大学入試の数学の問題を解くゲイ2023
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0357陽気な名無しさん2023/10/18(水) 11:00:47.98ID:A4dHkKYj0
Pは∀なの？∃なの？問題からして∀Pを一つ固定した時に、ってことよね？
何なら「∀f∈ℤ[X], ∃F∈ℤ1[X] s.t. F⚪︎f/P∈ℤ[X]となるPの条件は？」という問いにしてもいいのでは？
例えばP=定数とかにしたらFをPの任意の倍元にすればいいから必ず成り立つわけだし。
もし任意のPに対して成り立つなら>>354の答えはyesになるわけだし。
出題者はyesになることをわかっていて出題しているのかな。
0358Usagi2023/10/22(日) 02:55:55.13ID:qIszYqZg0
>>354
あなたって321の人？ もしそうなら失望したわ
違う人だとしても、アタシもうこういうの相手にするの嫌になったわ
このスレで解いているのほぼアタシだから、アタシへの嫌がらせみたいにも感じてきたわ
モニックって最高次係数が1の多項式のことよね？ そんな言葉、一般人は知らないの
そしてℤ1[X]っていうのは一般的な記号なのかしら？ 誰か教えてほしいわ

まず言いたいのは、s.t. は such that だろうけど、こんなの一般的な日本人に通じるはずないわ
省略記号というのは、何度も登場するものに対して使うもので、しかも必ず最初に断ってから使うものよ
しかも英語で書いているならまだしも、日本語の文章中に英単語の略をいきなり使うなんてありえないわ
これ↓のk170さんの解答を読みなさいよ
https://math.stackexchange.com/questions/934108/what-does-s-t-mean
英語でも基本的には s. t. なんて使うべきではないって書かれているわ
自分用のノートなら好きなだけ書いていいわよ？
でも他人に理解してもらうための文章を書く時に、説明もなくこういう書き方をするのは独り善がりすぎるわ

そもそも、こういうインチキ論理式もどきみたいなのって、アタシ軽蔑するくらい嫌いなの
これ↓のhmakholm left over Monicaさんの解答を読みなさいよ
ちょうどアタシが言いたいことが丁寧に説明されているから
（321にある (∀a∈A)なんて、まさにこの方が批判している書き方ね）
https://math.stackexchange.com/questions/2933370/do-we-need-such-that-after-qualifiers
日本語の文章中でs.t.とか書くくらいだから、英語は読めるんでしょ？
これ読んだらこういう書き方はやめなきゃいけないとわかるはずよ
もし理解できないとしても、そういう書き方を続けていると
記号の使い方に対する無理解をさらすだけだからやめた方がいいわよ

そしてF⚪︎fだっていきなり使ってるから、実際に通じていないじゃないの
理解してもらえなくて損するのはあなただって、何度も言っているでしょ？
もちろん関数合成に⚪︎を使うのは一般的なことだけれど
何の説明もないから、アタシも何を表しているのか推測しなきゃわからなかったわ
>>356は F⚪︎f が f(F(x)) の意味ではないということを示す反例として書いたんだろうけど
なんで日本語で説明しないで、読者に推測させようとするのかしら？
ここは数学の問題を解くスレであって、日本語が不自由な人の書き込みの意味を推測するスレではないわ
ホント何様のつもりなの？

あなたみたいな書き方は間違っていると思うけれど、やるなら同サロじゃなくて数学板行きなさいよ
こんなとこよりも通じる人が多いでしょ？
0359Usagi2023/10/22(日) 03:15:16.37ID:qIszYqZg0
変なコメントが来たら嫌だから最後に一応問題を解いておくわ
でももう二度としないわよ

アタシが理解した問題を書き直してみるとこうよ↓
（こういうふうに書かれていたら文句言わなかったわ）

ℤ[X]で整数係数のXの多項式の集合を表し、ℤ1[X] = { f(X) ∈ ℤ[X] | fの最高次係数が1 } とする。
P(X) ∈ ℤ1[X] かつ f(X) ∈ ℤ[X]とする。
このとき、ある F(X) ∈ ℤ1[X] があって F(f(X))/P(X) ∈ ℤ[X] となることを示せ。

解答
P(X)が0次式の場合 P(X) = 1 だから、これは明らかに成立するわ。
だからP(X)がn次式として、n ≥ 1 の場合を考えるわ。
P(X)のn個の根をα_1, …, α_n とすると、 P(X) ∈ ℤ1[X] だから
根と係数の関係からα_1, …, α_n を変数とする基本対称式はすべて整数となるわ。
F(X) = (X - f(α_1)) … (X - f(α_n))
とおくと、これを展開した時の各 X^i の係数は f(α_1), …, f(α_n) を変数とする基本対称式かその -1倍になるけれど、
それぞれをα_1, …, α_n を変数とする式として展開した時の各項の係数は、f(X) ∈ ℤ[X] だから、整数になるわ。
そして、これらはα_1, …, α_n の任意の置換に対して不変だから
対称式の基本定理からα_1, …, α_n の基本対称式を変数とする整数係数の多項式で表せるわ。
以上からF(X)の係数は整数となって、したがって F(X) ∈ ℤ1[X] となるわ。
さて、P(X) が (X-α)^m を因数に持つとすると、
F(f(X)) = (f(X) - f(α))^m × (Xの多項式) だから F(f(α)) = 0、
そして m ≥ 2 なら任意の k < m について
F(f(X))のk階微分 (d/dX)^k F(f(X)) は (f(X) - f(α)) を因数に持つから X = α で値0を取るわ。
このことから F(f(X)) は (X-α)^m で割り切れ、したがってP(X)で割り切れるの。
F(f(X)) ∈ ℤ[X]であって、P(X) の最高次係数が1だから、割り算のやり方を考えれば
商の係数が全て整数となることがわかるから F(f(X))/P(X) ∈ ℤ[X] となるわ。
0360陽気な名無しさん2023/10/22(日) 09:15:50.56ID:kukMdiDj0
>>うさぎ
あなた戻ってきたのね、良かったわ。
>>354 はたぶんいつもの、おそらく専門家かそれに近い人よ。
monicは業界内では常識の言葉だから、わざとか無意識でか知らないけどここでも使ったのね。
s.t.はアタシが受けた授業の、とある教授は当たり前に使っていたわ。
業界内では当たり前に使う人もいるってことね。
ℤ1[X]に関しては一般的な記号ではないと思うけど、
『ℤ1[X]⊂ℤ[X]はモニックの集合』と書いているから、まあ、まあまあ。
繰り返しになるけど、全体的に業界内では普通に使う（人もいる）表現で書いてあるから、
わざとか無意識でか知らないけど・・・って、アタシはこの人
わざと業界人っぽさをひけらかしているんだと思うわ。
合成関数の表し方については、F⚪︎fと書いたら、
F(f(x))のつもりで書く人、f(F(x))のつもりで書く人、どっちもいるみたいよ。
だからこれは業界内でも同じ流儀の身内たちだけの中でならいいけど、
そうでないならどっちの意味で書いているのか明記しないとダメよ。
でも合成関数の記号のマルは、もっと小さいマルで書いていた記憶があるから、
これ見た時はちょっと違和感を覚えたわ。

解法については、何となくアタシも考えていたんだけど、
大筋同じような解法考えていたわ。
ただ、『さて、P(X) が (X-α)^m を因数に持つとすると、』から先、
微分とかまで考える必要あるかしら？
P(X) はモニックだから P(X)=(X - α_1) … (X - α_n) よね。
それで、F(f(X)) = (f(X) - f(α_1)) … (f(X) - f(α_n)) よね。
各 i=1, …, n に対して F(f(X)) の因数 (f(X) - f(α_i)) の X に α_i を代入すると０になるから、
この因数 (f(X) - f(α_i)) は (X-α_i) を因数に持つ。
だから F(f(X)) 全体では (X - α_1) … (X - α_n) = P(X) を因数に持つ。
これは重解を持とうと持つまいと（複数の α_i が等しかったりしたとしても）関係なく成り立つわ。
だから F(f(X)) は P(X) で割り切れる。
あと、F(f(X)) のその他の因数、つまり F(f(X))/P(X) が整数係数であることは、
『割り算のやり方を考えれば』でいいと思うわ。

これで良くない？
0361陽気な名無しさん2023/10/22(日) 09:35:04.20ID:4P24DPsi0
このことを端的に言うとなんだろうか？
学部生が習うような代数の言葉で表すと？
0362陽気な名無しさん2023/10/22(日) 10:01:27.26ID:PquMP1Mh0
みんな戻ってきたようで安心したわ。
0363Usagi2023/10/22(日) 12:33:06.06ID:qIszYqZg0
>>360
>s.t.はアタシが受けた授業の、とある教授は当たり前に使っていたわ。
授業なら先生が説明するだろうし、板書するの大変だから省略するのはわかるわ。
それに、もし授業が英語で行われるような場合なら、書くときはs.t.でも
口で言うときは such that て言うわけだからふつうにわかるだろうし。
でもこういうところでいきなり s.t. はないわ。

>全体的に業界内では普通に使う（人もいる）表現で書いてあるから、
そうだろうけど、上の二番めのリンクの方は、業界に蔓延している、
論理記号と一緒にコンマや s.t. を書いたり量化記号を後に書いたりする習慣を批判しているわ。
この例の場合
for all f∈ℤ[X], there is an F∈ℤ1[X] such that F⚪︎f/P∈ℤ[X]
という英文の一部の省略のために論理記号を使っているけれど
それは英語と論理という異なる言語をごっちゃにしていて言語道断ってこと。

>でも合成関数の記号のマルは、もっと小さいマルで書いていた記憶があるから、
正しい記号は f∘g かしら？
こういう問題もあるから、やはり記号の説明は必要なのよね。

解法についての指摘はその通りね！
(f(X) - f(α_i)) それぞれに因数定理を使えばいいのね。
アタシはつい F(f(X)) 全体に因数定理を使うことを考えちゃったから
重根があったらわからないわって思っちゃったの。

ていうか、このスレ5ch全体で見ても屈指の健全スレだと思うんだけど
なんでPINKに追いやられなきゃいけないのかしら
18禁よね？ 本来の対象者である大学受験生の多くが立ち入り禁止になるわ？
0364Usagi2023/10/22(日) 12:34:12.31ID:qIszYqZg0
>>361
なんなのよ。思わせぶりに書かないで教えなさいよ。
0365陽気な名無しさん2023/10/23(月) 05:23:23.71ID:zV9Mewbs0
この問題を一言で表すと
ℤ[X]/(P)はℤ上整である
ということだ
だからもう少し環論的な証明があるかもしれない
0367陽気な名無しさん2023/10/23(月) 09:20:36.71ID:aUn6DPEh0
>>354 = >>361 = >>365 = >>366　かしら？
学部生が習うようなとか、環論的とか、加群とか、さすがにスレチよ。
数学板でやってちょうだい。
>>354 は、>>359 のように書かれていれば
大学入試レベルで解けるからスレチではないかもしれないけど、
書き方がダメよね。
0368陽気な名無しさん2023/10/23(月) 09:38:28.35ID:aUn6DPEh0
大学入試レベルで解けるってつい書いちゃったけど、本当かしら？
代数学の基本定理を当然のように使っているけど、
大学入試レベルで代数学の基本定理やってたかしら？
それとも代数学の基本定理使わないで解けるかしら？
0369Usagi2023/10/23(月) 16:55:36.90ID:cuLGepjl0
>>368
高校まででは代数学の基本定理も習わないし対称式の基本定理も習わないから、高校レベルでは解けないわよ
これらの定理を聞きかじったことのある高校生はそれなりにいるとは思うけど
証明まで読んだことのある高校生なんてほとんどいないでしょうし
それにfが整数係数だから書き換えた式も整数係数になるとか、環を意識しなきゃいけないポイントもあるわ
0370Usagi2023/10/23(月) 17:16:28.71ID:cuLGepjl0
>>365
興味深そうな話をしているのはわかるけど、同サロでやる意味がわからないわ
そういうことを知らないアタシみたいな人たちに説明してくれるならいいけどさ
別に義務ではないけれど、同サロって基本的にオネエ言葉での会話を楽しむ場所でしょ？
言葉が全くないか、あってもオネエじゃないから、言葉のやりとりを楽しむ目的ではなさそうね
かと言って数学的に専門的な話をしたいなら、こんなとこじゃなくて数学板の方が100倍適しているわ
（それとも書き込んでいないだけで数学科釜がけっこういて見てたりするのかしらw）
0371陽気な名無しさん2023/10/25(水) 07:08:38.81ID:3krOhf1x0
>>369
やっぱり高校レベルでは無理よね。
代数学の基本定理の証明なんて、アタシだって覚えていないわ。
というかちゃんと証明を理解して納得した記憶もないわ。

>>370
>>365 に関してなんだけど、
>可換環論において、可換環 B とその部分環 A について、B の元 b が A 係数のモニック多項式の根であるとき、b は A 上整である（integral over A）という。
B のすべての元が A 上整であるとき、B は A 上整である、または、B は A の整拡大（integral extension）であるという。（Wikipedia）
ということなんだけど、ℤ[X]/(P)ってℚ[X]/(P)つまり、ℚにPの根を添加した体の部分環でしょ。
ということはPはℤ係数のモニックなんだからこれがℤ上整なのは当たり前じゃない。
>>365 は当たり前なことしか言ってないと思うわよ。
でも多項式環を考える時、元である多項式を関数と見て合成関数を考えるなんてしたことないから、
このことが>>354とどう関係するのかはよくわからないわ。
0372陽気な名無しさん2023/10/25(水) 07:19:36.49ID:3krOhf1x0
数学板にも高校レベルのスレだってあるんだし、
純粋に数学要素だけを求めるなら数学板行けばいいのよ。
ここはやっぱり同サロ要素があってナンボだと思うわ。
それともスレチ連発するいやらしさが同サロっぽいとでもいうのかしら？
そういう同サロっぽさはいやだわ。
0374陽気な名無しさん2023/10/26(木) 13:50:53.17ID:YQsdlhAf0
>>373 は、アタシとうさぎ以外の釜にチャレンジしてもらいたいわね。
このスレにちょうどいい問題だと思うわ。
0375陽気な名無しさん2023/10/26(木) 17:54:08.30ID:9gTB3v3B0
厚かましいわね
アンタうさぎほど解いてないでしょう？
アンタが解きなさいよ
0376陽気な名無しさん2023/10/26(木) 18:10:57.70ID:YQsdlhAf0
厚かましいとかそういう問題ではなくて、
せっかく高校レベルの問題なんだから、
大学数学やってない人に解いてもらいたいのよ。
このスレが大学数学やった人だけが解くのは
残念なことだもの。
（うさぎも大学数学独学でかじってるわ）
もっと多くの釜に参加してもらいたいのよ。
0377Usagi2023/10/26(木) 21:57:37.65ID:2b5Q++bK0
>>371
レスありがとう。
ℤ[X]/(P)という記法がそもそもわからなかったから、ちょっと調べてみたんだけど
まず (P) はPによって生成されるイデアルで、Pの倍数の集合、つまり
(P) = { gP | g ∈ ℤ[X] } ということよね？
ℤ[X]/(P)はℤ[X]を(P)で割ってできる剰余環、つまり
ℤ[X]の要素の中で、その差が(P)の要素であるものを同一視して得られる環ってことよね？
アタシまだ環論勉強できていないから色々おかしなこと書いてたらごめんなさいね。
でもそうなら>>365は確かに>>354の書き換えなんだと思うわ。
Wikipediaの定義の可換環Bにあたるのが、この場合ℤ[X]/(P)でしょ。
f ∈ ℤ[X] に対して、ℤ[X]/(P)の要素である同値類でfが属するものを [f] と書くことにすると
[f] = { f + g | g ∈ (P) } よね？
F(f)がPで割り切れる、つまり F(f) ≡ 0 (mod P) なら、F([f]) = [0] となるから
ℤ[X]/(P)で考えると、F(Y) = 0 というℤ係数モニック方程式の根が Y = [f] であるということでしょう。
ただし、厳密にはℤ自体はℤ[X]/(P)の部分環じゃなくて、Wikipediaの定義の部分環Aにあたるのは
{ [z] | z ∈ ℤ } になるんじゃないかしら？ でもこの集合をℤと同一視してℤと呼んでいいなら
任意の [f] ∈ ℤ[X]/(P) がℤ上整、つまり ℤ[X]/(P) はℤ上整、と言えるんじゃないかしら。

