f(n)=nの約数dのうち4で割ると1余るdの個数マイナス4で割ると3余るdの個数
とする。g(d)=1(d≡1 mod4), -1(d≡3 mod4)とすると、
f(n)=Σ[dはnの約数を動くことを以後d|nと書く]g(d)
となる。gは奇数c,dに対してg(cd)=g(c)g(d)が成り立つ。
このようなもののΣ[d|n]という和もまたそのような性質をもつらしい。
(参考 https://mathnote.info/entry/2020/04/05/Dirichlet-convolution-product)
つまり、互いに素な奇数m,nに対してf(mn)=f(m)f(n)となる。
知らんけど。
奇素数d≡1 mod4に対してf(d^k)=k+1、
奇素数d≡3 mod4に対してf(d^k)=0,1,0,1,…≧0