今日はそこそこ忙しいんだけれど、
割とすぐにレスできそうだからしちゃうね。

>>418
準同型定理使うとこんなにシンプルにできるんだ？
って一瞬思ったけど、いやいやそんなに簡単な話ではないと思い、
ちょっとちゃんと読み返してみたら、あなたちょっと雑よ。
あなた長文があまり好きではなさそうだから、
できるだけシンプルに問題点を書こうと思うけど、できるかしら。
問題点を書いてる中に、あなたの疑問に対する回答も出てくる予定よ。

問題点は、ざっくり２つ。
１．Pは何？
２．ℤ[α]はℤ上整はなぜ言える？

まず１．Pは何？だけど、これまでの流れででてきたPは2種類あるのよ。
一つは元々の問題で出てきた、「整数係数のモニック」。
もう一つは「整数係数のモニックで、かつ『既約』なもの」。
この２つは決定的に重要な違いがあって、
二つ目の定義ならあなたの説明は真だけど、
一つ目の定義だと偽になってしまうわ。
αはPの任意の根を一つ選んで決めたものだと思うけど、
それだとあなたの準同型写像、全射はまあ自明と言っていいと思うけど、
Kerはαの最少多項式で生成されるイデアルよ。
もしPが『既約』ならこれは(P)で正しいけれど、
そうでないならこれは(P)ではないので、あなたの説明は成り立たないわ。

次に２．ℤ[α]はℤ上整はなぜ言える？について、
これは正しいのだけれど、自明なことではないのよ。
αがℤ上整なのは定義より自明なんだけれど、
だからといってℤ[α]のすべての元がℤ上整だというのは少し手間がかかるの。
これまでにやってきている
「代数的整数同士の和、差、積は代数的整数である」
という定理を利用することによって、
やっとℤ[α]のすべての元がℤ上整だと言えるのよ。
この定理を証明するには代数体の整数環の話になるから、
それでℚ[X]/(P)やらℚ(α)が顔を出したのよ。
Pが『既約』ならばℚ[X]/(P)はℚ(α)と同型で同一視できる。
だからℤ[X]/(P)は代数体ℚ(α)の整数環ℤ[α]と同一視できる。
といった感じにね。
まあ定理の証明自体は本にお任せで省略させてもらったけれども。

以上で回答としてはOKかしら。
これまでうさぎにいろいろレスしてきたから
この問題に関しては結構頭の中が整理されていて、
それで割とすぐ返答出来たわ。良かったわ。