これって、FullHouseさんが「整閉包が環をなす」ことを用いて問題に答えたから
それを受けて、りっきぃさんが「整閉包が環をなす」ことを証明したって流れなのかしらね？
でも、実はりっきぃさんみたい書いてくれるなら、この【定理】まで言わなくても
【補題２】まででこの問題に答えるのには十分よね？
環RとしてAを、そして環SとしてA[x]をとればいいから。
で、あたしも余因子行列とか詳しくないから調べたけど、要するに
Mを正方行列、単位行列をEとすると、(Mの余因子行列) × M = (det M) E となるらしいわね。
でもこんなややこしいやり方をしなくても、草場本の証明を参考にすると
零ベクトルでない縦ベクトル (a_1, …, a_n) に行列 aE-A を作用させたら零ベクトルになるのだから
det(aE-A) = 0 ってすぐ言えるんじゃないのかしら？
あなたのおっしゃる通りで、これって本質的に
「代数的整数同士の和、差、積が代数的整数になる」つまり「代数的整数の集合が環をなす」
ことの証明と同じだと思うわ。
https://math.stackexchange.com/questions/2133205/set-of-algebraic-integer-form-a-ring
上にも出したリンクだけれど、行列の具体例が見やすいから参考になると思うわ。
これも最後の部分でまた違うやり方をしていて、アタシも線型代数詳しくないからよくわかってないけど
行列Mの固有多項式をχとするとχ(M) = O（零行列）となる、というのはケイリー・ハミルトンの定理よね。
で、この場合、MB = pB から M^i B = p^i B なので、零ベクトル = OB = χ(M)B =χ(p)B となるから
χ(p) = 0 がわかるってことかしら？
ともかくχ(p) = 0 なら det(pE-M) = 0 となるわね。
高木本はどういうやり方なのかしら？
一般的に、α, βを環R上整、そしてαとβのR上の最小多項式の次数をそれぞれ n, m とすると
R[α, β]は有限集合 { α^i β^k | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m } を生成集合とするR上の加群となるわけよね？
それで、知恵袋の【補題２】の {a_1, …, a_n} を { α^i β^j | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m } にすれば直接【定理】が証明されるわ。
草場本や上のリンクはそういう流れよね。
細かいことを書くと草場本では { α^i β^k | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m } を直接使うんじゃなくて
高々有限次元だからその基底を u_1, …, u_l として、それらが作るベクトルに行列をかけているんだけど
もし { α^i β^j | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m } が基底になっていない、
つまり一次独立でなかったとしても特に議論に差し障りはないわよね？
{ α^i β^j | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m } の元がすべて 0 なわけでないから問題ないと思うんだけど…
話が戻るけど、上にも書いたように R[x]が環となることを言うには、整閉包の話まで一般化する必要はなくて
【補題２】の {a_1, …, a_n} を { 1, x, …, x^{n-1} } とすればもうそれで十分だと思うわ。