>>1
線分OPの長さが有理数tであると仮定して矛盾を出すわ。
2r^2 + 3s^2 = t^2
となるけど、r, s, t を分数で表した分母の最小公倍数の２乗を両辺にかけると、ある整数R, S, Tがあって
2R^2 + 3S^2 = T^2
になるわ。R, S, Tの最大公約数の２乗で両辺を割ると、互いに素な整数x, y, zがあって
2x^2 + 3y^2 = z^2
になるわ。
もしxが3で割り切れると、左辺は3で割り切れるから、右辺のzも3で割り切れることになって
右辺が3^2 = 9で割り切れることになるから、yも3で割り切れなければいけないけど
これはx, y, zが互いに素であることに反するから、xは3で割り切れない。
したがって x ≡ 1, 2, 4, 5 (mod 6)。x^2 ≡ 1, 4 (mod 6) なので 2x^2 ≡ 2 (mod 6)。
同様にyは2で割り切れないから y ≡ 1, 3, 5 (mod 6)。y^2 ≡ 1, 3 (mod 6) なので 3y^2 ≡ 3 (mod 6)。
したがって z^2 = 2x^2 + 3y^2 ≡ 2 + 3 ≡ 5 (mod 6) となるが、２乗がmod 6で5になる整数はないからこれは矛盾。