いろいろ補足ありがとう。
> [z] (∀z ∈ ℤ) は z と異なるあらゆる z' ∈ ℤに対して [z'] とは同じ剰余類にはなりえないでしょ。
これはわかってたんだけど、{ [z] | z ∈ ℤ } と ℤ は同型なだけで、厳密には異なるものでしょ？
前者は多項式の同値類（つまり多項式の集合）の集合で、後者は数の集合だもの。
代数では、同型なものを = としちゃうのが一般的な習慣なの？
なんか気持ち悪く感じちゃうんだけど…
>> >>365は>>354の単なる書き換えだから、365が当たり前ということは
>アタシが>>359で証明したことは証明するまでもなかったってことになるわ。
>これは言えてるのではないかしら。
えーと、任意の ℤ[X]/(P) の元fは ℚ[X]/(P) の元でもあり
つまりℚにPの根を添加した体の要素であるってことよね？
でもこのことからfがℤ係数のモニック多項式の根と言えるのかしら？
もちろんfがPの根の場合は、それはℤ係数のモニック多項式の根だけど
例えば f = 1/2 なら、これはℤ係数のモニック多項式の根じゃないんじゃないの？
あとこれって、あなたが、Pが既約だと思い込んでいて
その結果ℚ[X]/(P)をℚにPの根を添加した体だと思ったから言ったことなのよね？
そうでない場合は、別の議論が必要なんじゃないのかしら？
>これはPがK上代数的な元の最少多項式なら成り立ったと記憶しているわ。
>もしそうならならPの一つの根をαとすれば、１，α，・・・，α^(degP-1)
>を基底とするK上 degP 次の拡大体になったはず。
これはとても興味深いわ。じゃあK上既約なn(>1)次方程式の根のひとつをαとすると
残りのn-1個の根はすべてαのK上の(n-1)次以下の式で表すことができるのね？
いずれにせよ、このこと自体が当たり前とは言えないレベルの話だから
Pが既約な時あなたの議論が正しいとしても>>354が当たり前と言っていいのか微妙な気がするけど…