>>321について、ちょっと思ったことを厳密じゃないけど書いてみるわ。
f(x) = a_s x^s + … + a_1 x + a_0
g(x) = b_t x^t + … + b_1 x + b_0
として、s+t+2 個の整数 n_1, …, n_{s+t+2} に対して f(n_i)/g(n_i) = m_i が整数だとするわ。
すると s+t+2 個の式 f(n_i) - m_i g(n_i) = 0 ができるけど
これは s+t+2 個の未知数 a_s, …, a_0, b_t, …, b_0 についての連立方程式になるわよね。
すべて = 0 だから値は決まらないけれど、うまくいけば a_j/b_t や b_k/b_t の比率がすべて決まって
その場合、連立方程式の係数がすべて整数だから、これらの比率は有理数になるんじゃないかしら。
これが解けるかどうかについては線型代数の話になってくると思うんだけど
あたしはこれについてはちょっとわからないから、誰か教えてくれたら嬉しいわ。

でももしこれができるとすれば、F(x) = f(x)/b_t と G(x) = g(x)/b_t の係数はすべて有理数になって
f(x)/g(x) = F(x)/G(x) = Q(x) + R(x)/G(x)
に現れる商Q(x)と余りR(x)の係数もすべて有理数になるわ。
ここで R(x) ≠ 0 と仮定するわ。
Q(x)に現れる係数をすべて規約分数で表した時、その分母の最小公倍数をdとするわ。
|x| → ∞ のとき R(x)/G(x) → 0 だから、ある正の整数Nがあって |x| ≥ N なら 0 < |R(x)/G(x)| < 1/d となるわ。
すると |n| ≥ N である任意の整数nについて、
Q(n) が整数なら f(n)/g(n) = Q(n) + R(n)/G(n) は整数ではないし、
Q(n) が整数でない場合は、Q(n) は一番近い整数から 1/d 以上離れているから
f(n)/g(n) = Q(n) + R(n)/G(n) はやはり整数じゃないわ。
すると f(n)/g(n) が整数となるnは2N個未満しかないことになって、無限にあるという仮定に反するわ。
だからR(x) = 0、つまりf(x)がg(x)で割り切れることになると思うの。