アタシが分からないのは↓なの。
（☆） ℤ[X]/(P)はℚ[X]/(P)の部分環だからℤ上整である
なぜ f = 1/2 という例を出したかというと、はじめに（☆）を見た時、
（★） ℚ[X]/(P)はℤ上整であり、ℤ[X]/(P) ⊆ ℚ[X]/(P) なのでℤ[X]/(P)はℤ上整である
と言いたいのかと思ったのよ。 1/2 ∈ ℚ だから 1/2 ∈ ℚ[X]/(P) よね？
けれど 1/2 はℤ上整でないからℚ[X]/(P)はℤ上整ではないので、（★）は間違っているわよね。
じゃあ（★）の意味でないのなら、（☆）はどういう根拠なのかしら、とききたかったの。
>ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
↑はOKよ。でも↑と↓がどう関係があるのか、分からないわ。
>代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数であることが知られているの。
これはℤ上整なもの同士で加法減法乗法してできるものは、ℤ上整という意味よね？
でもそこからなぜ↓が結論されるのかアタシには理解できないわ。
>だからℚ[X]/(P)が体ならばℤ[X]/(P)はℤ上整であることが言えるわ。
f∈ℤ[X]/(P) が整数係数のαのn-1次以下の式で表されるのはいいんだけれど、
今示したいことって、そういうfがℤ上整、つまり整数係数のモニックの根であることよね？
Pの根をα_1, …, α_nとして、fがn-1次以下の整数係数のgを用いて f = g(α_1) と表されるとして
fがℤ上整であることを示すには、例えば (X-g(α_1)) … (X-g(α_n)) が整数係数になるとか
そういうことを言わなければいけないんじゃないのかしら？