あなたの「疑問」は、修辞疑問文（反語）なんだけど、ものぐささんは本当の疑問文だと思っちゃったのよね。
でも、あなたの言いたいことはわかったし、ものぐささんの説明と合わせて理解が深まったわ。
Pが既約のとき ℚ[X]/(P) ≅ ℚ(α) となることも、X→αにより定まる体の準同型と準同型定理から来ていたわけね。
それでℤ[α]がℚ(α)の部分環だから、ℤ[X]/(P)もℚ[X]/(P)の部分環なのね。
でも確かに言われると、わざわざ体のℚ[X]/(P)とℚ(α)を介さずに、直接、環の準同型の話をすれば済むわね。
「代数的整数同士の和、差、積は代数的整数である」という話も、体を出さずに環の話だけで完結すると思うわ。
https://math.stackexchange.com/questions/2133205/set-of-algebraic-integer-form-a-ring