が整数係数のαのn-1次以下の式で表されるのはいいんだけれど、
今示したいことって、そういうfがℤ上整、つまり整数係数のモニックの根であることよね？
Pの根をα_1, …, α_nとして、fがn-1次以下の整数係数のgを用いて f = g(α_1) と表されるとして
fがℤ上整であることを示すには、例えば (X-g(α_1)) … (X-g(α_n)) が整数係数になるとか
そういうことを言わなければいけないんじゃないのかしら？
0412Usagi2023/11/10(金) 01:11:07.53ID:Q9WevY+D0
ていうか f ≡ g (mod P) よね
だからこれって結局>>359に書いたものと同じことよね…
0413陽気な名無しさん2023/11/12(日) 09:04:00.44ID:0xDWsMhK0
>>411
とりあえず（★）は間違っているわ。
>じゃあ（★）の意味でないのなら、（☆）はどういう根拠なのかしら、とききたかった
これを説明すればいいのね。そのためには
>代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数であることが知られている・・・(a)
これが必要なので、これは認めてね。又は自分で調べてね。（wikiなんかでも参考になるかも）

ではまず、
「αをPの根の一つとしたとき、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば、Pはモニックなので、αは代数的整数」
これは代数的整数の定義「モニックの根となる数のことを代数的整数と言う」より、大丈夫よね。
それで、
>ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
↑はOKよ。
と書いてくれたので、これを使うわ。
ｆを表している整数係数のαのn-1次以下の式の各項についてみると、
係数は整数だからこれは代数的整数、あとはαのべきだからやはり代数的整数の積。
よって各項は(a)によって代数的整数であることがわかる。
するとｆを表している整数係数のαのn-1次以下の式は各項の和又は差だから、
やはりｆ自体も(a)によって代数的整数であることがわかる。
以上より、ℤ[X]/(P) の元fは必ず代数的整数、つまりあるモニックの根であるので、
ℤ[X]/(P) はℤ上整であることが言える。

かなり丁寧に説明したつもりだけど、これでどうかしら。
ただ、これだと一見、「ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば」という条件はどこで必要なの？
という疑問が出てくるかもしれないわね。

これについては、
ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば、ℚ[X]/(P)⊃ℤ[X]/(P)＝ℤ[α] であることが言えるので、
うさぎが認めてくれた
>ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
↑はOKよ。
これが確かにOKなの。
でも、ℚ[X]/(P)が体でないならば、Pが既約でないから、
ℚ[X]/(P)にも、ℤ[X]/(P)にも零因子が存在するので、
（P＝P’・P''としたとき、[P']と[P'']は共にℚ[X]/(P)やℤ[X]/(P)の元で
[0]とは異なるが、[P']・[P'']＝[P]=[0]になるわ）
αをPの根の一つとしたときに、整数係数のαのn-1次以下の式で表されるものは零因子ではないから、
（これはαの最少多項式でありPの既約因数であるP’に対してℚ[X]/(P’)が体になり、
ℚ[X]/(P’)＝ℚ(α)や ℤ[X]/(P’)＝ℤ[α] に対しては前半の議論が成り立つわ）
ℤ[X]/(P) の元fの中には整数係数のαのn-1次以下の式で表されないものも存在してしまうのよ。
だから「ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば」という条件はどうしても必要なの。
0414陽気な名無しさん2023/11/12(日) 12:53:21.48ID:LlqaUPnL0
やっとこのアホの言うことが分かってきたかも…
0415Usagi2023/11/13(月) 04:38:17.28ID:m/ukN7k50
>>413
>「αをPの根の一つとしたとき、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば、Pはモニックなので、αは代数的整数」
>これは代数的整数の定義「モニックの根となる数のことを代数的整数と言う」より、大丈夫よね。
ちょっと文章がおかしくなっている気がするんだけど、きっと
・仮定からPは整数係数のモニック多項式なので、αをPの根の一つとすると、αは代数的整数
・ℚ[X]/(P)が体ならば、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) となり、ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表される
とおっしゃりたいのよね？
そして代数的整数は単なる「モニック多項式の根」ではなくて「整数係数のモニック多項式の根」よね？
そうなら、前半は理解できたわ。ありがとう。
>>409を読んだ時は、αが代数的整数だということがアタシの頭から抜け落ちていたから分からなかったの。

