大学入試の数学の問題を解くゲイ2025
0003【選択して下さい】2025/02/26(水) 06:16:08.75
交配をするようになったのは階級分化が崩れてきた戦後のことです。
戦前はまだ身分の違いとかでめったに交配は起きてはいないのです。
www.asyura2.com/12/lunchbreak52/msg/849.html
0004陽気な名無しさん2025/02/26(水) 10:31:33.02
>>3
何でも朝鮮に結びつける金達寿の仮説か…
0005陽気な名無しさん2025/02/27(木) 12:34:19.17
>>4
この地名は朝鮮語の〇〇だ！！
0007陽気な名無しさん2025/03/01(土) 09:29:35.84
2025って平方数なのね
こんなスレでも見なきゃ知ることはなかったわ
0008陽気な名無しさん2025/03/01(土) 14:53:39.43
でも25も225も平方数よ？
0009陽気な名無しさん2025/03/02(日) 02:01:59.51
京大のは一見難しそうだけど実際はそうでもないわね
3で割って1か2余る数は4乗や6乗すると1余るから
9z^2 = x^6 + y^4 が成り立つのはxとyが両方とも3の倍数の時に限るわ
x = 3a, y = 3b とおくと、9z^2 = x^6 + y^4 = (3a)^6 + (3b)^4 = 729a^6 + 81b^4
したがって z^2 = 81a^6 + 9b^4 となるのでzも3で割り切れるわ
z = 3c とおくと 9c^2 = (3c)^2 = z^2 = 81a^6 + 9b^4 から c^2 = 9a^6 + b^4
a = 1 のときこれを満たす最小のbとcは b = 4, c = 5 ね
もし a ≥ 2 なら c^2 > 9a^6 = (3a^3)^2 から c > 3a^3 ≥ 3⋅2^3 = 24 となって5より大きくなるわ
したがって最小のcは5でそのとき z = 3c = 15 で N = 9z^2 = 2025 が最小になるわね

>>6
年と一致しているのには気づかなかったわ！

東大の(1)は f(x) = (x-1) - log x とおくと f’(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x
0 < x < 1 のとき f’(x) < 0、f’(1) = 0, そして x > 1 のとき f(x) > 0 だから
f(x) は x = 1 で最小値 f(1) = 0 をとるから、すべての x > 0 について f(x) ≥ 0 が言えるわ

(2)は難しいわ
とりあえず(1)から log((1+x^{1/n})/2) ≤ (x^{1/n} - 1)/2 が言えるから
n∫[1→2] log((1+x^{1/n})/2) dx
≤ n∫[1→2] (x^{1/n} - 1)/2 dx
= [(2^{1+1/n} - 2)(1/n) - 1]/2(1+1/n)
となるけれど、(2^{1+1/n} - 2)(1/n) は n→∞ のとき 2^x のx = 1における微分係数 2 log 2 に収束するから
lim[n→∞] [(2^{1+1/n} - 2)(1/n) - 1]/2(1+1/n)
= (2 log 2 - 1)/2 = log 2 - 1/2
これが上限となることはわかるわ
問題は下限の方で、これをどう評価すればいいのかわからないの
log x ≥ (x-1) - (x-1)^2/2 = -(x^2 - 4x + 3)/2
であることに気づけば同じように計算して下限が log 2 - 1/2 になると示せると思うんだけど
こんなのテイラー展開を知らないと思いつかないだろうし計算も大変よね
簡単な下限の計算の仕方があるんだろうけどどんな方法かしら
0010陽気な名無しさん2025/03/02(日) 02:04:25.59
やだ、/ が抜けてたわ。正しくはこれよ
n∫[1→2] log((1+x^{1/n})/2) dx
≤ n∫[1→2] (x^{1/n} - 1)/2 dx
= [(2^{1+1/n} - 2)/(1/n) - 1]/2(1+1/n)
となるけれど、(2^{1+1/n} - 2)/(1/n) は n→∞ のとき 2^x のx = 1における微分係数 2 log 2 に収束するから
lim[n→∞] [(2^{1+1/n} - 2)/(1/n) - 1]/2(1+1/n)
= (2 log 2 - 1)/2 = log 2 - 1/2
0012陽気な名無しさん2025/03/02(日) 13:03:57.59
すでに回答がネット中に出ている問題を拾ってきて載せては
あたかも自分で解いたように回答をコピペすることで
自分が京大問題を解いた気分になって中卒コンプを払拭したい老婆のスレ
0013陽気な名無しさん2025/03/02(日) 13:06:02.08
>>12の内容はこのスレ主に対するものであって>>11に貼られてる画像の男性に対するものではありません
0014陽気な名無しさん2025/03/02(日) 13:06:58.53
孫世代の若い男に「可愛いわあ」とか欲情してる学歴コンプの老齢ババア気持ち悪い
0015陽気な名無しさん2025/03/02(日) 13:07:29.22
この手のスレ何度も立ててるよね
何回立てれば学歴コンプの気は済むのかしら
0019陽気な名無しさん2025/03/02(日) 13:10:26.16
他人が出した問題は小学生レベルの理科も解けないのよ、スレ主
自分が拾ってきたすでに回答コピペもってる問題だけ
0020陽気な名無しさん2025/03/02(日) 13:11:57.86
私が中1レベルの英文で話しかけたら30分経っても読めずに理解できなかったのよ、このスレ主

中1レベルのスラングまじりのブロークンイングリッシュなのに「翻訳機で作った英文だろ！」ですってｗ
その時点でこいつの学歴は見破ったわ
0023大学院卒2025/03/02(日) 13:13:27.09
どうか中卒スレ主の学歴コンプが収まりますように
0024陽気な名無しさん2025/03/02(日) 13:14:25.82
自分の学歴に満たされてる人はこんなスレ立てないわよ
0025陽気な名無しさん2025/03/02(日) 16:29:20.13
頭が良い人が集まるスレに寄ってきて潰そうとする人の方にむしろコンプを感じるわ
自分の知能、学歴にコンプがあるから自分より頭良い人がいるスレが堪らなく憎いのよ
0026陽気な名無しさん2025/03/03(月) 06:26:54.69
とりあえず
lim[n→∞] n log((1+x^(1/n))/2)
=lim[n→∞] log((1+x^(1/n))/2) /(1/n)
=lim[t↓0] log((1+x^t)/2) /t
=lim[t↓0] x^t logx /(1+x^t)
=(1/2)logx
よね
0027陽気な名無しさん2025/03/03(月) 10:02:03.80
あーらしを、おーこして！
0028陽気な名無しさん2025/03/03(月) 14:01:11.94
すーべてを、こーわすの！
0029Usagi2025/03/03(月) 18:30:10.12
上で間違ってメール欄に名前書いてたわ
>>26
三番目の等号は f(t) = log((1+x^t)/2) として f’(0) を求めたってことでいいのかしら？ lim[t↓0] が残っているけど…？
ある条件が満たされていれば lim と ∫ の順序を交換できるって定理があるみたいだから、確かにこれを使えば (1/2)logx を積分すればすむわね
けど大学入試だからきっと他のやり方があるのよね
(1)がヒントだとするとはさみうちの原理を使うのかと思ったけど下限が難しいと思うの
0030陽気な名無しさん2025/03/03(月) 20:18:42.18
あら、うさぎいたのね
よかったわ
3番目の=はロピタルの定理よね

