>鈍角の「ピタゴラス角の補角」があるタイプでも全て有理数の内接多角形が出来て、
>それも全てピタゴラス角のタイプに含めるのよね？
そうね。というか、角の合計がπだから、鈍角は現れるとしてもひとつだけよね？
だからその場合、それ以外の鋭角をθ_iとしてとっていけば、最後に残ったφ_{n−1}がその鈍角になるわ。
だからθ_iを選んでいくときは、あくまでピタゴラスの三角形に現れる内角だけをとっていけば良いのよ。
そして、sinの倍角の式を見て気づいたの。
sin2θ= 2sinθcosθ
sin3θ= 3sinθ−4sin^3θ
sin4θ= 4sinθcosθ−8sin^3θcosθ
sin5θ= 16sin^5θ−20sin^3θ+5sinθ
sin6θ= 32sin^5θcosθ−32sin^3θcosθ+6sinθcosθ
どうやら、奇数倍角の式はsinθの整式になって、偶数倍角の式は (sinθの整式)×cosθ になるみたいなの。
そうならば、次にことが分かるわ。
n角形を作るとき、θ_1, …, θ_{n−1}の n−1個の中心角を選ぶわけだけど、これをすべて同じ角度θにするわ。
この時θ< π/(n−1) であって sinθが有理数であるものを選ぶの。
すると、最後に残るφ_{n−1} について
sinφ_{n−1} = sin(π−(n−1)θ) = sin (n−1)θ
となるわ。
nが偶数なら、n−1は奇数だから、sinφ_{n−1} はsinθの整式で表せて、sinθが有理数だから
（cosθが無理数でも関係なく）φ_{n−1} も有理数になるのよ。
だから偶数角形の場合、この方法でいくらでも新しい例が作れるわ！
正六角形やその半分の四角形は、θ=π/6のケースだったのよ。
一方、nが奇数なら、sinφ_{n−1} は 有理数×cosθになるから、cosθが有理数でないとダメなの。
cosθが有理数の場合は、ピタゴラスの角度の場合だから、新しい例は何も増えないわ。