高木本は持ってないけれど、前スレで紹介していただいた草場（著）「ガロワと方程式」のp. 80に
「2個の代数的数a, bに対してa+b, a-b, ab, a/bも代数的数である」
という定理はあったわ。これの証明を代数的整数に限定してa/bを無視したら、そのまま
「代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数である」の証明になりそうだわ。
ある行列の行列式 = 0 の話に帰着させている証明なんだけど。
（でもこの本の証明、p. 82に出てくるcたちの添字が間違っている気がするわ。
　本を持ってる人にしか分からないこと書くけど、kが変わればcたちも変わると思うから。）

>αをPの根の一つとしたときに、整数係数のαのn-1次以下の式で表されるものは零因子ではないから、
ここでアタシ混乱しているんだけど、「零因子」って「ℤ[α]の 零因子」という意味かしら？
ちょっと基本的なこと確認させていただきたいのだけれど
ℤ[α]というのは、あくまでαを文字と見た多項式の集合なの？
それとも、そういう多項式のαに特定の値を入れてできる数の集合なの？
例えば P(X) = (X^2-2)(X^2+1) なら根のひとつとしてα=√2を考えることができるけれど
α^2-2 ∈ ℤ[α] はαを文字とする多項式？　それとも α^2-2 = 0 なの？
ℤ[X]/(P)＝ℤ[α]と書かれているから、ℤ[α]の要素としての (α^2-2)(α^2+1) を 0 と同一視しているのかしら？
てことは数として見ていて α^2-2 = 0 ってこと？ でもそれならα^2-2 は零因子よね？
それとも、多項式として見ているってことかしら？
でもそういう解釈ならば、ℤ[α]はn-1次以下に限らず零多項式以外に零因子はないことになるから
「n-1次以下」とか限定して書かれているのは変よね…?
（そもそも、まず零多項式もn-1次以下の多項式で零因子だと理解しているんだけれど、これは除外して考えられているの？）

ところでPが既約でない場合の話だけれど
P = P_1^{n_1}…P_k^{n_k} とℤ上で既約な式の積に分解しておけば
任意の f ∈ ℤ[X] について、あなたの説明から、各 P_i に対してあるモニックの F_i ∈ ℤ[X] があって、
F_i(f) ≡ 0 (mod P_i) となることがすぐわかるのよね。
それならば F = F_1^{n_1}…F_k^{n_k} とおけば、F(f) ≡ 0 (mod P) となるんじゃないかしら？
このことからℤ[X]/(P)はℤ上整であると言えるんじゃない？
0416陽気な名無しさん2023/11/13(月) 10:54:51.05ID:IZkEuANU0
>>415
うさぎ、あなた何ちゅー時間に書き込んでるの？
いつ寝てるのかしら？
まあ、それはそうと、順番に回答していくわね。

文章おかしかったかしら？
でもまあうさぎの解釈でOKだからいいわ。
もちろんモニックといえば整数係数モニックのつもりで書いているわ。
有理数係数ならわざわざモニックって書く意味がないから
整数係数は省略してもわかると思って省略しちゃったわ。

「代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数である」
の証明については、高木本でも行列式使っていたみたいだから、
多分うさぎの考え通りだと思うわ。
係数を整数に限定して同様にやればいいらしいわ。
アタシは以前この証明をきちんと追った記憶もあるような気がするけど、
今はもう面倒で追う気になれないわ。