東大のこの誘導だと
lim[n→∞]n∫[1→√3]log((1+(x^3+x)^(1/n))/2)dx
は難しいかしら
0031Usagi2025/03/04(火) 01:38:53.12
なるほど、ロピタルね
ロピタルも大学入試では使っちゃいけないんだったかしら
でもこの場合は微分の定義からf’(0)になるって言えばロピタルとか言う必要はないわね

そして、あなたのバリエーション面白いわね！
log((1+(x^3+x)^(1/n))/2) ≤ ((x^3+x)^(1/n) - 1)/2
と評価しても右辺の積分が難しくて困るってことね？
でも lim と ∫ の順序を交換すれば
lim[n→∞] n log((1+(x^3+x)^(1/n))/2) = (x^3+x)^0 log(x^3+x) / (1+(x^3+x)^0) = (1/2) log(x^3+x)
となって
∫[1→√3] (1/2) log(x^3+x) dx = [(1/2)(x log(x^3+x) - 3x)]_1^√3 + ∫[1→√3] 1/(x^2+1) dx
右辺第二項については x = tanθとおいて置換積分すると
∫[1→√3] 1/(x^2+1) dx = ∫[π/4→π/3] dθ = π/12
だから、結局
∫[1→√3] (1/2) log(x^3+x) dx = (√3 log(4√3) - log 2 - 3√3 + 3)/2 + π/12
となるかしら

だれか東大の問題の下限をうまく出してよ！
0032陽気な名無しさん2025/03/04(火) 06:39:38.51
log(1+x^(1/n))-log2
=[log(1+u^(1/n))]_{u=1}^{u=x}
=∫[1→x](log(1+u^(1/n)))'du
=∫[1→x](1/n)(u^1/n-1)/(1+u^(1/n))du
≧∫[1→x](1/n)(u^1/n-1)/(u^(1/n)+u^(1/n))du
=∫[1→x]du/2nu
か？
0033Usagi2025/03/04(火) 19:03:31.56
まあ！すごいわ、よくこんなの思いついたわね
あなたの書き込みをヒントに考えると模範解答はこうかしら
1 ≤ x ≤ 2 のとき x^{1/n} > 0 なので相加相乗平均の不等式から
(1+x^{1/n})/2 ≥ √(1⋅x^{1/n}) = x^{1/(2n)}
log x は単調増加だから
log((1+x^{1/n})/2) ≥ log x^{1/(2n)} = (1/(2n)) log x
したがって
n ∫[1→2] log((1+x^{1/n})/2) dx
≥ n ∫[1→2] (1/(2n)) log x dx
= (1/2) ∫[1→2] log x dx
= (1/2)[x log x - x]_1^2
= (1/2)(2 log 2 - 1)
= log 2 - 1/2

log((1+x^{1/n})/2) ≥ (1/(2n)) log x を示しなさい、みたいなヒントがないと難しすぎない？
受験生は (a+b)/2 の形を見たら反射的に相加相乗平均を使うことを考えられないとダメってことかしら
何のゲームよw
関係ないあたしたち大人にとってはクイズとして楽しめるかもだけど受験生にとってはたまったもんじゃないわね
0035Igusa2025/03/05(水) 12:55:32.24
(1)はほとんど点ないだろうから相加相乗思いつくかどうかで20点近く差がでるわね
合否に直結するわねこの問題
0036Igusa2025/03/05(水) 13:22:39.58
あ、上からの評価で部分点あるか
0037ものぐさ2025/03/05(水) 23:14:45.68
Igusaさんはじめまして
Usagiさんに続いて新しくコテハンさんが登場して嬉しいわ

大学受験で相加相乗平均はかなり王道的手法ではないかしら？
0038Usagi2025/03/07(金) 01:37:01.52
>>37
お久しぶり
王道なのかもしれないけど、個人的にはこういうのは入試問題として良いとは思えないわ
log((1+x^{1/n})/2) を下から評価するには他にも -(x^2 - 4x + 3)/2 とか無数に可能性があるわけじゃない
何か評価法を思いついても、計算するまでどういう結果になるかわからないから
もし適切でないものを選んでしまった場合、その計算と時間が全て無駄になるのよ
その中で相加相乗平均を選ぶことに特に論理性がないから、数学的思考力を測るものとは思えないのよね
こんなことをすごく限られた時間でやらされるのって本当に酷くて無意味なことだと思うの
(2)の前に log((1+x^{1/n})/2) ≥ (1/(2n)) log x を示せ、という問題も入れるべきだわ
そしたらふつうに数学の実力を測る問題になると思うし、そのヒントを入れても東大受験生全員が解けたりはしないわよ
0039Igusa2025/03/07(金) 12:01:12.46
英語の試験で文法や構文の知識が問われるのと何が異なるんだ？
0040Usagi2025/03/07(金) 13:19:17.57
思いつきが要るかどうかじゃないかしら
英語の文法や構文の問題を解くのに思いつきは全く必要ないわ
相加相乗平均の不等式の知識が身についているかを見たいなら
log((1+x^{1/n})/2) ≥ (1/(2n)) log x を示せ
という問題を出せばそれでいいのよ
この問題の場合、下からの評価が log 2 - 1/2 になって欲しいわけだけど
相加相乗平均使ったらそうなるかってすぐにわかるわけではないし
この目標とする値自体、上からの評価を先に計算してはじめて知ることがができるものだわ
0042陽気な名無しさん2025/03/08(土) 09:40:40.73
ちょうど英語の話題が出たから気になったこと書き込ませてもらうわ
Xスッスしてたらちょっと気持ち悪いくらいの東大賛美が流れてきて思わず読んでしまったんだけど…
https://x.com/sayamatakehiko/status/1895732240434581631
…これ簡単じゃない？
どこがどう傑作なのかもう少し詳しく説明してほしかったわ
0044Usagi2025/03/08(土) 10:46:37.82
>>42
例年の和訳問題がどんなんだか知らないからわからないけど
どっかから文章持ってきて訳せって書けば問題になるわけだから
傑作だとか形容するのは確かにちょっと意味不明かもね
それとも英文もオリジナルなの？ それなら話は違うけれど

>>43
鈴木教授って誰かしら？
theyは直前の a small part of his clan を受けているものよね？ 何が深いのかしら
0045Usagi2025/03/08(土) 10:54:48.34
そもそもtheyを「彼ら」って訳すと減点されるの？
0046陽気な名無しさん2025/03/10(月) 18:55:08.41
昔、井草ナントカっていう大数学者いたわよね
ふと思い出したの
0048Usagi2025/03/14(金) 22:00:21.22
書き込みがないから魔法少女まどかの数学の授業で出てきた問題を紹介するわ

