レスありがとう。
ℤ[X]/(P)という記法がそもそもわからなかったから、ちょっと調べてみたんだけど
まず (P) はPによって生成されるイデアルで、Pの倍数の集合、つまり
(P) = { gP | g ∈ ℤ[X] } ということよね？
ℤ[X]/(P)はℤ[X]を(P)で割ってできる剰余環、つまり
ℤ[X]の要素の中で、その差が(P)の要素であるものを同一視して得られる環ってことよね？
アタシまだ環論勉強できていないから色々おかしなこと書いてたらごめんなさいね。
でもそうなら>>365は確かに>>354の書き換えなんだと思うわ。
Wikipediaの定義の可換環Bにあたるのが、この場合ℤ[X]/(P)でしょ。
f ∈ ℤ[X] に対して、ℤ[X]/(P)の要素である同値類でfが属するものを [f] と書くことにすると
[f] = { f + g | g ∈ (P) } よね？
F(f)がPで割り切れる、つまり F(f) ≡ 0 (mod P) なら、F([f]) = [0] となるから
ℤ[X]/(P)で考えると、F(Y) = 0 というℤ係数モニック方程式の根が Y = [f] であるということでしょう。
ただし、厳密にはℤ自体はℤ[X]/(P)の部分環じゃなくて、Wikipediaの定義の部分環Aにあたるのは
{ [z] | z ∈ ℤ } になるんじゃないかしら？ でもこの集合をℤと同一視してℤと呼んでいいなら
任意の [f] ∈ ℤ[X]/(P) がℤ上整、つまり ℤ[X]/(P) はℤ上整、と言えるんじゃないかしら。
でもあなたはもしかして違う話をしているの？ それとも実は同じなの？
>ℤ[X]/(P)ってℚ[X]/(P)つまり、ℚにPの根を添加した体の部分環でしょ。
ここがよくわからないわ。Wikipediaの「剰余環」を読むと、確かに
「剰余環は体の拡大を構成する」と書かれていて、例えば剰余環ℝ[X]/(X^2+1)は複素数体ℂと同型、とあるわ。
アタシなりの理解では、X^2+1 = 0 の根のどちらか、例えばiをXで表すことにすれば
ℂとℝ[X]/(X^2+1)の間に a + bi ↔︎ [a + bX] という同型対応が作れるってことかしら？
一般に体Kに対して、K/(P)はKにPの根を添加した体と同型になるの？
上の例みたいに Pが2次式で P(X) = X^2 - cX + d なら、その根のひとつをXで表せば
もうひとつは根と係数の関係から c-X と表せるから、このことが言えそうなのはわかるけれど
Pが3次以上でも同様のことが言えるのか、未勉強のアタシにはわからないわ。
もうひとつ気になった点は、ℚ[X]/(P)がℚにPの根を添加した体であると書かれているけれど
ℚ[X]/(P)は、ℚにPの根を添加した体に同型なだけで、イコールではないのよね？
上の例だとℂとℝ[X]/(X^2+1)は同型だけど ℂ = ℝ[X]/(X^2+1) ではないのよね？
「ℚにPの根を添加した体の部分環」というのは、数の集合よね。
一方、ℤ[X]/(P) はXの多項式の集合の集合よね。
>ℤ[X]/(P)ってℚ[X]/(P)つまり、ℚにPの根を添加した体の部分環でしょ。
この言い方は、これらを同型対応を通して同一視しているの？
そしてそうだとすると、「ℤ上整なのは当たり前」なの？
>>365は>>354の単なる書き換えだから、365が当たり前ということは
アタシが>>359で証明したことは証明するまでもなかったってことになるわ。
当たり前というのは勘違い？ それとももっと深い意味で当たり前なの？
ああっ、もういろいろわかんない！
ごめんなさい、狂ったように書き散らしてしまって…