でもあなたはもしかして違う話をしているの？ それとも実は同じなの？
>ℤ[X]/(P)ってℚ[X]/(P)つまり、ℚにPの根を添加した体の部分環でしょ。
ここがよくわからないわ。Wikipediaの「剰余環」を読むと、確かに
「剰余環は体の拡大を構成する」と書かれていて、例えば剰余環ℝ[X]/(X^2+1)は複素数体ℂと同型、とあるわ。
アタシなりの理解では、X^2+1 = 0 の根のどちらか、例えばiをXで表すことにすれば
ℂとℝ[X]/(X^2+1)の間に a + bi ↔︎ [a + bX] という同型対応が作れるってことかしら？
一般に体Kに対して、K/(P)はKにPの根を添加した体と同型になるの？
上の例みたいに Pが2次式で P(X) = X^2 - cX + d なら、その根のひとつをXで表せば
もうひとつは根と係数の関係から c-X と表せるから、このことが言えそうなのはわかるけれど
Pが3次以上でも同様のことが言えるのか、未勉強のアタシにはわからないわ。

もうひとつ気になった点は、ℚ[X]/(P)がℚにPの根を添加した体であると書かれているけれど
ℚ[X]/(P)は、ℚにPの根を添加した体に同型なだけで、イコールではないのよね？
上の例だとℂとℝ[X]/(X^2+1)は同型だけど ℂ = ℝ[X]/(X^2+1) ではないのよね？
「ℚにPの根を添加した体の部分環」というのは、数の集合よね。
一方、ℤ[X]/(P) はXの多項式の集合の集合よね。
>ℤ[X]/(P)ってℚ[X]/(P)つまり、ℚにPの根を添加した体の部分環でしょ。
この言い方は、これらを同型対応を通して同一視しているの？
そしてそうだとすると、「ℤ上整なのは当たり前」なの？
>>365は>>354の単なる書き換えだから、365が当たり前ということは
アタシが>>359で証明したことは証明するまでもなかったってことになるわ。
当たり前というのは勘違い？ それとももっと深い意味で当たり前なの？
ああっ、もういろいろわかんない！
ごめんなさい、狂ったように書き散らしてしまって…
0378陽気な名無しさん2023/10/27(金) 07:36:53.04ID:W+xQRGGA0
話がよく見えんが、とりあえずQ[X]/(P)は体になるとは限らない
0379陽気な名無しさん2023/10/28(土) 08:43:34.74ID:u669qhtc0
>>377

あなたの学習能力は凄いわね。尊敬するわ。

アタシゃ昔やったうろ覚えの記憶で書いてるから、

アタシの方こそ色々おかしなこと書いてるような気がするわ。

だいたい元々Pはモニックの前提だったのに、

いつの間にPは既約（しかもある代数的数の最少多項式）のイメージで書いてしまってたようだし。

(>>378 が指摘してるのはたぶんここではないかしら)

あなたの説明で、>>365は>>354の書き換えであることが分かった気がしたわ。

ありがとうね。



ただね、

>ただし、厳密にはℤ自体はℤ[X]/(P)の部分環じゃなくて、Wikipediaの定義の部分環Aにあたるのは

{ [z] | z ∈ ℤ } になるんじゃないかしら？

この部分は、{ [z] | z ∈ ℤ } = ℤ になると思うわよ。

なぜなら P はモニックなんだから degP ≧１としていいわよね。そうすると（P)の要素は０以外はすべて deg ≧１でしょ。

そうすると

>[f] = { f + g | g ∈ (P) }

なんだから [z] (∀z ∈ ℤ) は z と異なるあらゆる z' ∈ ℤに対して [z'] とは同じ剰余類にはなりえないでしょ。

この段階で、

> >>365は>>354の単なる書き換えだから、365が当たり前ということは

アタシが>>359で証明したことは証明するまでもなかったってことになるわ。

これは言えてるのではないかしら。



そこから先の体の拡大の話、

>一般に体Kに対して、K/(P)はKにPの根を添加した体と同型になるの？

これはPがK上代数的な元の最少多項式なら成り立ったと記憶しているわ。

もしそうならならPの一つの根をαとすれば、１，α，・・・，α^(degP-1)

を基底とするK上 degP 次の拡大体になったはず。

もちろん同型対応を通して同一視している表現よ。
0380陽気な名無しさん2023/10/28(土) 08:44:51.68ID:u669qhtc0
ヤフーメールで下書きして、そのままコピペしたら一行おきになってたわ。
ごめんなさいね。
0381陽気な名無しさん2023/10/28(土) 09:18:19.07ID:u669qhtc0
間違えちゃいけないと、ちょっと慎重な表現してたけど、
モニックが既約であることと、ある代数的数の最少多項式であることは同値みたいね。

ttps://math-notes.info/wp-content/uploads/2021/08/field-3.pdf
0382陽気な名無しさん2023/10/28(土) 09:37:44.64ID:u669qhtc0
>>378
納得したわ。
Pが既約でない時、P＝fgとすると、
ℚ[X]/(P)∋f,g はどちらも０ではないが、fg=0 になるわね。
零因子を持つから、体どころか整域ですらないわね。
既約なら体になることは>>379 と>>381 で大丈夫ね。
0383陽気な名無しさん2023/10/28(土) 10:18:45.54ID:9+wDBC/80
>>379の話はよく分からんが
たしかにQ[α]=Q(α)になることを理解するだけでもそれなりの代数学の素養が必要
0384陽気な名無しさん2023/10/28(土) 10:40:45.65ID:u669qhtc0
>>383
そうね。
すくなくともうさぎが独学でスムーズに理解できるようにキーワードを書いておくわ。

（P）は素イデアル
ℚ[x] はP.I.D.
P.I.D.では素イデアル⇔極大イデアル
極大イデアルによる商環は体

これくらい書いておけば十分でしょう。
0385Usagi2023/10/28(土) 22:27:31.79ID:Fa3w/DfT0
>>379
いろいろ補足ありがとう。
> [z] (∀z ∈ ℤ) は z と異なるあらゆる z' ∈ ℤに対して [z'] とは同じ剰余類にはなりえないでしょ。
これはわかってたんだけど、{ [z] | z ∈ ℤ } と ℤ は同型なだけで、厳密には異なるものでしょ？
前者は多項式の同値類（つまり多項式の集合）の集合で、後者は数の集合だもの。
代数では、同型なものを = としちゃうのが一般的な習慣なの？
なんか気持ち悪く感じちゃうんだけど…

>> >>365は>>354の単なる書き換えだから、365が当たり前ということは
>アタシが>>359で証明したことは証明するまでもなかったってことになるわ。
>これは言えてるのではないかしら。
えーと、任意の ℤ[X]/(P) の元fは ℚ[X]/(P) の元でもあり
つまりℚにPの根を添加した体の要素であるってことよね？
でもこのことからfがℤ係数のモニック多項式の根と言えるのかしら？
もちろんfがPの根の場合は、それはℤ係数のモニック多項式の根だけど
例えば f = 1/2 なら、これはℤ係数のモニック多項式の根じゃないんじゃないの？
あとこれって、あなたが、Pが既約だと思い込んでいて
その結果ℚ[X]/(P)をℚにPの根を添加した体だと思ったから言ったことなのよね？
そうでない場合は、別の議論が必要なんじゃないのかしら？

>これはPがK上代数的な元の最少多項式なら成り立ったと記憶しているわ。
>もしそうならならPの一つの根をαとすれば、１，α，・・・，α^(degP-1)
>を基底とするK上 degP 次の拡大体になったはず。
これはとても興味深いわ。じゃあK上既約なn(>1)次方程式の根のひとつをαとすると
残りのn-1個の根はすべてαのK上の(n-1)次以下の式で表すことができるのね？
いずれにせよ、このこと自体が当たり前とは言えないレベルの話だから
Pが既約な時あなたの議論が正しいとしても>>354が当たり前と言っていいのか微妙な気がするけど…
0386陽気な名無しさん2023/10/29(日) 11:27:56.88ID:LnxNFhA30
てすと
0388陽気な名無しさん2023/10/29(日) 13:20:54.53ID:8rEB/JGo0
>>387
>>373 が先よ
0389陽気な名無しさん2023/10/31(火) 08:40:00.81ID:FVOckjyx0
>>385
>同型なだけで、厳密には異なるものでしょ？
これね、その疑問はよくわかるわ。
代数で同型なものっていろいろあるけど、
いろいろ証明して同型だ、って判明するものもあれば、
自然に同一視できる自明な同型（canonicalな同型とかいうわね）
もあって、自明な同型は場合によて同一視することもあるのよ。
同一視した方が便利だったり理論がわかりやすくすっきりすることもあるし。
例えば線形代数の「双対空間」って知ってるかしら。
双対空間の双対空間は、最初の空間に同型になるんだけど、
これは自然な同型になるから普通同一視するわ。
今回の場合、{ [z] | z ∈ ℤ } と ℤ は自然な同型でしょ。
同一視して差し支えない例だと思うわ。

>> >>365は>>354の単なる書き換えだから、365が当たり前ということは
>アタシが>>359で証明したことは証明するまでもなかったってことになるわ。
>これは言えてるのではないかしら。
これに関しては、あなた >>377 で
> でもこの集合をℤと同一視してℤと呼んでいいなら
>任意の [f] ∈ ℤ[X]/(P) がℤ上整、つまり ℤ[X]/(P) はℤ上整、と言えるんじゃないかしら。
って言ってたでしょ。その通りだと思うし、
上記の自然な同型でこの話は終わっていると思うわ。
体の部分環とかいう話はここでは必要ないと思うわ。

>これはPがK上代数的な元の最少多項式なら成り立ったと記憶しているわ。
>もしそうならならPの一つの根をαとすれば、１，α，・・・，α^(degP-1)
>を基底とするK上 degP 次の拡大体になったはず。
これはね、K上既約なn(>1)次方程式の根のひとつをαとして、
他の根の一つをβとしたときに、K(α)とK(β)は同型なのは間違いないのだけれど、
同一になるとは限らないのよね。
だから、
>K上既約なn(>1)次方程式の根のひとつをαとすると
>残りのn-1個の根はすべてαのK上の(n-1)次以下の式で表すことができるのね？
これは成り立たないわ。
例えばℚ上で考えるとして２の4乗根の最少多項式は x^4-2 になるけど、
これの4っつの解は ±(２の4乗根), ±(２の4乗根)i になるわよね。
ℚ（２の4乗根）＝ℚ（ー２の4乗根）ではあるけれど
ℚ（２の4乗根）≠ ℚ（(２の4乗根)i ）よ。
（上は実数体ℝの部分体だけど下は違う）だから、
この場合、ℚ（２の4乗根）はℚ上４次だけど、最少多項式 x^4-2
の根全てを添加した体（ℚ上の x^4-2 の分解体って言うんだけれど）
ℚ(２の4乗根, i) はℚ（２の4乗根）上２次、
ℚ上だと８次の体になるわ。
ちなみに余談だけど分解体の、元の体上の自己同型群を考えた時、
その部分群たちの一つ一つとその分解体の中間体の一つ一つが、
その部分群による固定体（その部分群によって移り合わない元全体からなる体）
という関係で完全に１：１対応する
（部分群の指数と体の拡大次数の関係も完全に一致する）
というのが体のガロア理論よ
0390陽気な名無しさん2023/10/31(火) 12:13:38.34ID:pLlvhAYD0
この人、アタシたちとは整の定義が違うのかしら
0391陽気な名無しさん2023/10/31(火) 15:17:56.07ID:FVOckjyx0
>>390
整の定義はずっと >>371 にあるwikiの定義でやってきてるわよ。
あなたたちの「たち」がどんな人たちを含むのかは知らないけど、
あなたたちはwikiの定義と違う定義でやっているのかしら？
それは一体どんな定義なのかしら？
0392Usagi2023/11/03(金) 00:19:21.12ID:Xc1Wtdwf0
>>389
なるほどね、自然な同型の場合は同一視するのね。

>上記の自然な同型でこの話は終わっていると思うわ。
>体の部分環とかいう話はここでは必要ないと思うわ。
ちょっとよくわからないわ。
あなたは、>>365が>>354の書き換えであることを気づかずに
（☆）　 ℤ[X]/(P)はℚ[X]/(P)の部分環だからℤ上整である
と書いたと思うのよ。
もちろん、>>359でアタシが書いた証明を前提にすれば、365は354の書き換えだから当たり前と言えるけれど
でもあなたは、>>379で359の証明は必要なかったって書いたと思うの。
結局359は必要なの？
アタシがわからないのは、直接（☆）が当たり前のものとして理解できるのかしら、ということよ。
例えば、もしℚ[X]/(P)がℤ上整なのだとしたら（☆）が言えるんだろうけど、そうは思えなかったの。