「零因子」という言葉について、まずアタシはこの言葉を
「零元以外の者同士の積が零元になるもの」という意味で使っているから、
アタシは零元は零因子とは呼んでいないわ。
>「零因子」って「ℤ[α]の 零因子」という意味かしら？
「ℚ[X]/(P)やℤ[X]/(P)に零因子があるかないか」の話で、
Pが既約な時はℚ[X]/(P)は体で＝ℚ(α)と書けるし、ℤ[X]/(P)も＝ℤ[α]と書けるし、
このときℤ[α]には、もちろんℚ(α)にも零因子はない、だけど
Pが既約でない時はℚ[X]/(P)やℤ[X]/(P)に零因子がある、
ということが言いたかったのだけれど、
そうね、そもそもPが既約でない時は、αなんて持ち出すのはナンセンスだから、
>αをPの根の一つとしたときに、整数係数のαのn-1次以下の式で表されるものは零因子ではないから、
この表現はまずい、というかそもそも
>ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
ということ自体が言えないので、>>413 の前半の議論が成り立たない、
というべきだったかもしれないわね。
「そもそもPが既約でない時は、αなんて持ち出すのはナンセンスだから」については
後でまた書くわね。
長くなるから一度切ろうかしら。
0417陽気な名無しさん2023/11/13(月) 10:56:51.32ID:IZkEuANU0
つづき
>ℤ[α]というのは、あくまでαを文字と見た多項式の集合なの？
それとも、そういう多項式のαに特定の値を入れてできる数の集合なの？
この疑問、言われてみて、これは非常に重要な、
ハッキリさせておかなければならないことだと気づいたわ。
基本的にℤ[α]でもℤ[x]でもなんでも、ℤ[（何か文字）]と書けば、
（何か文字）の多項式環なのだけれども、
ℚ[X]/(P)やℤ[X]/(P)においてはdegP以上の次数の多項式は
P=0という関係式でdegP未満の次数の多項式と等しいことになるから、
degP未満の次数の多項式からなる環、ということになるわね。
さらにPが既約であれば、この場合だけは『特別』で、
Pの任意の根αを一つ持ってくれば
ℚ[X]/(P)やℤ[X]/(P)はℚ(α)やℤ[α]（特定の値を入れたもの）
と「自然に同型」になるから、これらを同一視しても構わない、ということ。
Pが既約でない場合、同型が成り立たないから、
ℚ(α)やℤ[α]と同一視することは出来ないわ。
「そもそもPが既約でない時は、αなんて持ち出すのはナンセンスだから」
というのは、そういうこと。

うさぎの出してくれた例で言えば、
P(X) = (X^2-2)(X^2+1) = X^4-X^2-2を考えると、
Pの根は±√２と±i の四つよね。
ℚ[X]/(X^2-2)はℚ(√２)ともℚ(-√２)とも自然に同型、
ℤ[X]/(X^2-2)はℤ[√２]ともℤ[-√２]とも自然に同型になるから、
例えばℚ[X]/(X^2-2) = ℚ(√２)、ℤ[X]/(X^2-2) = ℤ[√２]
と書いてしまっても（勿論√2でなくて-√2でも構わない）代数的には差し支えないけれど、
ℚ[X]/(X^4-X^2-2) や ℤ[X]/(X^4-X^2-2) は、X^4-X^2-2と０を同一視はしているけれど、
(X^2-2)と(X^2+1)のどちらか一方を０と同一視しているわけではなく、
単なるこの環の元である多項式に過ぎないから、
例えばℚ(√2)やℤ[√2]、またはℚ(i)やℤ[i]なんてものを考えても、
それはℚ[X]/(X^4-X^2-2) や ℤ[X]/(X^4-X^2-2) とは全く別物、同型ですらないわ。
ℚ(√2)とℚ(i)、ℤ[√2]とℤ[i]もそれぞれ同型じゃないしね。
それでこの場合、[X^2-2]と[X^2+1]はどちらも零元ではないが、
零因子になるわね。だからℚ[X]/(P) や ℤ[X]/(P) は整域ですらない。

こんな感じで疑問は解消されてくれるかしら。
ちなみに次の段の
>あなたの説明から、各 P_i に対してあるモニックの F_i ∈ ℤ[X] があって、
F_i(f) ≡ 0 (mod P_i) となることがすぐわかる
って、アタシのどの説明から、どうしてそれが言えるのかよくわからないわ。
そもそも多項式環て、多項式を一つの元としてしか見たことなくて、
多項式の変数に他の多項式を代入するなんて、
今回の問題に出会うまで考えたこともなかったわ。
ここ、もう少し丁寧な説明お願いできるかしら。
それからまた一週間くらい書き込み難しくなるかもしれないけど、
時間に余裕ができれば書き込めるかもだけど、そこんとこよろしくね。
0418陽気な名無しさん2023/11/14(火) 18:35:17.12ID:sP28vZPN0
この人の言うことをアタシなりに翻案してみると、以下の通りとなる

