携帯なんで面倒だけど、
大雑把に書くわね。
α−β=A, β−γ=Bとするとγ−α=C=−(A＋B)だから
(α-β)^4＋(β-γ)^4＋(γ-α)^4＝0
に代入してAとBの式にして整理すると係数がぜんぶ偶数になるから
両辺を2で割って平方完成、じゃなくて４乗完成とでも言うのかしら？をして、
残りをABでくくって平方完成してからAB展開すると、
(A＋B)^4−2AB(A＋B)＋(AB)^2=0
になるわ。因数分解できて
｛(A＋B)^2−AB｝^2=0
２乗して0なのは0だから
(A＋B)^2−AB=0
展開整理すると
A^2＋AB＋B^2=0
よって
B=Aω (ここでωは1の原始3乗根)
AとBとCの対称性より
C=Bω=Aω^2
よって
(α-β)^2＋(β-γ)^2＋(γ-α)^2
=A^2＋B^2＋C^2
=A^2＋A^2ω^2＋A^2ω^4
=A^2(1＋ω^2＋ω^4)
=A^2(1＋ω^2＋ω)
カッコの中が0だから、
=0
になるわ。