最後の部分については納得したし、勉強意欲が湧いてきたわ。ありがとう。
あなたが>>371で「ℚにPの根を添加した体」って書いた時、
「ℚにPの根のひとつを添加した体」の意味で書いていたのね。
でもアタシは「ℚにPの根のすべてを添加した体」の意味だと思ってしまったのよ。
日本語はこういうところが難しいわね。
0393陽気な名無しさん2023/11/03(金) 10:50:17.06ID:gfK4fzRt0
いやにネチっこい書き方するわね
はっきり言ってやりなさいよアンタはアホだって
0394Usagi2023/11/03(金) 11:06:03.09ID:Xc1Wtdwf0
>>393
消えなさい
実生活でストレス溜まってるのか知らんが、匿名掲示板で他人をそしるとか
他人のことをとやかく言う前に、アンタはまず自分を見つめ直しなさい
仲良く交流する気がないなら来ないで
0395陽気な名無しさん2023/11/03(金) 11:15:31.28ID:gfK4fzRt0
アタシャこのやりとりにうんざりしてんのよ
当たり前と主張する人は一向に証明しないしそれをうさぎがいやらしい言い回しでネチネチとせめるのも
そろそろいい加減にしなさいよ
0396Usagi2023/11/03(金) 11:58:54.49ID:Xc1Wtdwf0
あなたちょっと捻くれてないかしら
もっと物事を単純にとらえたら？
アタシはせめてるわけじゃないわ
人の書き込みで理解できなかった部分、共通見解に達していないと思われる部分について問うているだけよ
よくわからない部分をそのままにするのは嫌だからよ
それに、そうではないのに表面的にすべて納得したように振る舞うのは誠実じゃないから
（これって対面だと結構難しいから、ある意味掲示板のメリットだと思うわ）
だから、どこですれ違っているのかはっきりするように丁寧に書いているだけよ
まあ、丁寧に書いているのはいつもだけど。
それは、アタシの考えがなるべく正確に読み手に伝わって欲しいからよ
それをいやらしいだとか言われたら、じゃあどう書いて欲しいのよ？
0397Usagi2023/11/03(金) 12:08:32.28ID:Xc1Wtdwf0
もしかして>>390もあなた？
390みたいに具体的な問題点を指摘しないものは、ただのいいがかりと変わらないのよ
0398陽気な名無しさん2023/11/03(金) 12:25:25.08ID:gfK4fzRt0
はい？
あまりにも話が噛み合わないからアンタの使ってる整の定義は何？と問い糺すのが言いがかりなの？
アンタ、ちょっと捻くれすぎてない？
0399Usagi2023/11/03(金) 13:40:14.11ID:Xc1Wtdwf0
なんでそんなに喧嘩腰なのかしら。
定義はWikipediaを引用しているじゃないの
あなたの定義がそれと異なるなら、「私の知っている定義はこうなんだけど…」と具体的に述べればいいわ
定義は同じだけれど、そのあとの議論でおかしいと思う部分があるのなら、
「…の理由で、議論がおかしいと思うんだけど」と、やはり具体的に述べればいいのよ
（あたしが>>392で書いたのはそういうものよ）
それはいやらしいとかいう問題ではなく、学問的に至極当然の態度よ
具体的な批判を述べずに嫌味や罵倒を言うのは、学問的態度の対極にあるのよ
小学生の口喧嘩と変わらないわ
0400陽気な名無しさん2023/11/03(金) 13:54:05.69ID:fMv6n82v0
それならあとは>>389が弁明するだけね
どう説明してくれるのか楽しみにしてるわ
0401陽気な名無しさん2023/11/03(金) 14:08:20.48ID:L4C0hZuG0
それならアタシは>>391の学問的態度を非難したいわ
ここに少なくとも2人(Usagiの自演でなければだけど)の混乱したオンナがいるんだからさっさと説明しなさいよ
煙に巻くようなことばかり言って証明しようとしない態度こそ真摯な学問的態度とはかけ離れていると言えるわ
0402陽気な名無しさん2023/11/03(金) 14:21:25.90ID:gfK4fzRt0
何よりもまずおかしいと指摘できるくらいの議論を見せてほしいわw
0403陽気な名無しさん2023/11/04(土) 09:55:19.16ID:2/nTeCmd0
>>うさぎ
>>400
ごめんなさいね。
あと一週間くらい忙しくて、しばらく回答できそうにないわ。
一週間ずっと殺人的に忙しいわけではないんだけれど、
キチンと回答するためには、>>392 やそれ以前のやり取りを
しっかり読み返して論点整理して、じっくり考え直して、
さらに回答の文章を丁寧に書かなきゃいけないでしょう。
それにはまとまった時間が必要そうだから、しばらくはごめんね。

ところでアタシはうさぎがねちっこいとは思ったこともないわよ。
うさぎの指摘は具体的で、挑発的な発言もないし、
いつも真摯なレスをくれて感謝しているわよ。
このスレが良スレならば、それはひとえにうさぎのおかげだと思っているわ。
それに引きかえ>>400 はこれまでのイヤミな人と同一人物だと思うけど、
指摘するにしても具体的ではないことが多く、挑発的な発言が多くて嫌になるわ。

ちなみにアタシがあまり問題を解かないのは、
パッと見てすぐにわかるような問題ならば、他の誰かが解くべきだと思うし、
じっくり考えないとならないような問題ならば、なかなかその時間が取れないからよ。
まあ最近は>>400 らしき人が出す、完全にスレチな問題に、
うさぎが頑張って解くってパターンが多いようだけれども。
それより珍しく>>373 に、このスレにふさわしい問題が出されたから、
それを高校数学までしかやっていない釜に解いてほしいと思っているわ。
それがこのスレの本来の姿だと思うから。
0404陽気な名無しさん2023/11/05(日) 06:14:04.44ID:R5/eDDzn0
問題解けない人が
この問題はまだ解くな、あっちが先だ
とかいちいち指図しないでほしいわ
お門違いも甚だしいのよ
どの問題を解くかは問題を解ける有能な人に任せておけばいいと思うの
0405陽気な名無しさん2023/11/05(日) 07:14:12.87ID:d5pWgaGy0
スレタイ読めない人が書き込みしないでほしいわ
0406陽気な名無しさん2023/11/05(日) 07:40:55.47ID:l6LzFpCq0
解きもしないのに異様にスレタイに拘泥るのやめてほしいわ
0407陽気な名無しさん2023/11/05(日) 12:43:07.75ID:PzH8Zoxc0
>>405
たしかに…
解くゲイのスレなのに何で解かない人が出しゃばってくるのかしら
0408Usagi2023/11/05(日) 23:17:41.86ID:qOvk+zjX0
403=ものぐささんとして話を進めるけど、
ものぐささんは指図ではなくて希望のつもりで書いたんだろうとは思うわ。
でも反発する人が出るのもわかる。
でもね、アタシはみんなに仲良くしてほしいの。

問題解かない人が、って非難しているけど、じゃあみんなも解いてよ！
このスレで問題解いているの、大半がアタシだけど
アタシ以外が解いたもののいくつかは、ものぐささんによるものだと思うわよ。

このスレ、同サロがPINKに来る前はIDなしだったじゃない？
だからどれくらい人がいるのかさっぱりわからなかったの。
最悪、アタシとものぐささんと他一人で3人しかいない可能性すらあると思ってたのよ。
でもIDありになって、今日の書き込みから、アタシとものぐささん以外にも
4人はいることがわかって、すごく嬉しかったわ。
書き込まないで読んでいる人もいるだろうから、案外多くの人が見ていることがわかったわ。

実をいうと、アタシかなり孤独に感じてて辛かったのよ。
もしかして、3人しかいないスレで、ある一人が出し続ける難しい問題を
アタシが解き続けているだけだったらどうしよう、って時々頭をよぎってw
まあアタシが解き続けるから問題がどんどん難しくなってきた節もあるけど
でもそれで余計にアタシが解かないと誰も解きそうにない感じになってきて…
本当は、いろんな人の解き方を見たり、それについて話し合ったりしたいの…

もうスレタイと実態が全然合っていないけど
個人的には大学入試レベルにこだわる必要はないと思っているわ。
高校で何を習うかは、文科省が勝手に決めているだけで数学的に何も意味はないし
それに、まだ解けていない問題は高校レベルで解けるかどうか分からないものね。
実際、京大の入試問題を考察してたら高校レベルを超えた話になったりしたじゃない？
でもそれは自然なことだし、むしろ興味深いことだわ。

ただね、問題を出す人は、高校レベルの数学の知識で理解できるように書いて欲しいと強く思っているの。
要するに、大学数学を勉強した人でないと理解できない表記はやめて欲しいの。
（それがやりたいなら数学板にいくべきだわ）
アタシとものぐささんしかスレにいないなら実際上あまり問題なかったかもしれないけれど
他にも多くの人が見ていることがはっきりした以上、これは守って欲しいわ。
そもそも大学数学で使う記号って、本や分野が違えば違う意味になったりするわけで
実際、数学書でも記号は巻頭か巻末にリストになっていることが多いわよね。
高校までで習う記号は一般常識と考えられるからいいけれど、それ以外のものは必ず説明を付すべきね。
0409陽気な名無しさん2023/11/09(木) 15:32:00.02ID:jEJpfjjc0
>>うさぎ
とりあえず時間みつけて読み返してみたわ。
まず分かったのは、アタシは>>377 を勘違いしていたわ。
うさぎはこの一段目でで、>>365 と>>354 が書き換えであることを示しただけだったのね。
てっきり、365を証明しようとしていて、{ [z] | z ∈ ℤ }がℤと同一視できるかどうかが
証明の障壁になってるものだと勘違いしたのよ。
だから>>379 では同一視できることを説明して、それでOKだと思い込んでいたの。
アタシがきちんと読んでいなかったようだわ。ごめんなさいね。

それで、>>385 の2段目の
>例えば f = 1/2 なら、
これは
>ℤ[X]/(P) の元f
の仮定に反するわよね。
もしℚ[X]/(P)が体ならば既約でモニックであるPの根αを添加したものだから、
ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
それで、モニックの根となる数のことを代数的整数って言うんだけど、
代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数であることが知られているの。
このことのきちんとした証明は、代数的数（有理数係数の多項式の根）が
加減乗除で閉じていることの証明と同じようにするのだけれど、
詳しくは、例えば高木貞治先生の「代数的整数論」なんかにきちんと載っているわ。
だからℚ[X]/(P)が体ならばℤ[X]/(P)はℤ上整であることが言えるわ。

でも、
>あとこれって、あなたが、Pが既約だと思い込んでいて
その結果ℚ[X]/(P)をℚにPの根を添加した体だと思ったから言ったことなのよね？
そうでない場合は、別の議論が必要なんじゃないのかしら？
これは全くその通りだわ。
Pが既約でない時の、環論的な証明は今のところ思い浮かばないから、
やっぱりその場合は>>359 がわかりやすいと思うわ。
そもそも個人的に整域でない環は扱うの苦手だわ。
0410陽気な名無しさん2023/11/09(木) 15:40:12.26ID:jEJpfjjc0
>>408
それから、同じ日付でIDが異なるからって、別人だとは限らないわよ。
やっぱり書き込み内容や口調で判断する方がまだ妥当ではないかしら。
0411Usagi2023/11/09(木) 23:06:52.43ID:ECaIrZJc0
>>409
アタシが分からないのは↓なの。

（☆）　 ℤ[X]/(P)はℚ[X]/(P)の部分環だからℤ上整である

なぜ f = 1/2 という例を出したかというと、はじめに（☆）を見た時、

（★）　ℚ[X]/(P)はℤ上整であり、ℤ[X]/(P) ⊆ ℚ[X]/(P) なのでℤ[X]/(P)はℤ上整である

と言いたいのかと思ったのよ。 1/2 ∈ ℚ だから 1/2 ∈ ℚ[X]/(P) よね？
けれど 1/2 はℤ上整でないからℚ[X]/(P)はℤ上整ではないので、（★）は間違っているわよね。
じゃあ（★）の意味でないのなら、（☆）はどういう根拠なのかしら、とききたかったの。

>ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
↑はOKよ。でも↑と↓がどう関係があるのか、分からないわ。
>代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数であることが知られているの。
これはℤ上整なもの同士で加法減法乗法してできるものは、ℤ上整という意味よね？
でもそこからなぜ↓が結論されるのかアタシには理解できないわ。
>だからℚ[X]/(P)が体ならばℤ[X]/(P)はℤ上整であることが言えるわ。

f∈ℤ[X]/(P) が整数係数のαのn-1次以下の式で表されるのはいいんだけれど、
今示したいことって、そういうfがℤ上整、つまり整数係数のモニックの根であることよね？
Pの根をα_1, …, α_nとして、fがn-1次以下の整数係数のgを用いて f = g(α_1) と表されるとして
fがℤ上整であることを示すには、例えば (X-g(α_1)) … (X-g(α_n)) が整数係数になるとか
そういうことを言わなければいけないんじゃないのかしら？
0412Usagi2023/11/10(金) 01:11:07.53ID:Q9WevY+D0
ていうか f ≡ g (mod P) よね
だからこれって結局>>359に書いたものと同じことよね…
0413陽気な名無しさん2023/11/12(日) 09:04:00.44ID:0xDWsMhK0
>>411
とりあえず（★）は間違っているわ。
>じゃあ（★）の意味でないのなら、（☆）はどういう根拠なのかしら、とききたかった
これを説明すればいいのね。そのためには
>代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数であることが知られている・・・(a)
これが必要なので、これは認めてね。又は自分で調べてね。（wikiなんかでも参考になるかも）

ではまず、
「αをPの根の一つとしたとき、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば、Pはモニックなので、αは代数的整数」
これは代数的整数の定義「モニックの根となる数のことを代数的整数と言う」より、大丈夫よね。
それで、
>ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
↑はOKよ。
と書いてくれたので、これを使うわ。
ｆを表している整数係数のαのn-1次以下の式の各項についてみると、
係数は整数だからこれは代数的整数、あとはαのべきだからやはり代数的整数の積。
よって各項は(a)によって代数的整数であることがわかる。
するとｆを表している整数係数のαのn-1次以下の式は各項の和又は差だから、
やはりｆ自体も(a)によって代数的整数であることがわかる。
以上より、ℤ[X]/(P) の元fは必ず代数的整数、つまりあるモニックの根であるので、
ℤ[X]/(P) はℤ上整であることが言える。

かなり丁寧に説明したつもりだけど、これでどうかしら。
ただ、これだと一見、「ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば」という条件はどこで必要なの？
という疑問が出てくるかもしれないわね。

これについては、
ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば、ℚ[X]/(P)⊃ℤ[X]/(P)＝ℤ[α] であることが言えるので、
うさぎが認めてくれた
>ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
↑はOKよ。
これが確かにOKなの。
でも、ℚ[X]/(P)が体でないならば、Pが既約でないから、
ℚ[X]/(P)にも、ℤ[X]/(P)にも零因子が存在するので、
（P＝P’・P''としたとき、[P']と[P'']は共にℚ[X]/(P)やℤ[X]/(P)の元で
[0]とは異なるが、[P']・[P'']＝[P]=[0]になるわ）
αをPの根の一つとしたときに、整数係数のαのn-1次以下の式で表されるものは零因子ではないから、
（これはαの最少多項式でありPの既約因数であるP’に対してℚ[X]/(P’)が体になり、
ℚ[X]/(P’)＝ℚ(α)や ℤ[X]/(P’)＝ℤ[α] に対しては前半の議論が成り立つわ）
ℤ[X]/(P) の元fの中には整数係数のαのn-1次以下の式で表されないものも存在してしまうのよ。
だから「ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば」という条件はどうしても必要なの。
0414陽気な名無しさん2023/11/12(日) 12:53:21.48ID:LlqaUPnL0
やっとこのアホの言うことが分かってきたかも…
0415Usagi2023/11/13(月) 04:38:17.28ID:m/ukN7k50
>>413
>「αをPの根の一つとしたとき、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば、Pはモニックなので、αは代数的整数」
>これは代数的整数の定義「モニックの根となる数のことを代数的整数と言う」より、大丈夫よね。
ちょっと文章がおかしくなっている気がするんだけど、きっと
・仮定からPは整数係数のモニック多項式なので、αをPの根の一つとすると、αは代数的整数
・ℚ[X]/(P)が体ならば、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) となり、ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表される
とおっしゃりたいのよね？
そして代数的整数は単なる「モニック多項式の根」ではなくて「整数係数のモニック多項式の根」よね？
そうなら、前半は理解できたわ。ありがとう。
>>409を読んだ時は、αが代数的整数だということがアタシの頭から抜け落ちていたから分からなかったの。