ℤ[X]からℤ[α]への準同型をX→αで定める
準同型定理からℤ[X]/(P)≅ℤ[α]
ℤ[α]はℤ上整なのでℤ[X]/(P)もℤ上整


疑問：
どこにℚ[X]/(P)やらℚ(α)が必要なんだ？
0419陽気な名無しさん2023/11/15(水) 09:32:43.84ID:YRgVjec30
今日はそこそこ忙しいんだけれど、
割とすぐにレスできそうだからしちゃうね。

>>418
準同型定理使うとこんなにシンプルにできるんだ？
って一瞬思ったけど、いやいやそんなに簡単な話ではないと思い、
ちょっとちゃんと読み返してみたら、あなたちょっと雑よ。
あなた長文があまり好きではなさそうだから、
できるだけシンプルに問題点を書こうと思うけど、できるかしら。
問題点を書いてる中に、あなたの疑問に対する回答も出てくる予定よ。

問題点は、ざっくり２つ。
１．Pは何？
２．ℤ[α]はℤ上整はなぜ言える？

まず１．Pは何？だけど、これまでの流れででてきたPは2種類あるのよ。
一つは元々の問題で出てきた、「整数係数のモニック」。
もう一つは「整数係数のモニックで、かつ『既約』なもの」。
この２つは決定的に重要な違いがあって、
二つ目の定義ならあなたの説明は真だけど、
一つ目の定義だと偽になってしまうわ。
αはPの任意の根を一つ選んで決めたものだと思うけど、
それだとあなたの準同型写像、全射はまあ自明と言っていいと思うけど、
Kerはαの最少多項式で生成されるイデアルよ。
もしPが『既約』ならこれは(P)で正しいけれど、
そうでないならこれは(P)ではないので、あなたの説明は成り立たないわ。

次に２．ℤ[α]はℤ上整はなぜ言える？について、
これは正しいのだけれど、自明なことではないのよ。
αがℤ上整なのは定義より自明なんだけれど、
だからといってℤ[α]のすべての元がℤ上整だというのは少し手間がかかるの。
これまでにやってきている
「代数的整数同士の和、差、積は代数的整数である」
という定理を利用することによって、
やっとℤ[α]のすべての元がℤ上整だと言えるのよ。
この定理を証明するには代数体の整数環の話になるから、
それでℚ[X]/(P)やらℚ(α)が顔を出したのよ。
Pが『既約』ならばℚ[X]/(P)はℚ(α)と同型で同一視できる。
だからℤ[X]/(P)は代数体ℚ(α)の整数環ℤ[α]と同一視できる。
といった感じにね。
まあ定理の証明自体は本にお任せで省略させてもらったけれども。

以上で回答としてはOKかしら。
これまでうさぎにいろいろレスしてきたから
この問題に関しては結構頭の中が整理されていて、
それで割とすぐ返答出来たわ。良かったわ。
0420陽気な名無しさん2023/11/15(水) 09:57:47.32ID:yEvQ+Ztj0
>>419
アンタちょっとオツムが弱いんじゃない？
0421陽気な名無しさん2023/11/15(水) 12:38:13.43ID:K+HQeVZv0
このババア、なんでアタシが間違ってるような感じを醸し出してくるのかしら
ほとんど至る所稠密に誤解と脱線が散りばめられたアンタの取り止めもない与太話から辛うじて論理の胎動が認められる箇所をより抜いて翻訳要約再構成したらこうなるだろ？って話よ？
だから、
＞もしPが『既約』ならこれは(P)で正しいけれど、
＞そうでないならこれは(P)ではないので、あなたの説明は成り立たないわ。
アンタにこんなこと言われる筋合い毛頭ないわ
Pを既約だと思い込んでたのはアンタでしょうよ

Pは整係数既約モニック、αは根
ℤ[X]からℤ[α]への準同型をX→αで定める
準同型定理からℤ[X]/(P)≅ℤ[α]
ℤ[α]はℤ上整(証明は成書に委ねる)なのでℤ[X]/(P)もℤ上整

アンタの言ってることってこうじゃないの？
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