（１）aは14で割ると6余る整数、bは14で割ると1余る整数です。
　　　2次方程式 x^2 - 2ax + b = 0 が整数解を持ちます。
　　　この整数解を14で割った余りを求めてください。

（２）f(x) = [ 4x + √(4x^2-1) ] / [ √(2x+1) + √(2x-1) ] とします。
　　　f(1) + f(2) + f(3) + … + f(60) を計算してください。

（３）pは素数、nは任意の自然数とします。
　　　(1+n)^p - n^p - 1 がpで割り切れることを証明してください。

これが中２の問題っていうのは嘘よね？w（２）はアタシ解けないわ
0049Igusa2025/03/14(金) 23:23:09.97
(1) mod 14で
0=x^2-2ax+b≡x^2-2*6x+1≡x^2+2x+1=(x+1)^2
x+1≡0
x≡13

(2) これはガウス記号なの？むずかしそうだわ
0050Usagi2025/03/14(金) 23:44:51.06
>>49
(2)はガウス記号じゃなくてただのカッコのつもりだったわ　
見やすくしたつもりでかえって混乱させてしまってごめんなさいね
0051陽気な名無しさん2025/03/15(土) 06:32:08.92
a=√(2x+1), b=√(2x-1) とおくと
4x=a^2+b^2
√(4x^2-1)=ab

f(x)=(a^2+ab+b^2)/(a+b)
=(a^3-b^3)/(a^2-b^2)
=((2x+1)^(3/2)-(2x-1)^(3/2))/2

f(1)+…+f(60)
=(1/2)(3^(3/2)+5^(3/2)+…+121^(3/2))
　-(1/2)(1^(3/2)+3^(3/2)+…+119^(3/2))
=(1/2)(121^(3/2)-1)
=1330/2
=665
0052陽気な名無しさん2025/03/15(土) 06:47:39.64
二項係数pCkは1≦k≦p-1のときpの倍数
(n+1)^p=Σ[k=p→0] pCk n^k ≡n^p+1 (mod p)
0053陽気な名無しさん2025/03/15(土) 11:30:51.12
(3)ってフェルマーの小定理の発展版みたいなものね
0054Usagi2025/03/15(土) 11:39:40.38
あら、お見事！
そうか、(2)はそんなふうにうまくできたのね
a=√(2x+1), b=√(2x-1) とおくことで見やすい式になって変形しやすくなったのね
アタシはそのまま式変形しようとしてワケわかんなくなっちゃったから
こういう工夫がシンプルだけど大切だってことを実感させられたわ

(1)はIgusaさんは -12 ≡ 2 (mod 14) を使ったのよね
こうやれば簡単だけど、このやり方を知らない人には大変そうな問題よね

(3)はpCkが1≦k≦p-1のときpの倍数となることを知らない人には難しそうね

>>53
そうね！フェルマーの小定理を使うと (1+n)^p ≡ 1+n ≡1+n^p (mod p) となって一瞬でできるわね
0055Igusa2025/03/15(土) 22:01:15.52
(4x+3)^25をx^2+x+1で割った余りをax+bとする
a,bを5で割った余りを求めよ
0056陽気な名無しさん2025/03/18(火) 09:49:58.99
>>55
今一つ自信ないけど、
aを５で割った余りが４で、bを５で割った余りが３ではないかしら。

それというのもね、(4x+3)^25をx^2+x+1で割った余りをax+bとするなら、
xに任意の整数nを代入しても、
(4n+3)^25をn^2+n+1で割った余りはan+b、
またはn^2+n+1≦an+bだとしたら
(4n+3)^25をn^2+n+1で割った余りは
an+bをn^2+n+1で割った余りになるはずだと思ったの。

あら、もしかしてこれくらい書いた段階で、
もうちょっと自分で考えたいって人もいるかもしれないから、
この先の説明はもう少し待つことにするわね。
0057Usagi2025/03/19(水) 11:49:46.45
>>56
姐さんのやり方でどう解くのかわからないわ
x^2+x+1 = 5k が整数解を持つkを探すのかしら？とも思ったけど簡単に見つからなさそうだし

アタシは力技しか思いつかなかったの
5で割った余りが同じ整数を同一視して、さらに mod x^2+x+1 で考えると
(4x+3)^2 = 16x^2+24x+9 = x^2-x-1 ≡ -2x-2 (mod x^2+x+1)
(4x+3)^4 = {(4x+3)^2}^2 ≡ (-2x-2)^2 = 4(x^2+2x+1) ≡ 4x = -x
(4x+3)^12 = {(4x+3)^4}^3 ≡ (-x)^3 = -x^3 = -(x-1)(x^2+x+1)-1 ≡ -1
(4x+3)^24 = {(4x+3)^12}^2 ≡ (-1)^2 = 1
(4x+3)^25 = (4x+3)⋅(4x+3)^24 ≡ (4x+3)⋅1 = 4x+3
だから a = 4, b = 3となるはずだわ
もっと簡単にできるのかしら？
0058Igusa2025/03/19(水) 12:04:44.67
>>57
上手！
0059562025/03/19(水) 14:23:33.20
>>57
さすがだわね。力技とはいえ見事だわ。

アタシはとにかくmod5で見たの。
x≡0のとき3^25≡3を0^2+0+1≡1で割った余りがa×0+b=b
これよりbは0または1の倍数、つまり何も絞れていない。
x≡1のとき(4×1+3)^25≡2を1^2+1+1≡3で割った余りがa×1+b
これよりa+b≡2 ・・・①
x≡2のとき(4×2+3)^25≡1を2^2+2+1≡2で割った余りがa×2+b
これより2a+b≡1 ・・・②
x≡3のとき(4×3+3)^25≡0を3^2+3+1≡3で割った余りがa×3+b
これより3a+b≡0 ・・・③
x≡4のとき(4×4+3)^25≡4を4^2+4+1≡1で割った余りがa×4+b
これよりa×4+bは0または1の倍数、つまり何も絞れていない。

つまり①②③を満たせば良いわけよね。
実際は②-①でa≡4がわかるし、
それですぐに①でも②でもb≡3がわかるわ。
それでこの値は③も満たしているのでOK！

こんな感じ。
0060Igusa2025/03/19(水) 18:06:29.23
>>59
超上手い！！
0061Usagi2025/03/19(水) 22:49:31.60
>>59
ありがとう。
>これよりbは0または1の倍数、つまり何も絞れていない。
>これよりa+b≡2 ・・・①
とかの、これより…の部分がどうやって出たのかアタシよくわからないの
説明していただけたらありがたいわ