高木本は持ってないけれど、前スレで紹介していただいた草場（著）「ガロワと方程式」のp. 80に
「2個の代数的数a, bに対してa+b, a-b, ab, a/bも代数的数である」
という定理はあったわ。これの証明を代数的整数に限定してa/bを無視したら、そのまま
「代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数である」の証明になりそうだわ。
ある行列の行列式 = 0 の話に帰着させている証明なんだけど。
（でもこの本の証明、p. 82に出てくるcたちの添字が間違っている気がするわ。
　本を持ってる人にしか分からないこと書くけど、kが変わればcたちも変わると思うから。）

>αをPの根の一つとしたときに、整数係数のαのn-1次以下の式で表されるものは零因子ではないから、
ここでアタシ混乱しているんだけど、「零因子」って「ℤ[α]の 零因子」という意味かしら？
ちょっと基本的なこと確認させていただきたいのだけれど
ℤ[α]というのは、あくまでαを文字と見た多項式の集合なの？
それとも、そういう多項式のαに特定の値を入れてできる数の集合なの？
例えば P(X) = (X^2-2)(X^2+1) なら根のひとつとしてα=√2を考えることができるけれど
α^2-2 ∈ ℤ[α] はαを文字とする多項式？　それとも α^2-2 = 0 なの？
ℤ[X]/(P)＝ℤ[α]と書かれているから、ℤ[α]の要素としての (α^2-2)(α^2+1) を 0 と同一視しているのかしら？
てことは数として見ていて α^2-2 = 0 ってこと？ でもそれならα^2-2 は零因子よね？
それとも、多項式として見ているってことかしら？
でもそういう解釈ならば、ℤ[α]はn-1次以下に限らず零多項式以外に零因子はないことになるから
「n-1次以下」とか限定して書かれているのは変よね…?
（そもそも、まず零多項式もn-1次以下の多項式で零因子だと理解しているんだけれど、これは除外して考えられているの？）

ところでPが既約でない場合の話だけれど
P = P_1^{n_1}…P_k^{n_k} とℤ上で既約な式の積に分解しておけば
任意の f ∈ ℤ[X] について、あなたの説明から、各 P_i に対してあるモニックの F_i ∈ ℤ[X] があって、
F_i(f) ≡ 0 (mod P_i) となることがすぐわかるのよね。
それならば F = F_1^{n_1}…F_k^{n_k} とおけば、F(f) ≡ 0 (mod P) となるんじゃないかしら？
このことからℤ[X]/(P)はℤ上整であると言えるんじゃない？
0416陽気な名無しさん2023/11/13(月) 10:54:51.05ID:IZkEuANU0
>>415
うさぎ、あなた何ちゅー時間に書き込んでるの？
いつ寝てるのかしら？
まあ、それはそうと、順番に回答していくわね。

文章おかしかったかしら？
でもまあうさぎの解釈でOKだからいいわ。
もちろんモニックといえば整数係数モニックのつもりで書いているわ。
有理数係数ならわざわざモニックって書く意味がないから
整数係数は省略してもわかると思って省略しちゃったわ。

「代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数である」
の証明については、高木本でも行列式使っていたみたいだから、
多分うさぎの考え通りだと思うわ。
係数を整数に限定して同様にやればいいらしいわ。
アタシは以前この証明をきちんと追った記憶もあるような気がするけど、
今はもう面倒で追う気になれないわ。

「零因子」という言葉について、まずアタシはこの言葉を
「零元以外の者同士の積が零元になるもの」という意味で使っているから、
アタシは零元は零因子とは呼んでいないわ。
>「零因子」って「ℤ[α]の 零因子」という意味かしら？
「ℚ[X]/(P)やℤ[X]/(P)に零因子があるかないか」の話で、
Pが既約な時はℚ[X]/(P)は体で＝ℚ(α)と書けるし、ℤ[X]/(P)も＝ℤ[α]と書けるし、
このときℤ[α]には、もちろんℚ(α)にも零因子はない、だけど
Pが既約でない時はℚ[X]/(P)やℤ[X]/(P)に零因子がある、
ということが言いたかったのだけれど、
そうね、そもそもPが既約でない時は、αなんて持ち出すのはナンセンスだから、
>αをPの根の一つとしたときに、整数係数のαのn-1次以下の式で表されるものは零因子ではないから、
この表現はまずい、というかそもそも
>ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
ということ自体が言えないので、>>413 の前半の議論が成り立たない、
というべきだったかもしれないわね。
「そもそもPが既約でない時は、αなんて持ち出すのはナンセンスだから」については
後でまた書くわね。
長くなるから一度切ろうかしら。
0417陽気な名無しさん2023/11/13(月) 10:56:51.32ID:IZkEuANU0
つづき
>ℤ[α]というのは、あくまでαを文字と見た多項式の集合なの？
それとも、そういう多項式のαに特定の値を入れてできる数の集合なの？
この疑問、言われてみて、これは非常に重要な、
ハッキリさせておかなければならないことだと気づいたわ。
基本的にℤ[α]でもℤ[x]でもなんでも、ℤ[（何か文字）]と書けば、
（何か文字）の多項式環なのだけれども、
ℚ[X]/(P)やℤ[X]/(P)においてはdegP以上の次数の多項式は
P=0という関係式でdegP未満の次数の多項式と等しいことになるから、
degP未満の次数の多項式からなる環、ということになるわね。
さらにPが既約であれば、この場合だけは『特別』で、
Pの任意の根αを一つ持ってくれば
ℚ[X]/(P)やℤ[X]/(P)はℚ(α)やℤ[α]（特定の値を入れたもの）
と「自然に同型」になるから、これらを同一視しても構わない、ということ。
Pが既約でない場合、同型が成り立たないから、
ℚ(α)やℤ[α]と同一視することは出来ないわ。
「そもそもPが既約でない時は、αなんて持ち出すのはナンセンスだから」
というのは、そういうこと。

うさぎの出してくれた例で言えば、
P(X) = (X^2-2)(X^2+1) = X^4-X^2-2を考えると、
Pの根は±√２と±i の四つよね。
ℚ[X]/(X^2-2)はℚ(√２)ともℚ(-√２)とも自然に同型、
ℤ[X]/(X^2-2)はℤ[√２]ともℤ[-√２]とも自然に同型になるから、
例えばℚ[X]/(X^2-2) = ℚ(√２)、ℤ[X]/(X^2-2) = ℤ[√２]
と書いてしまっても（勿論√2でなくて-√2でも構わない）代数的には差し支えないけれど、
ℚ[X]/(X^4-X^2-2) や ℤ[X]/(X^4-X^2-2) は、X^4-X^2-2と０を同一視はしているけれど、
(X^2-2)と(X^2+1)のどちらか一方を０と同一視しているわけではなく、
単なるこの環の元である多項式に過ぎないから、
例えばℚ(√2)やℤ[√2]、またはℚ(i)やℤ[i]なんてものを考えても、
それはℚ[X]/(X^4-X^2-2) や ℤ[X]/(X^4-X^2-2) とは全く別物、同型ですらないわ。
ℚ(√2)とℚ(i)、ℤ[√2]とℤ[i]もそれぞれ同型じゃないしね。
それでこの場合、[X^2-2]と[X^2+1]はどちらも零元ではないが、
零因子になるわね。だからℚ[X]/(P) や ℤ[X]/(P) は整域ですらない。

こんな感じで疑問は解消されてくれるかしら。
ちなみに次の段の
>あなたの説明から、各 P_i に対してあるモニックの F_i ∈ ℤ[X] があって、
F_i(f) ≡ 0 (mod P_i) となることがすぐわかる
って、アタシのどの説明から、どうしてそれが言えるのかよくわからないわ。
そもそも多項式環て、多項式を一つの元としてしか見たことなくて、
多項式の変数に他の多項式を代入するなんて、
今回の問題に出会うまで考えたこともなかったわ。
ここ、もう少し丁寧な説明お願いできるかしら。
それからまた一週間くらい書き込み難しくなるかもしれないけど、
時間に余裕ができれば書き込めるかもだけど、そこんとこよろしくね。
0418陽気な名無しさん2023/11/14(火) 18:35:17.12ID:sP28vZPN0
この人の言うことをアタシなりに翻案してみると、以下の通りとなる

ℤ[X]からℤ[α]への準同型をX→αで定める
準同型定理からℤ[X]/(P)≅ℤ[α]
ℤ[α]はℤ上整なのでℤ[X]/(P)もℤ上整


疑問：
どこにℚ[X]/(P)やらℚ(α)が必要なんだ？
0419陽気な名無しさん2023/11/15(水) 09:32:43.84ID:YRgVjec30
今日はそこそこ忙しいんだけれど、
割とすぐにレスできそうだからしちゃうね。

>>418
準同型定理使うとこんなにシンプルにできるんだ？
って一瞬思ったけど、いやいやそんなに簡単な話ではないと思い、
ちょっとちゃんと読み返してみたら、あなたちょっと雑よ。
あなた長文があまり好きではなさそうだから、
できるだけシンプルに問題点を書こうと思うけど、できるかしら。
問題点を書いてる中に、あなたの疑問に対する回答も出てくる予定よ。

問題点は、ざっくり２つ。
１．Pは何？
２．ℤ[α]はℤ上整はなぜ言える？

まず１．Pは何？だけど、これまでの流れででてきたPは2種類あるのよ。
一つは元々の問題で出てきた、「整数係数のモニック」。
もう一つは「整数係数のモニックで、かつ『既約』なもの」。
この２つは決定的に重要な違いがあって、
二つ目の定義ならあなたの説明は真だけど、
一つ目の定義だと偽になってしまうわ。
αはPの任意の根を一つ選んで決めたものだと思うけど、
それだとあなたの準同型写像、全射はまあ自明と言っていいと思うけど、
Kerはαの最少多項式で生成されるイデアルよ。
もしPが『既約』ならこれは(P)で正しいけれど、
そうでないならこれは(P)ではないので、あなたの説明は成り立たないわ。

次に２．ℤ[α]はℤ上整はなぜ言える？について、
これは正しいのだけれど、自明なことではないのよ。
αがℤ上整なのは定義より自明なんだけれど、
だからといってℤ[α]のすべての元がℤ上整だというのは少し手間がかかるの。
これまでにやってきている
「代数的整数同士の和、差、積は代数的整数である」
という定理を利用することによって、
やっとℤ[α]のすべての元がℤ上整だと言えるのよ。
この定理を証明するには代数体の整数環の話になるから、
それでℚ[X]/(P)やらℚ(α)が顔を出したのよ。
Pが『既約』ならばℚ[X]/(P)はℚ(α)と同型で同一視できる。
だからℤ[X]/(P)は代数体ℚ(α)の整数環ℤ[α]と同一視できる。
といった感じにね。
まあ定理の証明自体は本にお任せで省略させてもらったけれども。

以上で回答としてはOKかしら。
これまでうさぎにいろいろレスしてきたから
この問題に関しては結構頭の中が整理されていて、
それで割とすぐ返答出来たわ。良かったわ。
0420陽気な名無しさん2023/11/15(水) 09:57:47.32ID:yEvQ+Ztj0
>>419
アンタちょっとオツムが弱いんじゃない？
0421陽気な名無しさん2023/11/15(水) 12:38:13.43ID:K+HQeVZv0
このババア、なんでアタシが間違ってるような感じを醸し出してくるのかしら
ほとんど至る所稠密に誤解と脱線が散りばめられたアンタの取り止めもない与太話から辛うじて論理の胎動が認められる箇所をより抜いて翻訳要約再構成したらこうなるだろ？って話よ？
だから、
＞もしPが『既約』ならこれは(P)で正しいけれど、
＞そうでないならこれは(P)ではないので、あなたの説明は成り立たないわ。
アンタにこんなこと言われる筋合い毛頭ないわ
Pを既約だと思い込んでたのはアンタでしょうよ

Pは整係数既約モニック、αは根
ℤ[X]からℤ[α]への準同型をX→αで定める
準同型定理からℤ[X]/(P)≅ℤ[α]
ℤ[α]はℤ上整(証明は成書に委ねる)なのでℤ[X]/(P)もℤ上整

アンタの言ってることってこうじゃないの？
0422陽気な名無しさん2023/11/15(水) 21:23:22.47ID:5u42BBv50
頭が良い人って使う言葉が面白いわねw
面白いというか興味深いというか
他のスレでは絶対に見られないような単語
0424陽気な名無しさん2023/11/18(土) 12:59:31.80ID:8mLhZAjn0
このスレどうしたらいいんだろうね
せっかく問題作って出してもうさぎとその金魚の糞は意味不明なスト起こしてるし
うさぎが孤独を感じないように何か話でも聞いてやるスレにでもしたらいいのかしら

うさぎは小さい頃習い事何かしてたの？
初恋はいつ？どんな人だった？
0425Usagi2023/11/19(日) 02:15:55.68ID:Fy2g79nZ0
>>416
丁寧にどうもありがとう。そしてお返事遅くてごめんなさいね。
>文章おかしかったかしら？
そうね…
>「αをPの根の一つとしたとき、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば、Pはモニックなので、αは代数的整数」
だと「ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体であること」が
「Pはモニックであること」の理由となっている、または
「（Pはモニックなので）αは代数的整数であること」の理由となっている、
のどちらかを意味しているように見えるわ。
でもおっしゃりたかったのは、そのどちらでもなく、「ℚ[X]/(P)が体であること」は
「ℤ[X]/(P) の元は整数係数のαのn-1次以下の式で表される」の理由となっている、ってことでしょう？
それから、ℚ(α) はℚにαを添加して得られる体だから、定義上、体に決まっているけれど
ℚ[X]/(P)は体とは限らないわけだから、「ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば」という言い方もおかしいわよね。
「ℚ[X]/(P)が体ならば、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) となるので」ならわかるけれど。

>有理数係数ならわざわざモニックって書く意味がないから
>整数係数は省略してもわかると思って省略しちゃったわ。
たしかにそう言われるとそうね。

>アタシは零元は零因子とは呼んでいないわ。
Wikipediaを調べたら、それをいう場合は「0でない零因子」または「非自明な零因子」と呼ばれる、とあるわ。

すんごい細かいことをごちゃごちゃ書いてしまって申し訳ないけれど
おそらく、あなたみたいに代数を専門的に勉強した人同士なら
こういう細かい部分を自然に脳内補完しあって話が通じるんだと思うけど
アタシは部分的に齧ってるだけでちゃんと勉強していないから
よく知らない用語をネットで調べながら字義通りに理解しようすることしかできないのよ。
それでなんか変と思っても、それが自分の理解が足りないせいなのかわからなくて混乱しちゃうのよね。

