>>411
とりあえず（★）は間違っているわ。
>じゃあ（★）の意味でないのなら、（☆）はどういう根拠なのかしら、とききたかった
これを説明すればいいのね。そのためには
>代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数であることが知られている・・・(a)
これが必要なので、これは認めてね。又は自分で調べてね。（wikiなんかでも参考になるかも）

ではまず、
「αをPの根の一つとしたとき、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば、Pはモニックなので、αは代数的整数」
これは代数的整数の定義「モニックの根となる数のことを代数的整数と言う」より、大丈夫よね。
それで、
>ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
↑はOKよ。
と書いてくれたので、これを使うわ。
ｆを表している整数係数のαのn-1次以下の式の各項についてみると、
係数は整数だからこれは代数的整数、あとはαのべきだからやはり代数的整数の積。
よって各項は(a)によって代数的整数であることがわかる。
するとｆを表している整数係数のαのn-1次以下の式は各項の和又は差だから、
やはりｆ自体も(a)によって代数的整数であることがわかる。
以上より、ℤ[X]/(P) の元fは必ず代数的整数、つまりあるモニックの根であるので、
ℤ[X]/(P) はℤ上整であることが言える。

かなり丁寧に説明したつもりだけど、これでどうかしら。
ただ、これだと一見、「ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば」という条件はどこで必要なの？
という疑問が出てくるかもしれないわね。

これについては、
ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば、ℚ[X]/(P)⊃ℤ[X]/(P)＝ℤ[α] であることが言えるので、
うさぎが認めてくれた
>ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表されるわ。
↑はOKよ。
これが確かにOKなの。
でも、ℚ[X]/(P)が体でないならば、Pが既約でないから、
ℚ[X]/(P)にも、ℤ[X]/(P)にも零因子が存在するので、
（P＝P’・P''としたとき、[P']と[P'']は共にℚ[X]/(P)やℤ[X]/(P)の元で
[0]とは異なるが、[P']・[P'']＝[P]=[0]になるわ）
αをPの根の一つとしたときに、整数係数のαのn-1次以下の式で表されるものは零因子ではないから、
（これはαの最少多項式でありPの既約因数であるP’に対してℚ[X]/(P’)が体になり、
ℚ[X]/(P’)＝ℚ(α)や ℤ[X]/(P’)＝ℤ[α] に対しては前半の議論が成り立つわ）
ℤ[X]/(P) の元fの中には整数係数のαのn-1次以下の式で表されないものも存在してしまうのよ。
だから「ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば」という条件はどうしても必要なの。