アタシは>>57みたいに解くこと自体は問題見て割とすぐにできたんだけど
不思議な結果で意味がわからないし、他の人が解いてくれるかなと思って様子見てたの
でも今日>>57を書き込んだ後でピーンと来たの！
これは有限体の話だったのね
有限体の元の個数は素数のナントカ乗になるのよね
[r] = 5で割ってr余る整数の集合
F_5 = { [0], [1], [2], [3], [4] }
とするとF_5は元の数が5の体になることが知られているのよね
元の数が25の体は同型を除いてひとつしかなくて、これを F_25 と書くと
25 = 5^2 なのでF_5の2次拡大になるという定理があるのね
つまり、 F_5上既約な任意の2次式の根のひとつをαとすると、F_25はF_5にαを添加して得られるの
ここでx^2+x+1がF_5上既約であることを示すわ
x^2+x+1 = (x+c)(x+d)
とF_5上で因数分解できるとすると、cd = 1よね
[1]^{-1} = [1], [2]^{-1} = [3], [2]^{-1} = [3], [4]^{-1} = [4]
だから、考えられる可能性は
(x+1)(x+1) = x^2+2x+1
(x+2)(x+3) = x^2+5x+6 = x^2+1
(x+4)(x+4) = x^2+8x+16 = x^2+3x+1
だけど、どれもx^2+x+1にならないからx^2+x+1はF_5上既約だわ
したがって、x^2+x+1の根のひとつをαとすると、F_25はF_5にαを添加して得られて
F_25 = F_5(α) = { s + tα | s, t ∈ F_5 }
となるわ。α^2+α+1 = 0 だから
F_25 = { s + tα | s, t ∈ F_5 } = F_5[x]/(x^2+x+1)
この右辺はF_5係数のxの多項式の集合でx^2+x+1で割った余りが同じものを同一視したものね
F_25は体だから0以外の24個の元は乗法に関して群を作るわ。1次以下の式で代表させると
1, 2, 3, 4,
x+1, x+2, x+3, x+4, x+5,
2x+1, 2x+2, 2x+3, 2x+4, 2x+5,
3x+1, 3x+2, 3x+3, 3x+4, 3x+5,
4x+1, 4x+2, 4x+3, 4x+4, 4x+5
の24個ね。位数24の群だから、ラグランジュの定理からどれを24乗しても1になるから25乗すると元に戻るのよ！

ところで4x+3は F_5[x]/(x^2+x+1) の原始24乗根なのかしら？と思ったんだけど
ラグランジュの定理から4x+3の位数は24の約数だけど
>>57から (4x+3)^12 = -1 なので12の約数ではないわ
だから位数が24でないとしたら8しか可能性はないけれど
>>57から (4x+3)^8 = {(4x+3)^4}^2 = (-x)^2 = x^2 なのでこれも違うわ
したがって4x+3は F_5[x]/(x^2+x+1) の原始24乗根ね！

魔法少女まどかの問題の（１）と（３）からインスピレーションを得られたのでしょうけど、素晴らしい問題だったわ
おかげでとっても勉強になったわ★
0062Igusa2025/03/20(木) 07:40:21.27
まあなんとも見事な解説ね
ご賢察のとおりフェルマーの小定理を見て発作的に出題したわ
0063Igusa2025/03/20(木) 22:07:35.65
(1)
>>61の

＞4x+1, 4x+2, 4x+3, 4x+4, 4x+5
＞したがって4x+3は F_5[x]/(x^2+x+1) の原始24乗根ね！

に着目すると24以下の5つの相異なる自然数a[1],a[2],a[3],a[4],a[5]が存在して
(4x+3)^a[1]=4x+1
(4x+3)^a[2]=4x+2
(4x+3)^a[3]=4x+3
(4x+3)^a[4]=4x+4
(4x+3)^a[5]=4x+5
となりますよね？これらa[1]～a[5]について
a[i]+a[j] (1≦i≦j≦5)
が全て異なることを示せ

(2)
pを素数とする
p^2-1以下のp個の相異なる自然数a[1],a[2],a[3],……,a[p-1],a[p]で、
a[i]+a[j] (1≦i≦j≦p)
が全て異なるものが存在することを示せ
0064Usagi2025/03/22(土) 22:43:12.83
アタシ上で
4x+1, 4x+2, 4x+3, 4x+4, 4x+5
とか書いてたけど
4x, 4x+1, 4x+2, 4x+3, 4x+4
とした方が良かったわね。まあいいわ

>>63
(1) もし a[i]+a[j] ＝ a[k]+a[l] となるなら
(4x+i)(4x+j) = (4x+3)^a[i] (4x+3)^a[j] = (4x+3)^(a[i]+a[j]) = (4x+3)^(a[k]+a[l]) = (4x+3)^a[k] (4x+3)^a[l] = (4x+k)(4x+l)
となるわ。だから要するに因数分解が一意的だって言えばいいのよね
一般的にKを体とするとK[x]はそういう性質を持つのよね？ この場合は
(4x+i)(4x+j) = (4x+k)(4x+l) 　（★）
だけど、もし4x+iが4x+kを割り切るなら、i = k だから両辺を4x+iで割ると 4x+j = 4x+l だから j = l となるわ
4x+iが4x+kを割り切らない場合は、ユークリッドの互除法からF_5係数の多項式u(x)とv(x)があって
1 (= 4x+iと4x+kの最大公約元) = u(x)(4x+i) + v(x)(4x+k)
となることがわかるわ。両辺に4x+l をかけると
4x+l = u(x)(4x+i)(4x+l) + v(x)(4x+k)(4x+l) = u(x)(4x+i)(4x+l) + v(x)(4x+i)(4x+j) = (4x+i){u(x)(4x+l) + v(x)(4x+j)}
となるので4x+iは4x+lを割り切るわ
したがって i = l となって（★）の両辺を4x+iで割ると 4x+j = 4x+k だから j = k となるわ

