でももう二度としないわよ
アタシが理解した問題を書き直してみるとこうよ↓
（こういうふうに書かれていたら文句言わなかったわ）
ℤ[X]で整数係数のXの多項式の集合を表し、ℤ1[X] = { f(X) ∈ ℤ[X] | fの最高次係数が1 } とする。
P(X) ∈ ℤ1[X] かつ f(X) ∈ ℤ[X]とする。
このとき、ある F(X) ∈ ℤ1[X] があって F(f(X))/P(X) ∈ ℤ[X] となることを示せ。
解答
P(X)が0次式の場合 P(X) = 1 だから、これは明らかに成立するわ。
だからP(X)がn次式として、n ≥ 1 の場合を考えるわ。
P(X)のn個の根をα_1, …, α_n とすると、 P(X) ∈ ℤ1[X] だから
根と係数の関係からα_1, …, α_n を変数とする基本対称式はすべて整数となるわ。
F(X) = (X - f(α_1)) … (X - f(α_n))
とおくと、これを展開した時の各 X^i の係数は f(α_1), …, f(α_n) を変数とする基本対称式かその -1倍になるけれど、
それぞれをα_1, …, α_n を変数とする式として展開した時の各項の係数は、f(X) ∈ ℤ[X] だから、整数になるわ。
そして、これらはα_1, …, α_n の任意の置換に対して不変だから
対称式の基本定理からα_1, …, α_n の基本対称式を変数とする整数係数の多項式で表せるわ。
以上からF(X)の係数は整数となって、したがって F(X) ∈ ℤ1[X] となるわ。
さて、P(X) が (X-α)^m を因数に持つとすると、
F(f(X)) = (f(X) - f(α))^m × (Xの多項式) だから F(f(α)) = 0、
そして m ≥ 2 なら任意の k < m について
F(f(X))のk階微分 (d/dX)^k F(f(X)) は (f(X) - f(α)) を因数に持つから X = α で値0を取るわ。
このことから F(f(X)) は (X-α)^m で割り切れ、したがってP(X)で割り切れるの。
F(f(X)) ∈ ℤ[X]であって、P(X) の最高次係数が1だから、割り算のやり方を考えれば
商の係数が全て整数となることがわかるから F(f(X))/P(X) ∈ ℤ[X] となるわ。