なるほど、ありがとう。

>Ax=Oの零ではない解で成分が全て有理数のものどれかひとつを
なぜそういう解が存在するかというと、連立方程式を解いていくと
s+t+2個の未知数のうちいくつかをパラメータとして
残りの未知数がそれらのパラメータの有理数係数の一次結合で表されるから
パラメータの未知数に0以外の有理数を入れればそういう解が得られるのね。

>f(n)G(n)-F(n)g(n)=0が無数のnで成り立つので
無数ではなくて、n_1, …, n_{s+t+2} のs+t+2個よね。
でもfG-Fgは高々s+t次だから、fG-Fg = 0 となるのはその通りね。
ってことは、s+t+2個じゃなくてs+t+1個の格子点だけ考えれば十分だったのね。

>Gは多項式として0ではないので任意のxでf/g=F/Gが成り立つ
ここは不正確で、gとGの零点以外の任意のxで、よね。でもそれらは高々有限個しかないから
F/Gが無数の整数に対して整数の値をとるという性質は保たれるのね。

で考えてみたけれど、Aの核空間の次元（dim ker A）って、実は t+1 なのね。（tはg(x)の次数）
（s+t+1個の格子点で議論を始めるならAは (s+t+1)×(s+t+2)行列だけど、どっちでも同じ）
問題の条件が満たされる場合 f/g = Q となる整式Q(x)があるわけだけど
任意のs次以下のF(x)とt次以下のG(x)に対して、それらの係数のつくるベクトルvが Av = O を満たせば
上の議論から F = (f/g)G = QG となってFの係数はGの係数が決まれば決まるから
vは実質Gのt+1個の係数 b_t, …, b_0 で決まるので、dim ker A ≤ t+1 ね。
逆に、任意のt次式G(x)に対して F = QG とおけば
F(n_i) - m_i G(n_i) = F(n_i) - Q(n_i) G(n_i) = 0
となるから、FとGの係数のつくるベクトルvは Av = O を満たすわ。
このことから、dim ker A ≥ t+1 がわかるわ。
したがって dim ker A = t+1 ね。
ついでに rank A = (s+t+2) - dim ker A = s+1 になるわ。