(2)も同じよね
F_p上既約なF_p係数の2次式をf(x)として、g(x)をF_p[x]/f(x)における1の原始(p^2-1)乗根としたときに、0でないある b ∈ F_p を固定して
g(x)^a[i] = bx+i　　(1 ≤ i ≤ p)
となるようにa[i]を決めればいいわよね？
(2)は代数の話に翻訳しないでそのまま示そうとすると難しいのかしら？
ていうかp個が最大かしら？もう少し増やせそうな気がするけれど
0065Igusa2025/03/23(日) 14:56:19.92
>>64
(1)
アタシの力不足でこの議論が正しいかどうかよく分からないけど、考えてもらえて嬉しいわ
(2)
> ていうかp個が最大かしら？
これは優れた疑問よね
これを考えてる数学者いると思うわ
0066Usagi2025/03/23(日) 19:05:57.07
いやごめんなさい、アタシ間違っていたわ
F_5[x]の因数分解は一意的だけど、今見ているのはF_5[x]/(x^2+x+1)で
例えば (x+3)(3x+1) = (x+4)^2 とかなるから因数分解は一意的ではないわ
不勉強が露呈しちゃったわw
0067Usagi2025/03/23(日) 21:26:50.05
こうかしら？
(4x+i)(4x+j) = 16x^2 + 4(i+j)x + ij = x^2 - (i+j)x + ij = -(i+j+1)x + ij-1
同様に(4x+k)(4x+l) = -(k+l+1)x + kl-1 だから
（★）はmod 5で -(i+j+1) ≡ -(k+l+1) かつ ij-1 ≡ kl-1、つまり i+j ≡ k+l かつ ij ≡ klと同値
ここから (i+j)k ≡ (k+l)k ≡ k^2 + kl ≡ k^2 + ij なので k^2 - (i+j)k + ij ≡ 0
つまり (k-i)(k-j) ≡ 0 (mod 5) なので k ≡ i または k ≡ j が言える
k ≡ i なら（★）の両辺を4x+iで割って 4x+j = 4x+l なので j ≡ l
k ≡ j の場合も同様
0068Igusa2025/03/24(月) 06:37:32.65
正解よ！
0069Igusa2025/03/24(月) 07:20:08.25
(4x+3)^a[1]=4x+1
(4x+3)^a[2]=4x+2
(4x+3)^a[3]=4x+3
(4x+3)^a[4]=4x+4
(4x+3)^a[5]=4x+5
4x+3=αとおくと
α^a[1]=4x+1=α+3
α^a[2]=4x+2=α+4
α^a[3]=4x+3=α
α^a[4]=4x+4=α+1
α^a[5]=4x+5=α+2
もしa[i]+a[j]=a[k]+a[l]となるなら
(α+p)(α+q)=(α+r)(α+s)
(p+q)α+pq=(r+s)α+rs
となるp,q,r,s∈F_5が存在する
α=4x+3はF_25^×を生成するのでF_5の元ではない
∴p+q=r+s,pq=rs
ということはF_5[X]で
(X+p)(X+q)=(X+r)(X+s)
ということでもあり"Kを体とするとK[x]はそういう性質を持つ"ので
{p,q}={r,s}
となる
0070陽気な名無しさん2025/03/31(月) 09:42:50.65
やだ、落ちてしまいそうだわ。
雰囲気はとてもいいんだけど、やってるレベルが高すぎるのかしら。
もう少しレベル低ければもう少し人が来るかしら。
0071Usagi2025/04/01(火) 02:05:17.59
じゃあ>>59をもう少し解説してよ。たとえば
>x≡1のとき(4×1+3)^25≡2を1^2+1+1≡3で割った余りがa×1+b
はある整数s,t,qがあって 5s+2 = (5t+3)q + a+b って言いたいのよね
するとmod5で考えると 2 ≡ 3q + a+b だから a+b ≡ 2-3q ってなるわよね
なんでここから a+b ≡ 2 が言えるのかしら？ qによって変わらないかしら
0072陽気な名無しさん2025/04/01(火) 03:52:10.72
受験報告読んできたけど東大理系2の(2)は誰一人解けてないわね
理III受験生ですら
Usagiの言う通りのようね
相加相乗ネイティブ世代のアタシには信じられない話だわ
0073Usagi2025/04/02(水) 02:46:59.26
相加相乗ネイティブ世代って何よw
受験生は仮に解ける実力があったとしても時間制限がきついから
難しそうで時間がかかりそうだからすぐに飛ばすでしょうね
試験として機能しない問題を出すなんて馬鹿馬鹿しいわ
そもそも制限時間は５時間くらいにして欲しいわよね
時間内に解ききれない試験って、思考力より処理速度を測っているみたいで意味不明だわ
理科についてもアタシが受験生だった時は物理と化学を選んだんだけど
時間があればほぼ全部解ける簡単な問題なのに制限時間のせいで解ききれない試験って認識してたわ
数学は難しくて時間かけても解けないってことはよくあったけどね
0074陽気な名無しさん2025/04/02(水) 12:35:09.34
うさぎが受験生当時難しくて解けなかった問題ここに書いてくれない？
丁度いい題材になると思うけど。
0075Usagi2025/04/02(水) 13:25:56.00
アタシ当時は東大の数学は基本的に難しすぎって認識で
解けない問題はどうせみんな解けないから別にいいわってスタンスだったの
だから過去問にバリバリ取り組んだりしなかったから過去問は詳しくないけど
以前に書いたようにアタシ1999年に受験して第１問はバカすぎる問題ですぐ解けて
他には第３問は完答したけど間違ってたわ
つーかこの第３問はしばらく前に20年以上ぶりに出会ってやってみたら当時の自分と同じ答えになったの
それで解答見たら間違ってて、当時も解けていなかったことがわかったのw
その他の問題は確かどれもほとんどできなかった記憶よ
だから1999年の第１問以外はすべてうさぎに解けなかった問題よ！
ネットで見つけたからどうぞ
https://toudainyuushi.com/wp-content/uploads/2020/06/1999S.pdf
第２問、第４問、第５問、第６問は受験の時以来やっていないけど今なら解けるかしら…？
0076Igusa2025/04/03(木) 07:23:30.45
6番、もう少し面白く出来なかったのかしら
0077陽気な名無しさん2025/04/03(木) 14:31:40.38
東工大の問題みたい
0078陽気な名無しさん2025/04/03(木) 21:29:34.57
第5問解くわ。
(1) 二項係数はC(n,r)と書くわ。
n*C(2^k,n)=2^k*C(2^k-1,n-1)
でn<2^kだからC(2^k,n)は偶数だわ。
(2) (1)よりm=2^k-1は該当するわ(パスカル△を描くのよ)。
m=2^kは(1)よりダメよ。m=2^k+aとしてみるわ。
もちろんaは自然数で2^k<2^k+a<2^(k+1)-1よ。
(a+1)*C(2^k+a,a+1)=2^k*C(2^k+a,a)
でa+1<2^kだからC(2^k+a,a+1)は偶数よ。
つまりパスカル△でC(2^k+a,□)の段が全て奇数になることはないわ。
以上よりm=2^k-1が求めるものよ。
0079陽気な名無しさん2025/04/06(日) 01:20:48.45
昭和のオババにはこれが難問だったのねという印象。
今となっちゃ二項係数のごく基本的な性質。
0080Igusa2025/04/06(日) 07:05:59.30
Usagiが受験した頃はまだ国語に作文があったのね
0082Usagi2025/04/07(月) 13:01:38.32
>>78
素晴らしいわね！
>>79
え、今の受験生には常識なの？
こういうのって答え見ればなるほどねって思うけど
ヒントなしで時間制限ありで解くのはとても難しいと思うわ
>>80
そういえば作文ってあった気がするわ。今はなくなったの？
国語は一番苦手で模試とかでは20点代とかだったわw

