変なところで悩むのね
Ax=Oの零ではない解で成分が全て有理数のものどれかひとつを
(a'[s],…,a'[0],b'[t],…,b'[0])
とし、
F(x)=a'[s]x^s+…+a'[0]
G(x)=b'[t]x^t+…+b'[0]
とするとf(n)G(n)-F(n)g(n)=0が無数のnで成り立つのでfG-Fgは多項式として0
Gは多項式として0ではないので任意のxで
f/g=F/G
が成り立つ
初めからF/Gだと思えばいい