でもおかげで理解したわ。
0426Usagi2023/11/19(日) 02:17:55.99ID:Fy2g79nZ0
>>417
結局、ℤ[α]は多項式（の同値類）の集合じゃなくて数の集合ってことになるわけね？
ℤ[√２]という書き方さえするわけでしょ。
√２は文字じゃないから、これはどう考えても多項式（の同値類）の集合じゃないわよね。
ℤ[X]/(X^2-2) ≅ ℤ[√２]
というのは、つまり (√２)^2-2 と 0 が ℤ[√２] の要素として区別されないということだものね。
要するに、ℤ[α]のαは単に√２とかのある具体的な数を表しているだけで
ℤ[X]のX（こちらは多項式の関数の引数を表す）とは別物ってことね。

数学って時々こういうところがいい加減で嫌ね。
たとえば x^2 + y^2 という表現は、ある具体的なひとつの数を表しているとも読めるし
xの関数とも読めるし、yの関数とも読めるわよね。
アタシ論理学を少し齧ってるんだけど、論理学では x^2 + y^2 がある具体的なひとつの数を表すのに対し
xの関数としてなら λx. x^2 + y^2、yの関数としてなら λy. x^2 + y^2 というふうに
ラムダ項というもので書き分けるのよね。
関数型プログラミングとかされている人はよくご存知でしょうけれど。
でもふつうの数学の本でこういう書き分けしてるのって見たことないのよね。
上の例で言えば、ℤ[λX. X]とℤ[α]みたいに書きわければ混乱しないのに～とか思ったわ。

>>あなたの説明から、各 P_i に対してあるモニックの F_i ∈ ℤ[X] があって、
>F_i(f) ≡ 0 (mod P_i) となることがすぐわかる
>って、アタシのどの説明から、どうしてそれが言えるのかよくわからないわ。
これは>>365が>>354の書き換えであるということに戻っただけよ。
あなたはP(X)が既約の場合、ℤ[X]/(P(X)) ≅ ℤ[α] がℤ上整であることが
（代数的整数の集合が環となることを前提とすれば）すぐわかると言っているわけでしょう。
つまり、P(X)が既約の場合、任意の [f(X)] ∈ ℤ[X]/(P(X)) ≅ ℤ[α] について
あるモニックの F(Y) ∈ ℤ[Y] があって F([f(X)]) = (P(X))、つまり
F(f(X)) ≡ 0 (mod P(X)) であることがすぐわかるということでしょう。
アタシも多項式の変数に他の多項式を代入するなんて考えたことなかったけれど、
多項式の変数に ℤ[α] の元を代入することはふつうに考えるわけで、ℤ[X]/(P(X)) ≅ ℤ[α] なんだから、
多項式の変数に ℤ[X]/(P(X)) の元を代入しても結果的に同じことになるわよね。
0427Usagi2023/11/19(日) 02:46:11.25ID:Fy2g79nZ0
>>418
あなたの「疑問」は、修辞疑問文（反語）なんだけど、ものぐささんは本当の疑問文だと思っちゃったのよね。
でも、あなたの言いたいことはわかったし、ものぐささんの説明と合わせて理解が深まったわ。
Pが既約のとき ℚ[X]/(P) ≅ ℚ(α) となることも、X→αにより定まる体の準同型と準同型定理から来ていたわけね。
それでℤ[α]がℚ(α)の部分環だから、ℤ[X]/(P)もℚ[X]/(P)の部分環なのね。
でも確かに言われると、わざわざ体のℚ[X]/(P)とℚ(α)を介さずに、直接、環の準同型の話をすれば済むわね。
「代数的整数同士の和、差、積は代数的整数である」という話も、体を出さずに環の話だけで完結すると思うわ。
https://math.stackexchange.com/questions/2133205/set-of-algebraic-integer-form-a-ring
0428Usagi2023/11/19(日) 02:54:11.91ID:Fy2g79nZ0
>>424
ストって何？ >>373を無視していることを言ってるの？
アタシは>>365の話が完結するまで次に行きたくなかっただけよ。
そもそも時間を見つけて趣味でここに書き込んでいるだけで
ここの問題を解くことはアタシの仕事でもなんでもないの。
なんでアタシが解くことが前提になってて、すぐに解かないとストだとか批判されなきゃいけないの？

>うさぎが孤独を感じないように何か話でも聞いてやるスレにでもしたらいいのかしら
>
>うさぎは小さい頃習い事何かしてたの？
>初恋はいつ？どんな人だった？
これは何よ。アタシに対する嫌味のつもり？
だったらアタシもう書き込むのやめるわ
0429陽気な名無しさん2023/11/21(火) 11:39:22.28ID:0DHQcTR10
>>421
あなたの口が悪いのはいいとして、
っていうか口が悪いからって一々気分を害していたら、
このスレではうさぎとしか会話できなくなってしまうから諦めたわ。
ご指摘の通りアタシは最初Pを既約だと勘違いしていたわ。
それでも勘違いに気づいて以降は既約かそうでないか、
その都度ごとにわかるように明記してきたつもりよ。
その流れの中で、どちらかを明記しないのはやっぱり良くないと思うわ。
それからあなたはアタシの言っていることを要約してくれたそうだけど、
とても簡潔にまとめてくれたのは本当にありがたいんだけど、
アタシの言っていたこととはちょっと違うのよね。
アタシは準同型定理を使うことは、あなたが書き込みしてくれるまで
全く頭の中になかったのよ。
ℚ(α)の整数環だからℤ[α]という考え方しかしていなかったの。
もちろんうさぎが
>Pが既約のとき ℚ[X]/(P) ≅ ℚ(α) となることも、X→αにより定まる体の準同型と準同型定理から来ていた
って言ってくれて思い出したんだけど、
そういえばℚ[X]/(P) ≅ ℚ(α) を当たり前に使っていたけど、
ここにも準同型定理使われていたのをすっかり忘れていたわ。

>>うさぎ
文章については、感覚で文章書くとおかしな文章になるのね。
「αをPの根の一つとしたとき、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば、Pはモニックなので、αは代数的整数」
というのは、アタシの無意識の感覚で
「αをPの根の一つとしたとき、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が成り立つ、すなわち体になるとする」
という、議論を始める大前提と、
「Pはモニックなので、αは代数的整数」
という議論をスタートさせた最初の部分をいっしょくたにしてしまったということみたいだわ。

零因子はもちろん厳密にいえばwikiの言う通りなんだけど、
言葉のニュアンスとして「零でないのに積が零になる不思議なもの」みたいな、
なにか普通のものではないイメージがあるので、
アタシは零因子というときは非自明なものをイメージしていたのよ。
「零因子はない」「零因子はある」というときに「零以外の」を頭につければいいんだけど、
面倒だし、「不思議なもの」のあるなしの話だから通じるわよね？と思ってしまったのよ。

ℤ[α]は、αが数なら数の集合だし、αが文字なら多項式の集合よ。
論理学の書き分け方については初めて聞いたわ。なるほどね。

>各 P_i に対してあるモニックの F_i ∈ ℤ[X] があって、F_i(f) ≡ 0 (mod P_i) となることがすぐわかる
について、納得したわ。
Pが既約でなくても>>415 の論法でOKっぽいわね。
0430陽気な名無しさん2023/11/21(火) 11:40:53.19ID:0DHQcTR10
>>427
「代数的整数同士の和、差、積は代数的整数である」という話が、
体を出さずに環の話だけで完結するのはそのとおりなのよ。
だけどアタシが勉強した時に、環論やって体論やって、
それでガロア理論やって、って順番で勉強して、具体例として代数体が出てきて、
その後に代数的整数いろいろやり始めたから、
代数的整数といえばある代数体の整数環の元、ってイメージがアタシにとっては強いのよ。
だから代数的整数の説明をするときに、つい代数体経由で説明してしまうのよね。
代数体経由で説明するのは、そういう順番で勉強したアタシ流の説明であって、
体を使わずに説明する人がいてもそれを否定するつもりは全くないわ。
その方が簡潔だからその方が優れた説明だと言われればその通りかも知れないし。

>>428
>>424 は完全にスルーすべき書き込みだと思うわよ。
このスレは口が悪い人だけではなく根っから意地悪な人もいるから、
いちいち相手にする必要ないわよ。
そもそもこのスレで問題解いているのは大部分がうさぎだし、
残りの少しアタシも以前解いたこともあったけど、
それよりもっと昔解いてくれていたリサ姐さん達も今はいないみたいだし、
このスレが辛うじて良スレだと思えるのはうさぎのおかげよ。
問題出すより解く方が大変なのに、
出しておいて解答解説しないのも無責任な出題だと思うから、
基本的に問題の出し逃げみたいな問題はスルーして構わないと思うわよ。
もちろん解けそうなら解いてもいいと思うけど。
0431陽気な名無しさん2023/11/21(火) 20:10:10.20ID:HfcHPnuV0
それは違うんじゃないかしら

そりゃ>>150みたいなつまらん問題出すだけなら簡単だろうけど、この問題や>>321のように議論が盛り上がり、そして参加した人が皆それぞれに勉強になるような問題を出すのは、実は難しいことだと思うわ
入試問題を見て一般化に挑戦したり、代数学の教科書の演習問題をできるだけ易しい方法で解けないか試行錯誤したり、そういう地道な努力があってはじめてこのような出題が可能となる気がするの
出題する側にこそ学力が必要なのよ

また、出題の仕方にも丹精しているのでは、と気付かされたわ
スレに居る人の特徴をよく観察して、その人たちに興味を持ってもらえるように問題を表現する、そうすることで活発な議論が巻き起こり、スレが活性化するの
例えば、うさぎの神経逆撫でするようなスパイスの効いた問題文も天晴れよね
うさぎがペダントリイに堕した性格なのを知り抜いてるからこそ、あえてうさぎが突っ込みたくなる問題文にして、うさぎの学識誇示欲を刺激し、ここを余スレをもって代えがたい豊穣なスレにしている
洞察力の賜物よ

>>150や>>225みたいなコクものどごしもない、なんの味わい深さあったもんじゃないゴミを並べていれば、いずれスレは死ぬわ
このスレを辛うじて良スレならしめているのは、なんとかして質の高い問題を出そうと努力してくれている人のおかげなのよ
少しでも想像力があれば問題出すより解く方が大変なんて口が腐っても言えないはずよ
0432陽気な名無しさん2023/11/21(火) 21:06:00.54ID:0DHQcTR10
>>431
それならある程度盛り上がったら、出題者から想定していた解法や、
盛り上がりに対する何らかのコメント等があってもいいはずよね。
偶然盛り上がったのではなく、努力して盛り上がるような問題を作ったのなら、
ぜひその盛り上がりのまとめのネタばらしまで出題者自身がやるべきだと思うわ。
問題の出し逃げはダメよ。

その前にそもそもスレタイは完全無視なのね。
>>150や>>225みたいな問題こそ、正にスレタイそのものなのにゴミ呼ばわりですものね。

そもそもあなたの言う「盛り上がり」って、うさぎを含む、
大学数学を少しでもかじった人でないとついていけないのよ。
このスレは大学数学はやっていないけど大学受験までは理系だった、
って人が本来の対象のスレだったはずよ。
>代数学の教科書の演習問題をできるだけ易しい方法で解けないか
これは完全にスレ違いの発想だと思うわ。

うさぎが頑張るからスレ違いの発想が暴走してしまっているけど、
数年前はもっとたくさんの人が解けるような問題を出して、
もっとたくさんの人が解いていたと記憶しているわ。
それこそがこのスレの本来の姿だと思うわ。
そのためにも>>150や>>225みたいな問題がいいんだと思うわ。
他にも例えば、中学入試の問題だけど、
大学入試を理系でやった人でもちょっと戸惑うような問題なんかもいいかもしれない。
話の流れで大学数学の話にまで話が膨らむのはまだいいとしても、
最初から大学数学レベル狙いで出題するのはやめてほしいわ。
0433Usagi2023/11/22(水) 22:39:47.86ID:u4RMVQ+J0
>>429
零因子という用語についてもうちょっと調べてみたの。
零因子に0を含めるWikipediaの定義は、ブルバキによるものみたいだわ。
零因子の英語はzero divisorだから「零を割るもの」「零の約数」って意味なのね。
そして、0でない零因子は nonzero zero divisor、零因子でない元は non-zero-divisor、と非常に紛らわしいわ。

で、本棚の肥やしになってた MacLane & Birkhoff (AMS) を調べてみたら、0を含まないように零因子が定義されていたわ。
気になったから、とあるサイトでいろいろな代数の本（Lang, Hungerford, Dummit & Foote, Herstein）を
ダウンロードして調べたら、すべて0を除外する定義だったわ！
だからきっとブルバキ原理主義者以外には、あなたの用語の使い方の方が標準的なんだと思うわ。

別の本棚の肥やし Michael Artin著 “Algebra” 第１版 (1991) はブルバキと同じで0を含めていて、
そこに興味深いコメント（これもおそらくブルバキのぱくり）があったわ。

The term “zero divisor” is traditional, but it has been poorly chosen, because actually every a∈R divides zero: 0 = a0.
（zero divisor という用語は伝統的だが、お粗末に選ばれた用語だ。なぜなら、どの a∈R も0を割るからだ。）

でもネットでArtinの第２版 (2010) をダウンロードししたら、0を除外する定義に変わってて、上のコメントも無くなってたの！
確かにいつも nonzero zero divisor とか早口言葉みたいなもの言ってられないものね。
同じ数学用語でも、本や人によって意味が微妙に変わる場合もあるという例ね。

354 = 365 の問題は、二通りの全然違う解き方ができて
ものぐささんのおかげでアタシは環論にも少し触れることができて勉強になって良かったわ。
だけど、365の人は >>366 ですでにひとつの答えを出していて、これも気になってたのよね。
https://ja.wikipedia.org/wiki/有限生成加群
を見ると、
・Aを有限生成R加群である
・AはR上有限生成環かつRの整拡大である
のふたつが同値である、と書かれてて、366のリンク先はこれを利用しているのよね。
で、Wikipediaで引用されている Kaplansky をダウンロードしてちょっと見てみたの。
おそらくだけど、ℤ[X]/(P) がℤ上整である証明は、ℤ[α]がℤ上整であることの証明と同様にできるっぽいわ。
ℤ[α]がℤ上整であることを示すには、1, α, …, α^{n-1} が基底となる（有限次元になる）ことを使うわけで
上の議論では、ℤ[X]/(P(X)) ≅ ℤ[α] であることを言うために、Pが既約であることを要求したのよね。
でもℤ[X]/(P) の元はすべて n-1次以下の多項式と同一視できるから、1, x, …, x^{n-1} がℤ[X]/(P)の基底となって
あとはℤ[α]のときの証明と同様にできるっぽいわ。この場合、Pが既約かどうかは関係ないのよ。
0434Usagi2023/11/22(水) 22:53:20.61ID:u4RMVQ+J0
>>431
あんたの言葉使いのセンスは面白いわね。そこは認めるわw
で、褒められてるんだが貶されているんだかわからないけれど