6番ちょっとやってみたんだけどまず不定積分が
∫ e^2 sin^2 x dx = (1/2)e^2 - (1/5)e^2 sin 2x - (1/10)e^2 cos 2x
となったわ。これ出すのも部分積分を何度もしたりしてすんごい面倒だったわ
それで0からπまでの定積分が (2/5)(e^π-1) となるから
(2/5)(e^π-1) > 8 つまり e^π > 21 を示せばいいってことよね
でもどうやって示すのかサッパリだわw
積分を実行しないでうまく示せるとかなのかしら
0083Usagi2025/04/07(月) 13:29:16.69
>>82
ゾロ目が出る確率はひろゆきの言う通り1/36だけど、これって3%未満で十分に低い確率だわ
２、５、３、みたいに３回の数が全部違う確率は6⋅5⋅4/6^3 = 5/9 だからゾロ目が出る確率の20倍よね
だからゾロ目が出る方がずっと珍しいと思うのは全然おかしくないと思うわ
ちょっと子供をバカにしすぎじゃないかしら
0084Usagi2025/04/07(月) 14:01:14.00
統計では5%以下は有意とされることが多いらしいわね
なんで5%なのかは謎だけど
0085Usagi2025/04/07(月) 14:32:16.51
6番だけど e > 2.7、π > 22/7 だから 2.7^(22/7) > 21 を示せばいいわよね
つまり 2.7^22 > 21^7 を示せばいいわねって思ったけどやっぱりわからないわw
0086Igusa2025/04/07(月) 19:00:18.98
上手い仕掛けがあって誘導問題でそれに気付かせるとかじゃないとちょっとね…
0087陽気な名無しさん2025/04/07(月) 19:34:40.68
>>83
1/36は、0.5%未満である1/216「に比べれば」全然すごくないって意味で言ってるんでしょ
２、５、３、ってのは「ゾロ目ではない」という意味では出やすいけど、そういう意味ではなく
「２、５、３、という特別な並び」とみなしたときに1/216ですごいってことでしょ
２、５、３、を特別な並びと思うかどうか、ゾロ目を特別な並びと思うかどうか、
ゾロ目の中でも1だけのゾロ目を特別な並びと思うかどうか、などは各個人の価値観の問題で、
数学的には「思うかどうか」には意味がないんだけど、何も前提がないのに暗黙の了解のように
無意識下でゾロ目が特別に思ってしまうとか、中でも１のゾロ目を特別に思ってしまうとかを、
数学的に客観的に特別と思うのが当然だと勘違いすることに対する注意喚起でしょ
特に子供を馬鹿にしてるとは思わないわ
大人でもこういう勘違いする人はザラにいるし
0088Usagi2025/04/07(月) 23:14:10.27
やだ間違ってたわ。π < 22/7 だったわ！
この方針なら π > 25/8 を使わないとだめだわ
2.7^(25/8) > 21
⟺ 2.7^25 > 21^8
⟺ 2.7 > 21^8/2.7^24 = (21/2.7^3)^8
なので a = 21/2.7^3 とすると a^8 < 2.7 を示せばいいわ
a = 1.066… < 1.07 だから a^2 < 1.1449 < 1.2
a^4 = (a^2)^2 < 1.44 < 1.5、そして a^8 = (a^4)^2 < 2.25 < 2.7
これでいいかしら！ 26年ぶりに解けたことになるけど全然嬉しくない問題だわw
これやってたらそれだけで試験時間なくなるわね

>>87
おっしゃることは全くその通りなんだけど
そういうことは聞かれたこの子も最初からわかっているように見えるの
ただこの成田って人の顔を立てて、相手をしてあげてる優しい子なだけな気がするの
そういうわけでアタシには大人が当たり前のことを子供相手に賢しらに言っている茶番に見えちゃったのよ
つーかアタシがこの子たちの中にいたとしたらおそらく内心キレるからw
個別の目の組み合わせの発生確率が等しいのは当たり前だし
その一方で、目の組み合わせの種類で分類すれば発生確率が異なると考えるのも全く妥当な観点だわ
だからこそポーカーみたいなゲームが成立するわけじゃない？
人間は物事を分類することで科学的に思考できるのだとアタシは思っているわ
0091Igusa2025/04/27(日) 21:32:49.44
知恵袋の高校数学カテで見つけたけど、もしかしたら高校生向けの問題じゃないかもしれないわね
0093陽気な名無しさん2025/04/29(火) 15:45:50.65
ふつう助教って学位がないとなれないわよね？
23歳で学位って、飛び級しても無理な気がするんだけど、
この方はどういうことなのかしらね？
0094陽気な名無しさん2025/04/29(火) 20:57:06.93
学位は必須じゃないのでは
例えば上野千鶴子も博士号は持ってない
0095陽気な名無しさん2025/04/30(水) 07:16:37.87
文系は学位なしは普通だと思うわ
でも数学は最低限学位が条件が普通じゃないかしら
学位持ちの職無しもあぶれていることだし
0097陽気な名無しさん2025/04/30(水) 09:25:31.24
学位もちの職なしがあぶれているということは
学位もそれほどあてにならんということだろう
そのへんがどうクリアされたかNHKの番組であかされるのかな？
0098陽気な名無しさん2025/04/30(水) 13:52:42.63
>>96
面白いわね
そこに載ってる三つの証明どれも難しくないわね
でもその他の証明を考えようとしてもなかなか浮かばないわね

>>97
番組が楽しみね
0101Igusa2025/05/01(木) 22:17:43.66
あらホントだわおかしいわね
f(a_k)=0ね
a_k→∞をどう使うかという話なんだけど
0102Igusa2025/05/02(金) 18:28:37.96
90、アタシには分からないわ
知恵袋見に行ったら質問消されてたわ
回答付かなかったのかしら？
0103Usagi2025/05/03(土) 22:32:01.71
>>101
a_k→∞っていう条件は必要ないんじゃないかしら
a_1, a_2, … がすべて異なるってだけで十分よね？
f(x)が整式ならf(x) = 0となるxは高々有限個だから矛盾、でいいわよね

(2)は a_k = kπとすると 0 = F(a_k) = f_1(a_k) となるので(1)から f_1(x) = 0
したがって F(x) = f_2(x) sin x + f_3(x) sin 2x となるけど
今度は b_k = (4k+1)π/2 とすると 0 = F(b_k) = f_2(b_k) となるので(1)から f_2(x) = 0
したがって F(x) = f_3(x) sin 2x だけど
c_k = (4k+1)π/4 とすると 0 = F(c_k) = f_3(c_k) となるので(1)から f_3(x) = 0
これでいいかしら
0104Igusa2025/05/03(土) 23:53:40.88
>>103
＞a_k→∞っていう条件は必要ないんじゃないかしら

そうなのよね…
だから阪大の先生がこれをわざわざ付けたってことは

＞f(x)が整式ならf(x) = 0となるxは高々有限個

これを妄りに使ってはいけない、と考えてる可能性がある気がするの
少なくとも高校数学の範囲ではダメ、と
0105Igusa2025/05/04(日) 07:40:33.90
あるいは使ってもいいと思ってるけど、高校や予備校の教師から批判されないようにつけたとか

