じゃあガチでいくわよ。
二通りの解法を考えたので、考えた順に書くわね。
まず解法１：これは受験生はどう解くかなって考えた方法。
A=-2x+y+z、B=x-2y+z、C=x+y-2z　として、
それぞれを、Aを原点に移すように平行移動する。
A→AーA=0
B→BーA＝3x-3y
C→CーA=3x-3z
これらが正三角形をなすんだから、
CーAはBーAを、原点を中心として60°又はー60°回転させたもの。
つまり
3x-3z=(3x-3y)(1/2±√3i/2)
両辺をー3で割って
z-x=(y-x)(1/2±√3i/2)
この式は、z-xはy-xを、原点を中心として60°又はー60°回転させたもの
という意味になる、つまり原点、y-x、z-xは正三角形をなすので、
それぞれをxだけ平行移動させると
原点→０＋ｘ＝ｘ
y-x→y-x+x=y
z-x→z-x+x=z
これら、つまりx,y,zも正三角形をなす。