>うさぎの神経逆撫でするようなスパイスの効いた問題文も天晴れよね
>あえてうさぎが突っ込みたくなる問題文にして

これはおかしいわ。深読みしすぎだし捻くれてて倫理観が崩壊しているわ。
アタシは、>>321とか>>354みたいなのは、単純に、
数学板ではないここでは大多数の人に理解できない書き方だからやめてほしいと言っているだけなの。
こういう書き方への苦情は、アタシとものぐささん以外からはほとんどないように見えるかもしれないけれど
それは、理解できない人が書き込みにくい雰囲気にこのスレがなってしまったせいだと思うわ。
こういう書き方のおかげでアタシの書き込み意欲が増すということは全くないの。
むしろ正反対よ。
本当は無視したいんだけど、そしたら問題の意味がわからない人がわからないままになるから
ふつうの日本語に翻訳してあげなきゃ、と思って書き込んでいるところもあるわ。
でも、こういう書き込みをやめてほしい、という怒りの説明文を書くのもすごく大変でストレスを感じるし
日本語への翻訳も二度手間でアタシが疲れるだけだし、本当に嫌なの。
だけど、苦情を書くだけで解かないと
「逃げた」とか「解けないくせに」とかコメントが来てまた嫌な思いをしそうだし
いずれにせよアタシが解かないと誰も解きそうもないし、そしたらスレが廃れて落ちるだけだし
とか思って、スレ民の信用を得る目的もあって解いているのよ。
0435Usagi2023/11/22(水) 22:53:47.80ID:u4RMVQ+J0
>>321も相手にしないつもりだったけれど、>>324で日本語を話せる人だとわかったから、相手してあげることにしたのよ。
>>365も流そうと思ってたけれど、>>371でものぐささんが書き込んでくれたから、アタシはそれに反応しただけなの。
>>354の問題だって、書き込まれてすぐにアタシは>>359の解き方を思いついたわ。
でも一週間も経ってから書き込んだのは、相手にするのが嫌だったし>>358みたいなものを書くのが嫌だったからよ。
だからくれぐれも勘違いしないでほしいわ。
最初から誰にでもわかるような日本語で書かれていたら、アタシはいろいろ嫌な思いをしないで済んで
純粋な気持ちで取り組めて、書き込み意欲もずっと高くなるわよ。
上にも書いたけど、今後はもうこういうのは相手にしないわ。

洞察力の賜物、ってアタシは実験観察対象の動物扱いなの？
うさぎはモルモットじゃないの！
アタシは、321や354が、故意にアタシをイラつかせようとしてそういう書き方をしたとは考えたくないわ。
その考えは捻くれすぎよ。
それに、故意に特定の個人に嫌な思いをさせても、自分が楽しめる or 全体の利益となるなら良いと考えて、
そういうやり方（実際にはしていないと思うけど）を賞賛するなんて倫理観が崩壊しているわ。

疲れた…
0436陽気な名無しさん2023/11/23(木) 17:36:38.94ID:GRjP6KSQ0
>>433
あらまあわざわざ調べてくれたのね、ありがとう。
ブルバキだったのね、なるほど納得だわ。
ブルバキといえば自然数の定義にも０を入れてたわよね。
確かに自然数は０を入れないのは加法に関する半群で、
入れたのは単位的半群になるから
入れたほうが数学的により美しいのは確かにわかるわ。
でも、自然数って、人間が一番最初に素朴に持った数の概念でしょ。
だったら０は入れないで１からとすべきよね。
だって０は１，２，３，・・・の概念が出来てから
かな～り経ってから発明？発見？されたものでしょ。
歴史的にはやっぱり自然数に０は入れるべきではないと思うわ。

有限生成加群についてなんだけど、
アタシ何度か言っているように、群、環、体ガロの順に勉強して、
加群は飛ばしちゃったから、ちょっと苦手意識があるのよね。
でもせっかくうさぎがいろいろ調べてくれて、
なんかわかりそうな気になったから、アタシも調べてみたわ。
wikiの整拡大のところを見ると（https://ja.wikipedia.org/wiki/整拡大）
B を環とし、A をその部分環とする。このとき B の元 b について次は同値。
b は A 上整
部分環 A[b] ⊂ B は A-加群として有限生成
A[b] は有限生成 A-加群である部分環 C ⊂ B に含まれる
（以下略）
なんてのもあったわ。
まあうさぎが調べてくれたのと同じような内容で、
加群メインで書いてあるのと、環メインでかいてあるのが違うくらいかしら。
あと他に、https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12239745397
こんなところに「Bの元xはA上整 ⇔ A[x] はA上整」の証明があったわ。
この証明がOKならば、ℤ[X]/(P) の元XはモニックであるPの解なんだから、
既約かどうか関係なくB=ℤ[X]/(P) とみなせばXはℤ上整であり、B=A[x]となって、
証明したかったことが完全に証明されてるのではないかしら。
この証明、行列式＝０とか使っていて、代数的整数同士の和、差、積が
代数的整数になることの証明と似てるわよね。
その証明（二人目の補題２）のチェックは面倒だから
というか、忘れてる線型代数見直さないと、ｔって何？状態なので、
チェックはお任せしてよろしいかしら？
0437Usagi2023/11/23(木) 18:19:14.32ID:YgW66qYv0
まだ詳しく読んでいないけれど、^t は転置を表しているものだと思うわよ
(a_1,...,a_n) は本当は縦ベクトルなんだけど、ネットだとそのまま書けないから
横ベクトルで書いて、その前に ^t をつけることで本当は縦ベクトルって言いたいだけだと思うわ
0438Usagi2023/11/24(金) 12:48:55.32ID:q2UzmVkH0
知恵袋読んだわ。ていうか知恵袋にこんなものまであるなんてビックリね！

これって、FullHouseさんが「整閉包が環をなす」ことを用いて問題に答えたから
それを受けて、りっきぃさんが「整閉包が環をなす」ことを証明したって流れなのかしらね？
でも、実はりっきぃさんみたい書いてくれるなら、この【定理】まで言わなくても
【補題２】まででこの問題に答えるのには十分よね？
環RとしてAを、そして環SとしてA[x]をとればいいから。

で、あたしも余因子行列とか詳しくないから調べたけど、要するに
Mを正方行列、単位行列をEとすると、(Mの余因子行列) × M = (det M) E となるらしいわね。
でもこんなややこしいやり方をしなくても、草場本の証明を参考にすると
零ベクトルでない縦ベクトル (a_1, …, a_n) に行列 aE-A を作用させたら零ベクトルになるのだから
det(aE-A) = 0 ってすぐ言えるんじゃないのかしら？

あなたのおっしゃる通りで、これって本質的に
「代数的整数同士の和、差、積が代数的整数になる」つまり「代数的整数の集合が環をなす」
ことの証明と同じだと思うわ。
https://math.stackexchange.com/questions/2133205/set-of-algebraic-integer-form-a-ring
上にも出したリンクだけれど、行列の具体例が見やすいから参考になると思うわ。
これも最後の部分でまた違うやり方をしていて、アタシも線型代数詳しくないからよくわかってないけど
行列Mの固有多項式をχとするとχ(M) = O（零行列）となる、というのはケイリー・ハミルトンの定理よね。
で、この場合、MB = pB から M^i B = p^i B なので、零ベクトル = OB = χ(M)B =χ(p)B となるから
χ(p) = 0 がわかるってことかしら？
ともかくχ(p) = 0 なら det(pE-M) = 0 となるわね。

高木本はどういうやり方なのかしら？

一般的に、α, βを環R上整、そしてαとβのR上の最小多項式の次数をそれぞれ n, m とすると
R[α, β]は有限集合 { α^i β^k | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m } を生成集合とするR上の加群となるわけよね？
それで、知恵袋の【補題２】の {a_1, …, a_n} を { α^i β^j | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m } にすれば直接【定理】が証明されるわ。
草場本や上のリンクはそういう流れよね。
細かいことを書くと草場本では { α^i β^k | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m } を直接使うんじゃなくて
高々有限次元だからその基底を u_1, …, u_l として、それらが作るベクトルに行列をかけているんだけど
もし { α^i β^j | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m } が基底になっていない、
つまり一次独立でなかったとしても特に議論に差し障りはないわよね？
{ α^i β^j | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m } の元がすべて 0 なわけでないから問題ないと思うんだけど…

話が戻るけど、上にも書いたように R[x]が環となることを言うには、整閉包の話まで一般化する必要はなくて
【補題２】の {a_1, …, a_n} を { 1, x, …, x^{n-1} } とすればもうそれで十分だと思うわ。
0439Usagi2023/11/24(金) 13:27:32.51ID:q2UzmVkH0
>>436
>ブルバキといえば自然数の定義にも０を入れてたわよね。
それは知らなかったけれど、自然数に0を入れるのは数学基礎論（論理学や集合論）では一般的よ。
数学のすべてを集合で表現しようって考えだから、自然数とかの数もすべて集合で定義するの。
自然数の集合論定義はいくつかあるらしいけど、一番有名なのはフォン・ノイマンによるもので
0 := ∅
n+1 := n ∪ {n}
と帰納的に定義するの。すると
1 = {∅}
2 = {∅, {∅}}
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}
てな感じになるわ。
すると、|n| = n （集合nの要素の個数はn個）となるのよ。
あと n < m ⇔ n ⊊ m ⇔ n ∈ m なんて関係も成り立って便利なのよね。
もし自然数を1から始めたら、自然数の集合論的定義がきわめて不自然なものになってしまって
理論全体が大変なことになってしまうと思うわ。

0の発見っていうのも、10進法とかで数を表記する時に空の位に書くものを発明した、という意味じゃないかしら？
0がないと、数字が無限に必要になってしまうから。
数としての0の概念自体は、人間の中に普通にあるもののような気もするわ。
実際、正の自然数と同様、0は自然言語で表現可能なことじゃないかしら。

うさぎはいちごをひとつ食べた。
うさぎはいちごを（まったく）食べなかった。

そこへいくと、負の数は自然言語では表現しようがないわ。
0440陽気な名無しさん2023/12/03(日) 11:49:19.54ID:kFj7X8sB0
>>うさぎ
お待たせしたわね。
最近忙しくて、今日やっと時間が取れたわ。

>>437
そうね、^t は確かに転置ね。
それですっと意味が通ったわ。

>>438
そうそう、補題２までで十分よ。
det(aE-A) = 0 がすぐ言えて、だからaは
モニック多項式 det(xE-A)∈ R[x] の根、でいいわよね？
「代数的整数同士の和、差、積が代数的整数になる」の高木本の証明は、
見た感じあなたの書いた草場本と同じような感じみたいね。
{ α^i β^k | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m } や u_1, …, u_l のことを、
基底なんて一言も書いていなくて、
基底かどうか関係なく、式変形を追って行けば導かれるっぽいわよ。
0441陽気な名無しさん2023/12/03(日) 11:50:00.87ID:kFj7X8sB0
>>439
自然数については、wikiに説明があるわ。（https://ja.wikipedia.org/wiki/自然数）
これ０入れる考え方も入れない考え方もちゃんと説明されてて結構いいわ。
アタシは自然数の形式的定義はペアノの公理でやったから
0は入れない1からの定義が自然だと感じるし、wikiにもあるように
歴史的にも１～は古代からあったけど０の概念は628年だそうよ。
集合論、論理学で主流らしい０を入れる定義も載っていて、
それはあなたが書いたのと同じようなものだけど、
それは後世になっていろんな数の概念が出来てから定型化したもので、
歴史的なことは関係のない、理論的整合性に重きを置いた定義だと思うわ。
理論的整合性で考えれば０を入れるのが当然ですもの。
もちろんペアノの公理も後世になって作られたものだけど、
こちらはきっと自然数の概念は歴史的にこのように発生したのでは、
ということに重きを置いたものだと思われるわ。
うさぎの言う、自然言語で表現可能かどうか、という考え方って、
後世になっていろんな数の概念が出来てから考えられたものであり、
628年より前は「無い」という概念はあっただろうけど、
数の概念と結びついていなかったものと思われるわ。

本当かどうか知らないけど、アタシのきいた話では、
原始時代数の概念が最初にできた時は、「１，２，３，たくさん」
だったとかいう話よ。４以上は認識されなかった時代の話ね。
勿論この時代に０の概念なんてなかったと思われるわ。

それで、０を入れたものを非負整数と呼んだり、
０を入れないものを正整数と呼んだりするけど、
自然数という言葉は、自然発生的に、
歴史的に最初に認識された数、と解釈するのが自然だと思うから、
アタシはやっぱり自然数には０は入れない方を支持するわ。
実際使うときは自然数と呼ばずに、必要に応じて
正整数とか非負整数と呼べばいいのよ。
もちろん自然数をどっちと考えるかは人それぞれだから、
学問的に議論することではないと思うわ。
0442Usagi2023/12/07(木) 22:27:01.84ID:pxoB+5/s0
>>441
Wiki読んだわ。いろいろ複雑ね。
よく読むと、10進法とかの空の位を表す数字としての0は１世紀頃からあったけれど
数としての0は628年からって書いているわね。
つまり0という数「字」はあっても、それを単独で数として使うと言う発想がなかったってことなのかしら。
つまり 1 + 0 = 1 みたいな計算は考えなかったって意味かしらね。

他にも古代ギリシアでは数は2からで1も数じゃなかったとか書いてあって面白いわね。

ペアノの公理についてもアタシは論理学の本で読んだから0から始まるものと思ってたわ。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ペアノの公理
これ↑見ると、実際0も入っているんだけど
「歴史」のところを読むと、ペアノ自身が考えたときは1から始めてたみたいね。

アタシ思うんだけど、自然数は0からか1からか、はたまた古代ギリシア風に2からか、とかって
最初にどう習うかの影響が大きい気がするのよね。
中学高校で自然数は1からって刷り込まれるから、そのイメージを壊すのが難しいだけの気がするのよね。
実際アタシも最初に自然数が0から始まっている本を読んだ時すごく抵抗あったんだけど
なんで抵抗あるのか考えてみたら、中学高校でそう習ったって以外に理由が見つからなかったの。
結局、数学は理論的に一番綺麗であるべきだと思うから、今はアタシの中では自然数は0からになってるのw

自然言語で表現できるかというアタシの考察はちょっと適当過ぎたかもしれないわ。
実際「ひとつ」「ふたつ」「みっつ」と、1以上の数を表す単語は昔からあるのに
0個を表す単語についてはそうではないものね。
確かに「何もない」ことを表現できることと、数としての0の概念をもっていることは別のことかもしれないわね。