(2)はそれでいいと思うわ！
0106Usagi2025/05/04(日) 11:56:33.74
>>104
いや、f(x)がn次の整式ならf(x) = 0の実数解が高々n個となることは帰納法で簡単に示せるわ
f(x)が1次式の場合は、高々1個なのはすぐわかるわ
f(x)が(n+1)次式の場合、もし f(x) = 0 に解がなければそれで終わり
もしあるaに対して f(a) = 0 となるなら、因数定理によりあるn次式g(x)があって f(x) = (x-a)g(x) となるわ
帰納法の仮定から g(x) = 0 の解は高々n個だから、f(x) = 0 の解はaを入れても高々(n+1)個になるわ
帰納法を使わなくても、上の動画にあるみたいに解いてもいいわよね
いずれにせよ a_k→∞ という条件は使わないし意味不明だわ
0107Igusa2025/05/04(日) 12:44:25.60
>>106
なるほど、ありがとう
でも、簡単かどうかに関わらず、多項式のこの性質を証明抜きで使ってはいけない、と入試担当者が考えてそうな感じが伝わってくるのよね
じゃないとa_k→∞なんて条件持ってこないと思うのよ
試験中にちゃんと証明した子と証明抜きで使った子とどう差つけるんだ、ってことにもなりそうだし
0108Usagi2025/05/04(日) 13:04:04.28
>>107
>じゃないとa_k→∞なんて条件持ってこないと思うのよ
うーん、この条件が(1)を解くことにどう関わるのかアタシには全然わからないんだけど？
0109Igusa2025/05/04(日) 13:23:47.80
そうね、アタシがなぜ頑なにそこを言わないかというと
そこがこの問題のちょっと気が利いてるところで、
面白いな、と思ってるからなの
だから考えてみて？もう十分考えたったこと？
0110Usagi2025/05/04(日) 23:50:42.60
もしf(x)が整式ならば、xが十分大きいところではf(x)は単調増加か単調減少になるから、f(x) = 0 となるxが無限に現れないってことかしら？
でもこれをちゃんと示すには帰納法使って微分したりしてむしろ複雑な議論になる気がするわ
0111陽気な名無しさん2025/05/05(月) 15:21:28.91
fがn≧1次式でf(x)=ax^n+…とすると
lim[x→∞]f(x)/x^n=a≠0
しかしx=a[k]とすると
lim[k→∞]f(a[k])/a[k]^n=0
なので矛盾

出題意図はこれだとアタシャ思うがねぇ
0112Igusa2025/05/05(月) 15:22:54.61
名前入れ忘れたわ！

だから阪大の先生が96見たら嬉々として解法を1つ付け加えるはずよ
0113Usagi2025/05/05(月) 23:53:25.74
>>111
それは正しいと思うけど、高校数学の範囲でそれで証明したことになるのかしら
だってそもそも極限の定義自体、高校で習うの？
lim[x→∞] g(x) = a はどんなε > 0 に対してもあるXがあって、任意の x > X に対して |g(x) - a| < εという意味だとか断るなら、ε= |a| として矛盾を導けるけど
そういうことを言わない限りアタシにはとてもいい加減なものに見えてしまうわ
だからもしこれが想定解法なら世の中おかしいと思うのw
limの定義を使わないなら、あるXがあって任意の x > X に対して g(x) ≠ 0 となるということを示すことになって
すると>>110みたいな話になると思ったのよね
0114陽気な名無しさん2025/05/06(火) 07:30:59.42
高校数学におけるlimの扱いが中途半端なのよね。
それならlimなんて高校でやらなきゃいいじゃないとも思うけど、
そうするとlimやるのって理系に進学したうちの一部の学生しか目にしなくなるのよね。
limの雰囲気だけでも多くの高校生に見せてあげたいってことなのかしら。

理系に進んでもε-Nやらε-δやらやるのなんてごく限られるだろうけどね。
てか、漠然とした理解のない状態でいきなり厳密な定義やられたら、
これまで以上に脱落する人が多くなりそうな気もするわ。

極限値を求める「計算問題」ならいいけど、
証明問題でlim使うのは大学受験では良くないかもね。
0115Igusa2025/05/06(火) 07:42:11.05
>>113
そんな潔癖症発症したらおちおち微分もできないじゃない
いくら難癖つけられてもa[k]→∞の使い道をアタシは他に思い浮かべられないわ
0116陽気な名無しさん2025/05/06(火) 08:10:23.72
>>Igusa
難癖はちょっと言い過ぎではないかしら。

もう一度問題見直してみたけど、単調増加とlimの条件は、
単に(2)のヒントとして書いてあるだけじゃないかしら、って気がしたわ。
この条件があると、a_k = kπとすると、みたいなの考えやすくなりそうだし。

(1)だけならUsagiの>>103と>>106で高校レベルでもOKだし、
高校レベル度外視したとしてもこれが一番簡潔ではないかしら。
0117Igusa2025/05/06(火) 14:30:14.31
言い過ぎたと思われるなら謝るわ

ごめんなさい
0118Usagi2025/05/07(水) 01:23:47.47
>>116
確かに単調増加の条件も不必要ね
でもこれらの条件が加わったからって(2)の答えが思いつきやすくなっているかは疑問だわ

>>117
アタシの方こそいぢわるな言い方してごめんなさい
アタシが難癖つけてるのはあなたじゃなくて、もしこれが想定解法だとしたらだけど
出題した阪大、もっといえば極限の定義を教えないのに極限の問題を入試で解かせるこの国の仕組みよw
そもそも lim[k→∞] a_k = ∞ なんて書き方は安易に教えるべきでないのよ
こういうのを教えているせいで、おそらく理系学生でも数学科以外のほとんどの人は ∞ を数だと思ってるんじゃないかしら
（そういう立場もあるみたいだけど）

実際、>>96の別解１もめちゃくちゃじゃないの
「lim[x→∞] sin x は1と-1との間の値を振動するが」と書かれているけれど
lim[x→∞] sin x は定義されないからこれは意味をなさない文よ
「lim[x→∞] (a_0x^n + a_1x^(n-1) + … + a_n) は a_0 > 0 のとき +∞, a_0 < 0 のとき -∞ となって不合理である」
も論理が飛躍しているわよね？ 不合理となる理由は
(★)「あるxがあって a_0x^n + a_1x^(n-1) + … + a_n > 1 または a_0x^n + a_1x^(n-1) + … + a_n < -1 となるから」
よね？ これを言わなければ証明になってないと思うの
解答を書いている人がlimの意味を理解していないからこういうことになるのよ
そしてそういう人が発生するのは、定義を習わないものを習わせる学習指導要領のせいよ！

じゃあ(★)はどうやって示すのかしら？
f(x) = a_0x^n + a_1x^(n-1) + … + a_n として、(★)が成り立たない仮定すると
すべてのxに対して |f(x)| ≤ 1 となるから lim[x→∞] |f(x)| = ∞ と矛盾、って言えばいいわね
でもじゃあ、そもそも lim[x→∞] |f(x)| = ∞ となることは示さなくていいのかしら？
高校の教科書にそうだと書かれているかしらないけど、ちゃんと証明するのは簡単かしら？

まあlimの定義を使うなら
g(x) = 1 + a_1/a_0x + … + a_n/a_0x^n とすると lim[x→∞] g(x) = 1 なので
あるXがあって、任意の x > X に対して 9/10 < g(x) < 11/10 となる
したがって、 x > X かつ x > (10/9|a_0|)^(1/n) となるxをとれば |f(x)| = |a_0x^n g(x)| = |a_0x^n| g(x) > 1
とかすれば(★)を示せるけどね
0119Igusa2025/05/07(水) 07:40:26.40
sin(P(x))=P(sinx)
0120Igusa2025/05/12(月) 19:23:34.80
保守がてら別の年の阪大の過去問見てふと疑問に思ったこと書いとくわ

