前スレの842さんが話題にしてくれたのと同じで、この問題文２通りに読めるわよね？
「あるnがあって、すべてのαに対して…」なのか「すべてのαに対して、あるnがあって…」なのか
この場合結果的にはどちらでも答えは変わらないと思うけど
このせいでどれだけ受験生が戸惑ったり時間を無駄にしたりしたかと思うと許せないわね！
ていうか問題自体なんか引っ掛けっぽくない？
f(x)の根のひとつをα、その共役複素数をα*とすると
f(α*) = (α*)^2 + aα* + b = (α^2)* + (aα)* + b* = (α^2 + aα + b)* = (f(α))* = 0* = 0
だからα*もf(x)の根になるわ
f(x)が実数でない根αを持つならα^n = 1となる正の整数nがあることからαの絶対値は1で
α = cosθ + i sinθ, sinθ≠ 0 と表せて、もうひとつの根はα* = cosθ - i sinθになるわ
根と係数の関係から a = -(α+α*) = -2cosθだけど、これが整数で sinθ≠ 0 であることから、cosθは0か1/2か-1/2ね
したがって
α, α* = ± i で (a, b) = (0, 1) となるか
α, α* = 1/2 ± i √3/2 で (a, b) = (-1, 1) となるか
α, α* = -1/2 ± i √3/2 で (a, b) = (1, 1) となるかね
けれどf(x)の根がすべて実数の場合は、根が1か-1かであればいいから
f(x) = (x-1)^2 で (a, b) = (-2, 1)
f(x) = (x-1)(x+1) で (a, b) = (0, -1)
f(x) = (x+1)^2 で (a, b) = (2, 1)
の3つの可能性があるわ
だからこの6つの組が答えよね
でも問題文の「複素数の範囲の」を読んで「実数でない」と読んでしまう人結構いそうじゃないかしら？
そう読んでしまうと答えは「 (0, 1), (-1, 1), (1, 1), および a^2 - 4b ≥ 0 を満たすすべての整数の組(a, b)」になるわね！
（でも読み間違った人でこう解答した人ってほとんどいなそう…）
勘違いされないような問題文にすることはできるはずなのに、これじゃ数学の問題っていうより国語の問題よ！