>>385
>同型なだけで、厳密には異なるものでしょ？
これね、その疑問はよくわかるわ。
代数で同型なものっていろいろあるけど、
いろいろ証明して同型だ、って判明するものもあれば、
自然に同一視できる自明な同型（canonicalな同型とかいうわね）
もあって、自明な同型は場合によて同一視することもあるのよ。
同一視した方が便利だったり理論がわかりやすくすっきりすることもあるし。
例えば線形代数の「双対空間」って知ってるかしら。
双対空間の双対空間は、最初の空間に同型になるんだけど、
これは自然な同型になるから普通同一視するわ。
今回の場合、{ [z] | z ∈ ℤ } と ℤ は自然な同型でしょ。
同一視して差し支えない例だと思うわ。

>> >>365は>>354の単なる書き換えだから、365が当たり前ということは
>アタシが>>359で証明したことは証明するまでもなかったってことになるわ。
>これは言えてるのではないかしら。
これに関しては、あなた >>377 で
> でもこの集合をℤと同一視してℤと呼んでいいなら
>任意の [f] ∈ ℤ[X]/(P) がℤ上整、つまり ℤ[X]/(P) はℤ上整、と言えるんじゃないかしら。
って言ってたでしょ。その通りだと思うし、
上記の自然な同型でこの話は終わっていると思うわ。
体の部分環とかいう話はここでは必要ないと思うわ。

>これはPがK上代数的な元の最少多項式なら成り立ったと記憶しているわ。
>もしそうならならPの一つの根をαとすれば、１，α，・・・，α^(degP-1)
>を基底とするK上 degP 次の拡大体になったはず。
これはね、K上既約なn(>1)次方程式の根のひとつをαとして、
他の根の一つをβとしたときに、K(α)とK(β)は同型なのは間違いないのだけれど、
同一になるとは限らないのよね。
だから、
>K上既約なn(>1)次方程式の根のひとつをαとすると
>残りのn-1個の根はすべてαのK上の(n-1)次以下の式で表すことができるのね？
これは成り立たないわ。
例えばℚ上で考えるとして２の4乗根の最少多項式は x^4-2 になるけど、
これの4っつの解は ±(２の4乗根), ±(２の4乗根)i になるわよね。
ℚ（２の4乗根）＝ℚ（ー２の4乗根）ではあるけれど
ℚ（２の4乗根）≠ ℚ（(２の4乗根)i ）よ。
（上は実数体ℝの部分体だけど下は違う）だから、
この場合、ℚ（２の4乗根）はℚ上４次だけど、最少多項式 x^4-2
の根全てを添加した体（ℚ上の x^4-2 の分解体って言うんだけれど）
ℚ(２の4乗根, i) はℚ（２の4乗根）上２次、
ℚ上だと８次の体になるわ。
ちなみに余談だけど分解体の、元の体上の自己同型群を考えた時、
その部分群たちの一つ一つとその分解体の中間体の一つ一つが、
その部分群による固定体（その部分群によって移り合わない元全体からなる体）
という関係で完全に１：１対応する
（部分群の指数と体の拡大次数の関係も完全に一致する）
というのが体のガロア理論よ