>原始時代数の概念が最初にできた時は、「１，２，３，たくさん」
>だったとかいう話よ。４以上は認識されなかった時代の話ね。
>勿論この時代に０の概念なんてなかったと思われるわ。

原始時代と言わず、現代でもブラジルのアマゾンに住んでいる「ピダハン族」の言語では
「少ない」「多い」のような表現はあるけれど、数を表す言葉がないらしいの。
そして、この部族の人に数をマッチングさせる課題をやらせると
要素の数が4以上になるとパフォーマンスが低下するらしいわ。
これを説明している面白い動画があったから貼っておくわね。
https://www.youtube.com/watch?v=Xv-3HB8b1as
動画によると、数を表す言葉を覚える前の赤ちゃんも4以上の数を把握できないらしいわ。
でもこれを見て思ったのだけれど、おそらく赤ちゃんに
1 - 1 = 0 を実演しても驚かないと思うし、2 - 1 = 0 をトリックで実演したら驚きそうな気がするのよ。
少なくともピダハン族の大人はそういう反応をすると予想するわ。
とすると、こういった実験の結果を動画が説明するように
数の概念を理解しているかどうかとして解釈できるならば
0は誰もが概念として持っていると言えるんじゃないかしらとも思ったのよ。
もしこの考え方で「自然」数を考えるなら、(0,) 1, 2, 3 だけが自然数になりそうね。

取り留めのないことつらつらと書いたけれど、一言で 0 と言ってもいろいろな理解の仕方があるわけね。
数「字」としてなのか数（概念）としてなのか、
概念といっても、言葉で表せるという意味か、引き算の実演で間違いに驚くと言う意味か、
はたまた加法の単位元としてなのか、
結論も何もなくてごめんなさいねw
0443Usagi2023/12/08(金) 00:03:51.05ID:yeo6heGD0
ちなみに、この「ピダハン」という呼称は誤りなの。
これはポルトガル語で Pirahã だから「ピラハン」の方が正しいわ。
（ã は鼻母音だから最後の音節は正確には異なるが「ハン」に近い）
この言語の研究は、ほぼすべてがダニエル・エヴェレットというアメリカ人の現地調査に基づくもので
この人が一般向けに書いた本が10年程前に日本語に翻訳されたのよ。
（『ピダハン「言語本能」を超える文化と世界観』）
その際に（失礼ながら）無能な翻訳者が「ピダハン」としたために、この呼称で知られるようになってしまったの。
どうしてこうなったかと言うと、エヴェレットの原著では
アメリカ人読者に Pirahã の発音の仕方が分かるように pee-da-HAN と表記してあるの。
ポルトガル語の Pirahã の r は日本語のラ行と同じで、舌先で歯茎をはじく「はじき音」という子音で発音されるの。
でも英語の r は、はじき音ではないわよね。
そのかわり、アメリカ英語ではアクセントのない音節の頭の d がはじき音に変化するから、
アメリカ英語の話者が pee-da-HAN を読むと、自然にこの da はちょうどブラジル人の ra = 日本人の「ラ」の発音になるのよ。
つまり、エヴェレットはあくまでアメリカ英語話者が読むとポルトガル語の発音に似るように書いただけなの。
ところが、この本の翻訳者はそんな基本的なことも理解できなかったので
pee-da-HAN をそのまま日本語のカタカナにして「ピダハン」としてしまったの。
この本はかなり話題になったから、日本では完全に「ピダハン」で定着してしまったわ。
アタシ、こういうのってかなり罪深いと思うのよ。
こういうふうに誤りが世の中に広がっていくのね、って思ったわ。
日本でまだよく知られていないことの翻訳を出す時って、それなりの責任が伴うと思うの。
きちんとできない人がやると、誤りを広めたりして迷惑だとアタシは思ってしまうの。
ていうか、アタシ気になったから、今回この翻訳書を図書館で借りてきたの。
そしたら訳者あとがきにこう↓書かれていたわ。

　ちなみに、「Pirahã」については「ピラハ」「ピラァ」といった表記を見るが、本書の説明によると、
　あえてカタカナに直すとすれば「ピーダハーン（ハーンの部分に強勢がくる）」のような音になるらしく、
　迷った末に「ピダハン」と表記することに落ち着いた。カタカナ表記については日本でも研究が進み、
　適確な表記法が工夫されることを切に願う。

本当に無能で無責任で驚き呆れるわ。
Pirahãというのはブラジル人がこの部族を呼ぶ時の名称だから単純にポルトガル語の発音の問題であって
Pirahã語の発音の問題じゃないから、研究の余地もクソもないのよね。
Pirahãの人たち自身は自分たちのことを Hiáitihí と呼んで、自分たちの言語を Apáitisí と呼ぶそうよ。

別の話だけど、アタシだいぶ前に Steve Awodey の Category Theory を
少数人数の読書会で読んだことがあって（結局最初の１章くらいしかできなかったけど…）
アタシは英語読めるから原著を読んでたけど、他の人は日本語の翻訳書を使ってたの。
それを見せてもらったら誤訳だらけで意味不明だったの！
例えば the と書いたら「唯一の」と言いたいわけだけど、「まさにその」だか何だか意味不明な訳になってたり
とにかく翻訳者が明らかに全然英語を読めていなくて、数学の内容を理解しているのかも疑問に思ったわ。
特に当時は日本語での圏論の情報がすごく少なかったのに
せっかく見つけた本がデタラメ翻訳書だったら笑えないし本当に迷惑よね、と思ったわ。
0444Usagi2023/12/09(土) 03:23:39.15ID:OSxWAmwv0
最後にスレの趣旨に合わせて>>354の問題を大学入試問題風にしたら例えばこんな感じかしら

a, b, c, d, e は整数で、d^2 < 4e とする。
この時、ある整数 p, q があって、関数 f(x) = x^2+px+q が
「すべての自然数nに対して f(an^2+bn+c)/(n^2+dn+e) が整数である」
という条件を満たすことを示せ。

なんだかすごく難しそうね
ほとんどの受験生に解けなさそう…

ちなみにfの中身を1次式にして
f(an+b)/(n^2+dn+e) の形の問題だと (nの2次式)/(nの2次式) だから
これがいつも整数ということは = a^2 ってばれちゃうから割と解けそう
0445Usagi2023/12/09(土) 03:47:48.18ID:OSxWAmwv0
だいぶ遅くなったけど>>373解いてみるわ
(1) 0 < arg z < π/4 なので 0 < arg z^2 < π/2 つまり z^2 ∈ { a + bi | a > 0, b > 0 }
したがって w^2 = 1 - z^2 ∈ { 1 - (a + bi) | a > 0, b > 0 } = { c + di | c < 1, d < 0 }
w = x + yi と表すと w^2 = x^2 - y^2 + 2xyi なので
x^2 - y^2 < 1 であり、さらに 2xy < 0 つまり (x < 0 かつ y > 0) または (x > 0 かつ y < 0)
を満たす点の集合でいいかしら。

(2) w = x + yi とすると z^2 = 1 - w^2 = (1-x^2+y^2) - 2xyi
|z| = 1 ⇔ |z^2| = 1 ⇔ |(1-x^2+y^2) - 2xyi| = 1 ⇔ (1-x^2+y^2)^2 + (2xy)^2 = 1
これを整理すると
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 + 2y^2 = 0
となるんだけど、これを図示するのって難しいわよね

だからおそらく w = r(cosθ + i sinθ) と極形式を使うのよね
すると w^2 = r^2(cos2θ + i sin2θ) だから
|z^2| = 1 ⇔ |1 - w^2| = 1 ⇔ (1 - r^2 cos2θ)^2 + (r^2 sin2θ)^2 = 1
これを整理すると r^2(r^2 - 2cos 2θ) = 0
したがって r = 0 または (r ≠ 0 かつ r^2 = 2cos2θ) となるわ
では r ≠ 0 の場合を考えることにするわ
r^2 = 2cos2θから 0 < r^2 ≤ 2 ね
そして cos 2θ > 0 なので
0 ≤ θ < π/4 または 3π/4 < θ < 5π/4 または 7π/4 < θ < 2π ね
さて、x = r cosθ だから
r^4 = 2r^2 cos2θ = 2r^2(2cos^2θ -1) = 4x^2 - 2r^2
したがって x^2 = (1/4)r^4 + (1/2)r^2 で
これは r^2 = 2 のとき最大値 2 をとるわ
xの最大値は √2 で、r = √2から、y = 0、つまり w = √2, θ = 0 の時
（xの最小値は -√2 で、r = √2から、y = 0、つまり w = -√2, θ = π の時）
また y = r sinθ だから
r^4 = 2r^2 cos2θ = 2r^2(1 - 2sin^2) = 2r^2 - 4y^2
したがって y^2 = -(1/4)r^4 + (1/2)r^2 = -(1/4)(r^2 - 1)^2 + 1/4 で
これは r^2 = 1 のとき最大値 1/4 をとるわ
yの最大値は 1/2 で、r = 1から、x = ±√{1^2-(1/2)^2} = ±√3/2
つまり w = √3/2 + (1/2)i, θ = π/6 または w = -√3/2 + (1/2)i, θ = 5π/6 の時
（yの最小値は -1/2 で、r = 1から、x = ±√{1^2-(-1/2)^2} = ±√3/2
　つまり w = √3/2 - (1/2)i, θ = 11π/6 または w = -√3/2 - (1/2)i, θ = 7π/6 の時）

偏角が 0 ≤ θ < π/4, 3π/4 < θ < 5π/4, 7π/4 < θ < 2π の範囲で動いて
θがπ/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4に近づく時は r^2 = 2cos2θだから r は 0 に近づく
r = 0 で原点を通る
あと上で調べた最大値最小値のポイントを通るように描いていくと ∞ みたいになるかしら
こんな適当な解き方でいいのかしら？

微分とかするのかしら、とも思ったけど
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 + 2y^2 = 0
みたいな陰関数っていうの？を微分する方法アタシ分からないわ
と思ってWiki見てたら、2変数のものは陰伏曲線というらしくて、この問題の例が出てたわ！
カッシーニの卵形線（これはその特殊な場合でレムニスケート）ていうらしいわね
ところでWikiに陰伏の読み方が「いんふく」って書いてあるんだけど「いんぷく」よね？？
0446陽気な名無しさん2023/12/13(水) 17:51:38.10ID:V9XS6v6M0
>>442
見直したら、アタシがやったテキストにあるペアノの公理も、0から始まっていたわ。
でもよくわからない、というかこの著者何を考えているのかしら、と思うのが、
同じ著者、同じシリーズのテキストで、一方は自然数に０を入れていて、
もう一方は自然数に0を入れていないのよ。

具体的に言うわ。松坂和夫という先生の、岩波書店のシリーズで、
集合・位相入門という本では、自然数には0は入れていないの。
P.3に、「自然数全体の集合ℕは　{1,2,3,4,・・・,n,・・・}　と表わされる.」とあるわ。
でも同じ松坂和夫先生の、岩波書店のシリーズの、代数系入門には
やっぱりP.3に、「正の整数と０とを合わせて自然数とよび、」とあって、
巻末にペアノの公理の説明があって、そこでも０が入っているの。
松坂先生にとっての自然数の解釈はどっちなのかしら？
それに、wikiの自然数の項には
>19世紀、自然数の集合論的な定義がなされた。この定義によれば零を自然数に含める方がより便利である。
>集合論、論理学などの分野ではこの流儀に従うことが多い一方、
>数論などの分野では 0 を自然数には含めない流儀が好まれることが多い。
とあるから、異なる定義をするなら逆じゃないの？
集合・位相入門の方０入れて、代数系入門の方０入れないべきじゃないのじゃないの？
松坂先生が何を考えているのかわからないわ。

ピダハン族の話は面白いわね。動画も拝見したわ。
数の広がった順は、
①まず３まで
②指を見て５，１０，２０まで
③指の本数を一つのまとまりとしてさらに大きな自然数まで
②か③くらいまでは原始時代にすでにあったものだと思うわ。
その後628年にインドで
④０の発明
といった感じではないかしら。
自然数に対するアタシの感覚は、この順のどこまでの過程を自然数に含めるか、
という感覚で考えていることが改めて分かった気がするわ。
原始時代にすでにあったものを「自然」数と呼ぶのが妥当だと思うから、
アタシは自然数に０を入れない派なんだわ。
あなたのトリック実演の話では、「無い」ということに関して驚くか驚かないか、
というこに関する話だと思うけど、
「無い」という概念があることと、「無い」ことを「０」という数の概念として持っていることは、
別ではないかしら。

まあアタシとしては、個人的には自然数には０は含めないけど、含めると考える人もいるし、
どちらが正しくてどちらが間違っているということではないと思うわ。
コミュニケーションや著作等においては、０を含めようが含めまいが全く支障ないならば、
特に自然数に０を含めるかどうか前置きしなくても構わないけど、
必要がある場合は、どちらの立場で自然数という言葉を使うかを前置きする、
又は自然数という言葉を使わず、非負整数、正整数などの言葉を使えばいいと思うわ。
0447陽気な名無しさん2023/12/13(水) 17:52:04.57ID:V9XS6v6M0
>>443
このほとんどはアタシは個人的にあまり興味がないわ。
ただ最後のところ、数学書の原著と日本語訳についてはアタシも覚えがあるわ。
個人的に英語のテキスト使っていた時があって、でもアタシ英語苦手だから苦労して、
ふと日本語訳版の本があることに気づいて入手したの。
でもその時は「数学の勉強＝英語本の翻訳作業」みたいになっていたから、
日本語版の本は自分で訳したのとの比較参考に使っていたの。
そうしたら日本語版も、英語版も、それぞれにめちゃくちゃなところがたくさんあって笑ったわ。
でも突き合せたおかげで、著者が言いたいことがわかったわ。一冊だけならわからなかったかもしれない。
著者はフランス人だから多分原著はフランス語なんでしょ。
それで英語版に訳した時も誤訳やミスプリがいっぱいあって、
日本語版はたぶんフランス語版の原著から訳したのね（英語版と全然違ったりしてたから）、
それも誤訳やミスプリがあって、それで突き合わせるとめちゃくちゃになっていたんだと思うわ。
最近の翻訳ではそういうことはたぶん少なくなってきてはいると思うけど、
それでもやっぱり数学の勉強は出来れば原著で、
それが出来なければ複数の翻訳版を突き合せないと結構信用できなかったりするわ。
0448陽気な名無しさん2023/12/13(水) 17:56:09.48ID:V9XS6v6M0
>>445
>>373 のリンク先、もう見れなくなっているわ。
どんな問題だったかしら。
さほど難しくない問題だったような記憶がおぼろげに、状態だわ。
0449Usagi2023/12/14(木) 20:38:00.49ID:rfcoGIyP0
>>446
>同じ著者、同じシリーズのテキストで、一方は自然数に０を入れていて、
>もう一方は自然数に0を入れていないのよ。
あら、それは不思議ね。けっこうテキトーなのかしら。
アタシはそれらの本は持ってないけれど、松坂和夫先生著の「数学読本」っていう
中高生向けのシリーズの最初の１巻くらいを中学の時に読んだ気がするわ。
内容がしっかりしていて、ちゃんと勉強したら中高の数学がばっちりになりそうな雰囲気の本だったわ。
おそらくだけど、その「集合・位相入門」の本では
自然数を集合として定義していないんじゃないかしら。
アタシの理解では、自然数を例えば>>439みたいに集合として定義するなら0から始めるのがほぼ必然となるけれど
自然数を他のもので定義されない原始的な存在として扱うなら
0から始まっていなくても別に困らないんだと思うわ。
集合論や論理学で自然数が0を含むことが多いのは、
単に自然数を集合で定義することの結果にすぎないと思うわ。
アタシは逆にWikiの「数論では0を入れない方が好まれる」っていうのが
単なる伝統なのかそれとも数学的な理由があるのかが気になるわね。

