553に書いたように、f[n](x) = Π[k=1→n] (1-a[k]x) とおくわ
以下、0 ≤ x ≤ 1 の範囲で考えるわ
各kに対して、0 ≤ 1-x ≤ 1-a[k]x が成り立つから f[n](x) ≥ (1-x)^n
したがって
n b[n] = n ∫[0→1] f[n](x) dx ≥ n ∫[0→1] (1-x)^n dx = n/(n+1) → 1 (n→ ∞)
次に A[n] = (1/n)Σ[k=1→n] a[n] とおくと、0 ≤ A[n] ≤ 1 ね
lim[n→∞] a[n] = 1 なので、あるところから先のnに対しては常に A[n] ≠ 0 となるから、以下ではそういうnを考えるわ
1-a[1], …, 1-a[n] はすべて非負だから、n個の数の相加相乗平均の不等式から
f[n](x) = Π[k=1→n] (1-a[k]x) ≤ [ (1/n)Σ[k=1→n] (1-a[k]x) ]^n = (1-A[n]x)^n
したがって
n b[n] = n ∫[0→1] f[n](x) dx ≤ n ∫[0→1] (1-A[n]x)^n dx = [n/(n+1)] ⋅ [ {1 - (1-A[n])^(n+1)}/A[n] ]
n→ ∞ のとき A[n] → 1 であり (1-A[n])^(n+1) ≤ 1-A[n] → 0 となることから、上の式の右辺は → 1
以上から、はさみうちの原理で n b[n] → 1 よ
これで大丈夫かしら？
とはいえ、n個の数の相加相乗平均の不等式が成り立つことと、
lim[n→∞] a[n] = 1なら lim[n→∞] A[n] = 1 であることを示す必要はあるけれど
>>556
素敵ね。アタシも欲しいわ！