>「αをPの根の一つとしたとき、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) が体ならば、Pはモニックなので、αは代数的整数」
>これは代数的整数の定義「モニックの根となる数のことを代数的整数と言う」より、大丈夫よね。
ちょっと文章がおかしくなっている気がするんだけど、きっと
・仮定からPは整数係数のモニック多項式なので、αをPの根の一つとすると、αは代数的整数
・ℚ[X]/(P)が体ならば、ℚ[X]/(P)＝ℚ(α) となり、ℤ[X]/(P) の元fは整数係数のαのn-1次以下の式で表される
とおっしゃりたいのよね？
そして代数的整数は単なる「モニック多項式の根」ではなくて「整数係数のモニック多項式の根」よね？
そうなら、前半は理解できたわ。ありがとう。
>>409を読んだ時は、αが代数的整数だということがアタシの頭から抜け落ちていたから分からなかったの。
高木本は持ってないけれど、前スレで紹介していただいた草場（著）「ガロワと方程式」のp. 80に
「2個の代数的数a, bに対してa+b, a-b, ab, a/bも代数的数である」
という定理はあったわ。これの証明を代数的整数に限定してa/bを無視したら、そのまま
「代数的整数同士加法減法乗法したものはやはり代数的整数である」の証明になりそうだわ。
ある行列の行列式 = 0 の話に帰着させている証明なんだけど。
（でもこの本の証明、p. 82に出てくるcたちの添字が間違っている気がするわ。
本を持ってる人にしか分からないこと書くけど、kが変わればcたちも変わると思うから。）
>αをPの根の一つとしたときに、整数係数のαのn-1次以下の式で表されるものは零因子ではないから、
ここでアタシ混乱しているんだけど、「零因子」って「ℤ[α]の 零因子」という意味かしら？
ちょっと基本的なこと確認させていただきたいのだけれど
ℤ[α]というのは、あくまでαを文字と見た多項式の集合なの？
それとも、そういう多項式のαに特定の値を入れてできる数の集合なの？
例えば P(X) = (X^2-2)(X^2+1) なら根のひとつとしてα=√2を考えることができるけれど
α^2-2 ∈ ℤ[α] はαを文字とする多項式？ それとも α^2-2 = 0 なの？
ℤ[X]/(P)＝ℤ[α]と書かれているから、ℤ[α]の要素としての (α^2-2)(α^2+1) を 0 と同一視しているのかしら？
てことは数として見ていて α^2-2 = 0 ってこと？ でもそれならα^2-2 は零因子よね？
それとも、多項式として見ているってことかしら？
でもそういう解釈ならば、ℤ[α]はn-1次以下に限らず零多項式以外に零因子はないことになるから
「n-1次以下」とか限定して書かれているのは変よね…?
（そもそも、まず零多項式もn-1次以下の多項式で零因子だと理解しているんだけれど、これは除外して考えられているの？）
ところでPが既約でない場合の話だけれど
P = P_1^{n_1}…P_k^{n_k} とℤ上で既約な式の積に分解しておけば
任意の f ∈ ℤ[X] について、あなたの説明から、各 P_i に対してあるモニックの F_i ∈ ℤ[X] があって、
F_i(f) ≡ 0 (mod P_i) となることがすぐわかるのよね。
それならば F = F_1^{n_1}…F_k^{n_k} とおけば、F(f) ≡ 0 (mod P) となるんじゃないかしら？
このことからℤ[X]/(P)はℤ上整であると言えるんじゃない？