>>447
スレチで他の人たちが興味ないこといっぱい書いちゃってごめんなさいね。
Pirahãの話題を出したかったけど
誤った呼称が広まるのをアタシが手伝うことになるのが嫌だったからw
説明書いてたら例によって長くなっちゃったの。

あなたの読んでた本がどうだったのかはわからないけれど
一般的にはフランス語→英語の翻訳だと言語構造が近いから、誤訳ってそんなに起きないと思うのよね。
ほぼ単語変換で意味が通じることが多そうだし。
だから英語版がおかしいなら、フランス語の原著がすでにおかしかった可能性もあったかもしれないわね。
やはりヨーロッパ語→日本語みたいに、全然似てない言語間の翻訳の場合の方が
誤訳が生じる可能性は圧倒的に高いと思うわ。
それに、例えば日本語話者が仏語に熟達するのは
英語話者が仏語に熟達するより遥かに難しいから
きちんとした翻訳をできる人の絶対数って
言語の組み合わせごとにかなり違うと思うのよね。

でも翻訳書の方が、原著の誤りまで訂正していて
原著よりもむしろ良いとかもたまにあるらしいから
翻訳書の出来って、ほんと翻訳者次第で天と地なんだと思うわ。
0450Usagi2023/12/14(木) 20:40:21.80ID:rfcoGIyP0
>>448
あら消えちゃったのね。こういう問題だったの↓

複素数 z, w は z^2 + w^2 = 1 を満たすとする。

(1) z ≠ 0 であり, z の偏角をαとするとき,
z は 0 < α < π/4 を満たして動くとする。
w がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

(2) z は |z| = 1 を満たして動くとする。
w の実部, 虚部のとりうる値の最大値をそれぞれ求めよ。
また, w がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
0451陽気な名無しさん2023/12/19(火) 11:16:53.12ID:9V4IuOIs0
>>449
「数論では0を入れない方が好まれる」というのは、
例えば幾つかの（正の）自然数の最小公倍数を考える時、
自然数に０が入っていたら最小公倍数は常に０になるじゃない。
数論だと最小公倍数や最大公約数なんかをよく考えるから、
そういう時に自然数に０が入っていると邪魔なんだと思うわ。
０が入っていなくても、そういう時に特に支障を来すこともないし。
だからではないかしら。

翻訳については、フランス語→英語では、言語的な誤訳というより、
記号や添え字などのミスプリ？転写ミス？みたいのがやたらあったわ。
英語版はGTMっていう、やたら沢山数学書を出しているシリーズなんだけど、
やたら沢山出している分やっつけ仕事的な部分も多少あったのかもしれないわね。
原著の誤りまで訂正している優れた翻訳書は、日本語訳に多い印象だわ。
少しの事例しか見ていないのだけれど。

>>450
ありがとう。
見た感じ解答は>>445 でよさそうね。
陰伏曲線という言葉は初めて聞いたわ。陰関数ならよく聞いたけど。
要するに陰関数のグラフのことよね。
とりあえず陰伏曲線のwikiに接線の方程式が出てたけど、
xの最大値を求めたいときは、接線の傾きが無限大（分母F_yが０）の時、
yの最大値を求めたいときは、接線の傾きが０（分子F_xが０）の時を考えればいいんでしょ。

アタシも解析は苦手だったから詳しくはわからないんだけど、
とりあえず偏微分F_xは、yを定数とみなしてxの関数として微分する、
偏微分F_yは、xを定数とみなしてyの関数として微分する、
で良かったと記憶しているわ。

これで計算すると
F_yが０の時は、F_y=4x^2y+4y^3+4y=0つまりy(x^2+y^2+1)=0で、
これを満たすのはy=0のときのみ。
このときx^2(x^2-2)=0だからx=0またはx=±√２となり、xの最大値√２，最小値-√2がわかるわ。
F_xが０の時は、F_x=4x^3+4y^2x-4x=0 つまりx(x^2+y^2-1)=0で、
これを満たすのはx=0またはx^2+y^2=1のとき。
ここから最初の4次式と連立させて解くんだろうけど面倒だし、
とりあえずレムニスケートと単位円の交点であることがわかって、
うさぎの解答もこの条件を満たしているからうさぎの解答と同じ結果になるんだと思うわ。
0452Usagi2023/12/24(日) 02:02:20.42ID:+4htNgis0
>>451
>数論だと最小公倍数や最大公約数なんかをよく考えるから、
>そういう時に自然数に０が入っていると邪魔なんだと思うわ。
なるほど～
小中学校で習うことって数の計算が主だから、それを考慮すると自然数に0を含まないと習うのも納得だわ。
あなたのレスを読んで、以前、順序集合についての本で読んだことを思い出したわ。
非負整数の集合に
　m ≼ n ⟺ km = n となる非負整数kが存在する
で二項関係 ≼ を定義すると、これは半順序になるわ。
任意の元 a, b に対して sup{a, b} と inf{a, b} が存在する半順序集合を束というわ。
上の例では sup{a, b} = lcm{a, b} そして inf{a, b} = gcd{a, b} となるから、これは束なの。
束の最大元や最小元がある時、それぞれをoneとzeroと呼ぶんだけど
するとこの例ではなんと、oneが0で、zeroが1となるの！

>記号や添え字などのミスプリ？転写ミス？みたいのがやたらあったわ。
それは誰でもチェックできる単純ミスだから酷すぎるわね！
GTMのSpringerは数学系に関しては一番信頼できる出版社だと勝手に思ってたから驚いたわ。

微分使ったやり方教えてくれてありがとう。
なるほどうまく計算できるのね。
Wikiも見たけどアタシ解析関係も勉強不足だから
なぜ接線の傾きが -F_x/F_y となるのか分からないので消化不良だけど…
0453陽気な名無しさん2023/12/30(土) 11:34:41.16ID:FhKxFjlC0
最後の書き込みから一週間近くなってくると、
このスレ落ちないかしら、って心配になってくるわね。

supとかinfとかって、上限下限の意味だったと思うけど、
上限下限って概念、勝手に全順序集合でのイメージでわかった気になっていたわ。
束ってググってみてやっとわかったけど、こんな概念あったのね。知らなかったわ。
って、集合・位相のテキスト見返してみたら、
上限下限は集合の部分に説明があったけど、
「完備束」とかいうものの説明が位相の方にあったわ。
それであとがきで完備束より緩い概念で束ってのがあるけど、
これの説明をすると集合・位相の入門書の範囲を超えるから、とか何とか。
アタシ集合の方はちゃんと読んだけど、位相の方は読んでなかったのよね。
いろいろしらべてうさぎの出した例がやっと違和感なく思えるようになったけど、「
>するとこの例ではなんと、oneが0で、zeroが1となるの！
こんなことが起こらないように（なのかな？）、テキストの例では、
集合｛２，３，４，５，・・・｝に対してうさぎの定義した順序を入れてたわ。

>Springerは数学系に関しては一番信頼できる
これはたぶんその通りだと思うんだけど、
それは数学書の大部分が英語で執筆されているからではないかしら。
Springerではないけど、洋書の日本語訳て結構丁寧なものが多い、
何なら原著にないことまで説明してくれていたりするイメージがあるわ。
だからラクに勉強しようと思ったら、日本語訳を読んで、
よくわからないところだけ英語版や、読めるなら原著を読むのが多分ラクよね。
勉強の範囲を超えて研究のレベルになったら原著でないと、ってことになるだろうけど。

>なぜ接線の傾きが -F_x/F_y となるのか
これについて、「うさぎでもわかる解析」とかいうシリーズがネット上にあったわ。
https://www.momoyama-usagi.com/entry/math-analysis18
このページがPart18　偏微分を用いた陰関数微分・陰関数定理ってなていて、
ちょうど問題となっている、正にその内容だと思うけど、
これの説明がちょっと形式的で、やっぱり不完全燃焼だわ。
だって例題、解説として載っているのが、変数分離タイプで、
xの式とyの式の積になっているような項があったらどうすんのよ、と思ったけど、
適当な例を考えて積の微分法で（高校で習った解き方）でやってみたら、
やっぱり-F_x/F_y になって、一応疑問は解消したわ。
うさぎ、あなた「うさぎでもわかるシリーズ」なんてあるのって、単なる偶然かしら？
かなり面白い偶然ね。
0454Usagi2023/12/31(日) 13:15:56.42ID:inxPlQ/W0
アタシが出した例がWikipediaにあったわ
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Infinite_lattice_of_divisors.svg/1280px-Infinite_lattice_of_divisors.svg.png
こういうのハッセ図っていうんだけど視覚的でとてもわかりやすいのよね

束では、任意の2つの要素からなる集合が上限と下限を持つことが保証されているけれど
このことから帰納法を使えば任意の有限集合が上限と下限を持つことが示せるわ
けれど、無限集合に対しても上限や下限が存在する保証はないのよ
有限集合だけじゃなく任意の無限集合も上限と下限を持つことが保証されているのが完備束よ

ふつう数学で上限・下限が初登場するのは実数の集合の話だと思うけど
実数の間の大小関係は全順序であって
全順序集合では、有限集合の上限と下限が単にその集合の最大限と最小限になるから
上限・下限の意味がかえって理解しにくいの
全順序集合で上限・下限が最大限・最小限と異なる場合を考えるには
無限集合を考える必要があって、
これが実数の集合の場合に考えられるのは実数の集合が完備束だからなのよね
そういうわけで一般的な数学のカリキュラムって
基本概念である有限集合の上限・下限の意義がいまいち納得できない状態で
無限集合の上限・下限のことを考えさせられることになるから
とても理不尽で理解しにくいと思うのよ
上限・下限の意義は半順序集合で考えてこそ理解できるものだと思うわ
その特殊な場合として全順序集合の場合があるだけだから

でもWikipediaにorder theoryの日本語版のページもないくらいだから
順序集合の理論って相当人気ないみたいよねw
アタシもともとこれを勉強してたら例として正規部分群が出てきて
それであなたに正規部分群のことを聞いたのが去年(2022年)だったのよ
具体的にいうと、ある群Gの正規部分群全体のつくる集合は
集合の包含関係⊆によって半順序集合となるけど
実はこれは束になっていて、Gの任意の正規部分群H, K に対して
sup{H, K} = { hk | h ∈ H かつ k ∈ K }
inf{H, K} = H ∩ K
となるわ（これらが正規部分群であることは簡単に確認できるわ）

群Gの部分群全体のつくる集合に⊆を入れたものも束になるけど、その場合は
sup{H, K} = (H ∪ K が生成するGの部分群)
inf{H, K} = H ∩ K
となるわ
アタシ去年は位数12以下の群に対して
その部分群がつくる束をハッセ図に描いて楽しんでたのよw
この子はどんなハッセ図になるのかしらってワクワクしながらやってたわ
0455Usagi2024/01/01(月) 01:44:10.85ID:AIEEN8X10
あけおめ！

束と完備束の間の概念としてσ完備束 (σ-complete lattice) っていうのもあるわ
これは任意の可算集合が上限と下限を持つ束のことよ
つまり非可算集合に対しては上限や下限が存在する保証がないってことね

測度論で可測空間って出てくるじゃない？
可測空間の定義や用語ってちょっとわかりにくことになっていると思うんだけど
英語だとある集合Xとその上のσ-algebraのペアとして定義していることが多いと思うの
σ-algebraのalgebraというのは、実はBoolean algebra（ブール代数 = ブール束）の意味なの
X上のσ-algebraは、Xの冪集合の部分集合で、Xを元に持ち、補集合をとる演算と
可算個の集合に対して和集合や共通部分をとる演算について閉じているものになるわ
和集合が上限、共通部分が下限になるから、これはσ完備束なの

別の流儀だと可測空間は集合Xとその上のσ-ringのペアとして定義されるんだけど
σ-ringはXを元として持つことを要求されないところがσ-algebraとの違いらしいわ

で、どうやらσ-completeのσはこのσ-ring、σ-algebraから来ているみたいで
これはFσ集合のσと同じでフランス語の somme（和）を表していて、
σ-ring、σ-algebraが可算個の集合の和集合をとる演算について閉じている、
ということから来ているらしいわ

またわけわからん長文書いちゃったけど
シグマの由来が気になって調べたことの備忘録だから気にしないでw

ネットで調べてみると日本語では可測空間がXとX上の「完全加法族」のペアとして
定義されていることが結構あるみたいね。
「完全加法族」は completely additive class の訳らしいんだけど
これはどうやら σ-ring の（おそらく古くさくてマイナーな）別名みたいよ
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Additive_class_of_sets
個人的には適切な用語とは思えないわね
「完全」じゃ「可算」までの話だってことがわからないし
加法性も、この集合族自体の話ではなく、それに対して定義される測度の話だと思うから


「うさぎでもわかるシリーズ」、実はアタシもちょっと前に偶然見つけて
一瞬「え、アタシ煽られてる？！」って衝撃受けたんだけど
よく考えたらそんなわけないのよねw
見たけどやっぱり証明がよくわからないわ
陰関数定理でググるとヤコビアンがどうのとか出てきて
アタシそこまで勉強してないから、ちゃんと勉強しなきゃと思ったわ
この用語も衒学的なアテクシは気になったから調べてみたんだけど
Jacobian matrixの訳語でヤコビ行列とも言うみたいね
Jacobiはドイツ人だから「ヤコビ行例」は良いけど、
Jacobian は英語の形容詞だから、そんなに英語使いたいならジャコウビアンって言ってほしいわね
ドイツ語ではJacobischeらしいからヤコビッシェって言うならわかるけどw

話変わるけどPINKになってから同サロではスレが落ちなくなったみたいよね
0456Usagi2024/01/01(月) 22:27:31.35ID:AIEEN8X10
大地震起きたけどみなさんご無事かしら
アタシは関東だから影響なくて済んだわ

恥ずかしながら>>454でさらっと大嘘書いてたことに気づいたから訂正するわ
実数の集合は完備束じゃなかったわ
例えば上に有界でない実数の集合にはもちろん上限がないものね
有界な閉集合の任意の部分集合はその閉集合の中に上限や下限があるわよね？
だからこれは完備束
こういうのコンパクトとか言うんでしたかしら？
ここらへんもアタシちゃんと勉強できてないから勉強しなくちゃだわ
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
ニューススポーツなんでも実況