>>433
あらまあわざわざ調べてくれたのね、ありがとう。
ブルバキだったのね、なるほど納得だわ。
ブルバキといえば自然数の定義にも０を入れてたわよね。
確かに自然数は０を入れないのは加法に関する半群で、
入れたのは単位的半群になるから
入れたほうが数学的により美しいのは確かにわかるわ。
でも、自然数って、人間が一番最初に素朴に持った数の概念でしょ。
だったら０は入れないで１からとすべきよね。
だって０は１，２，３，・・・の概念が出来てから
かな〜り経ってから発明？発見？されたものでしょ。
歴史的にはやっぱり自然数に０は入れるべきではないと思うわ。

有限生成加群についてなんだけど、
アタシ何度か言っているように、群、環、体ガロの順に勉強して、
加群は飛ばしちゃったから、ちょっと苦手意識があるのよね。
でもせっかくうさぎがいろいろ調べてくれて、
なんかわかりそうな気になったから、アタシも調べてみたわ。
wikiの整拡大のところを見ると（https://ja.wikipedia.org/wiki/整拡大）
B を環とし、A をその部分環とする。このとき B の元 b について次は同値。
b は A 上整
部分環 A[b] ⊂ B は A-加群として有限生成
A[b] は有限生成 A-加群である部分環 C ⊂ B に含まれる
（以下略）
なんてのもあったわ。
まあうさぎが調べてくれたのと同じような内容で、
加群メインで書いてあるのと、環メインでかいてあるのが違うくらいかしら。
あと他に、https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12239745397
こんなところに「Bの元xはA上整 ⇔ A[x] はA上整」の証明があったわ。
この証明がOKならば、ℤ[X]/(P) の元XはモニックであるPの解なんだから、
既約かどうか関係なくB=ℤ[X]/(P) とみなせばXはℤ上整であり、B=A[x]となって、
証明したかったことが完全に証明されてるのではないかしら。
この証明、行列式＝０とか使っていて、代数的整数同士の和、差、積が
代数的整数になることの証明と似てるわよね。
その証明（二人目の補題２）のチェックは面倒だから
というか、忘れてる線型代数見直さないと、ｔって何？状態なので、
チェックはお任せしてよろしいかしら？