>>うさぎ
とりあえず時間みつけて読み返してみたわ。
まず分かったのは、アタシは>>377 を勘違いしていたわ。
うさぎはこの一段目でで、>>365 と>>354 が書き換えであることを示しただけだったのね。
てっきり、365を証明しようとしていて、{ [z] | z ∈ ℤ }がℤと同一視できるかどうかが
証明の障壁になってるものだと勘違いしたのよ。
だから>>379 では同一視できることを説明して、それでOKだと思い込んでいたの。
アタシがきちんと読んでいなかったようだわ。ごめんなさいね。

それで、>>385 の2段目の
>例えば f = 1/2 なら、
これは
>ℤ[X]/(P) の元f
の仮定に反するわよね。
もしℚ[X]/(P)が体ならば既約でモニックであるPの根αを添加したものだから、
ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
それで、モニックの根となる数のことを代数的整数って言うんだけど、
代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数であることが知られているの。
このことのきちんとした証明は、代数的数（有理数係数の多項式の根）が
加減乗除で閉じていることの証明と同じようにするのだけれど、
詳しくは、例えば高木貞治先生の「代数的整数論」なんかにきちんと載っているわ。
だからℚ[X]/(P)が体ならばℤ[X]/(P)はℤ上整であることが言えるわ。

でも、
>あとこれって、あなたが、Pが既約だと思い込んでいて
その結果ℚ[X]/(P)をℚにPの根を添加した体だと思ったから言ったことなのよね？
そうでない場合は、別の議論が必要なんじゃないのかしら？
これは全くその通りだわ。
Pが既約でない時の、環論的な証明は今のところ思い浮かばないから、
やっぱりその場合は>>359 がわかりやすいと思うわ。
そもそも個人的に整域でない環は扱うの苦手だわ。