pを素数とは限らない2以上の整数として
P_m(r) = m枚の硬貨が入ったブタの貯金箱を割ったとき表向きの硬貨の枚数がpで割ってr余る確率
とするわ
硬貨に1からmまで番号が振ってあるとして、表向きの硬貨の枚数がpで割って1余る場合は
・硬貨1が表で、残りのm-1枚のうち表向きの硬貨の枚数がpで割り切れる場合
・硬貨1が裏、硬貨2が表で、残りのm-2枚のうち表向きの硬貨の枚数がpで割り切れる場合
・硬貨1と硬貨2が裏、硬貨3が表で、残りのm-3枚のうち表向きの硬貨の枚数がpで割り切れる場合
：
というふうに分けられるわ。
硬貨1から硬貨(k-1)までが裏で硬貨kが表の確率は1/2^kで
残りの(m-k)枚のうち表向きの硬貨の枚数がpで割り切れる確率はP_(m-k)(0)だから
P_m(1) = Σ[k=1→m] (1/2^k) P_(m-k)(0)
となると思うの。まだちゃんと示したわけじゃないけど
m → ∞ のとき P_m(0) → 1/p であることを考えると P_m(1) → 1/p になりそうよ
ならば同様に P_m(2) = Σ[k=1→m] (1/2^k) P_(m-k)(1) などとなるから、すべて 1/p に収束するんじゃないかしら
こんな複雑な計算しなくても当たり前に1/pだって言えるのかしら