実数係数の2次多項式f(x)で任意の整数nに対してf(n)が整数の3乗になるものは存在するか？
0121陽気な名無しさん2025/05/18(日) 07:38:23.38
保守がてら書かれたものをちょっとだけ考えてみたわ
全然深く考えてないから大したことは書けないけど

>>119
とりあえずP(x)=0と、P(x)=xがその式を満たすことはわかるけど、
その式を満たすP(x)が他にあるのかないのか、あるとすればどのようなものか、
まではパッと見わからないわ
なさそうな気はするけど

>>120
これもなさそうな気はするけど、この疑問はもう少しゆるい疑問に拡張できるわね
「実数係数の次数が3の倍数でない多項式f(x)で任意の整数nに対してf(n)が整数の3乗になるものは存在するか？」
次数nが３の倍数n=3mならば、f(x)=x^n=x^(3m)=(x^m)^3だから存在することは明らかだけど、
次数が３の倍数でないとなると難しいのではないかしら？
0122陽気な名無しさん2025/05/18(日) 07:44:02.01
>>120
これさらに一般化できるわね
「実数係数の次数が素数pの倍数でない多項式f(x)で任意の整数nに対してf(n)が整数のp乗になるものは存在するか？」
さらに
「実数係数の次数がnの倍数でない多項式f(x)で任意の整数mに対してf(m)が整数のn乗になるものは存在するか？」
素数の条件を外すとますます難しくなりそうね
0123Igusa2025/05/18(日) 10:27:07.56
もしもsinxが多項式P(x)なら
sin(P(x))=P(sinx)
が成り立つとふと思ったのよね
こういう些細なことって思いついた瞬間にどこかに残しておかないとすぐ忘れるのよアタシ

もう少し一般に実数係数の多項式Q(x),R(x)で
sin(Q(x))=R(sinx)
が任意の実数xに対して成り立つものをすべて求められるかしら？


阪大のはこれね
https://x.com/TIMEISLIMITED_R/status/1796787013129294314
0124陽気な名無しさん2025/05/19(月) 07:54:52.11
>>123
>もしもsinxが多項式P(x)なら

これまでのIgusaさんの投稿を見る限りかなり数学的素養がおありのように見受けられるので、
sinxをマクローリン展開したらどうなるかはご存じ、ですよね？
そもそもP(x)が多項式であろうとなかろうと、sinx=P(x)とすれば
sin(P(x))=P(sinx)＝sin(sinx)=P(P(x))なわけで、
申し訳ないけれど、これのどこが書き残しておくべき思い付きなのかわからないわ
ごめんなさいね

P(x）やQ(x）やR(x）を、sinxとイコールとかいう条件なしに
sin(P(x))=P(sinx)やsin(Q(x))=R(sinx)をみたすものを全て求められるか、
というのはけっこうやりごたえがありそうね
>>121のP(x)=0と、P(x)=xがみたすから、存在することは明らかになったけれど、
全て求められるかと言われると簡単ではなさそうね
なんとなくPでも、QとR別々でも良くても、ないんじゃないかなあ、という気はするけど

というかPやQやRを実数係数の多項式に限定しなくても、
cosxやら指数、対数関数やら、もっと一般の関数に広げたとすると、
sinx=P(x)がみたすから、P(x)=0と、P(x)=x以外にも存在することは明らかだけど、
これら以外にも存在するかと言われたらどうかしら？
やっぱり難しそうな気がするけど。
全て求めよと言われたら結構な難題ではないかしら。

阪大のは誘導問題があるようだから、
ちょっとじっくり考えればわかりそうな気もするわ。
なかなかそんな時間取れなさそうだけど。
0125Igusa2025/05/19(月) 08:03:29.69
え？
3倍角の公式があるでしょうよ
0126陽気な名無しさん2025/05/19(月) 08:19:15.28
え、3倍角？ああそうかQ(x）=3x、R(x）=3x-4x^3ってことね
あるわね。
ってことは一般にn倍角の公式からsin(Q(x))=R(sinx)を満たす多項式は、
どんどん見つけられそうね。

そうすると次の疑問は、n倍角系列の解以外にどんなものがあるか、だわね。
存在するすべての解を求めるのはどうしたらいいかしら？
やっぱり難しそうだわ。
0128Usagi2025/05/19(月) 21:43:54.78
>>120についてだけど、これは簡単にわかるわよ
条件を満たす f(x) = ax^2 + bx + c が存在するとしましょう
a > 0 として考えるわね（a < 0 の場合は -f(x) を改めて f(x) と置き直せばいいわ）
十分大きい自然数mを取れば、f(m) ≥ 0 かつ f(x)は x ≥ m で狭義単調増加となるわよね
この時、0以上のすべての整数kについて f(m+k) ≥ k^3 となることをkに関する帰納法で示すわ
k = 0 の場合 f(m) ≥ 0^3 は仮定から成り立つわ
kのとき成り立つとすると、f(m+k+1) > f(m+k) ≥ k^3 だけど
条件からf(m+k+1)は立方数で、k^3の次に小さい立方数は(k+1)^3だから f(m+k+1) ≥ (k+1)^3 となるわ
これで帰納法は完了
したがって g(x) = f(x) - (x-m)^3 とすると、m以上の全ての整数nに対して g(n) > 0 となるわ
けれど g(x) は3次関数でx^3の係数が -1 だから、あるMがあってx > M なら g(x) < 0 となるから矛盾よ

この論法はf(x)が4次以上の場合は使えないから、一般化された問題の方はわからないけれど
0129Usagi2025/05/19(月) 22:04:58.99
>>126
Q^1(x) = Q(x), Q^(k+1)(x) = Q(Q^k(x)) と定義するわ。R^k(x)も同様ね
sin(Q(x)) = R(sin x) が成り立つなら、sin(Q^n(x)) = R^n(sin x) となることがnに関する帰納法で示せるわ
n = 1のときは仮定から成り立つわ。n = k で成り立つとすると
sin(Q^(k+1)(x)) = sin(Q(Q^k(x))) = R(sin(Q^k(x))) = R(R^k(sin x)) = R^(k+1)(sin x)
となるので n = k+1 でも成り立つわ
したがって例えば Q(x) = 3x, R(x) = 3x - 4x^3 から条件を満たすペアが無限に作れるわ
他にどんなのものがあるのかはわからないけど
0130Usagi2025/05/19(月) 23:07:31.46
ていうかもっと一般的に
sin(Q(x)) = R(sin x) かつ sin(S(x)) = T(sin x) ならば
sin((Q∘S)(x)) = sin(Q(S(x))) = R(sin(S(x))) =R(T(sin x)) = (R∘T)(sin x)
だから Q∘SとR∘Tのペアも条件を満たすわね。面白いわ
おおもとになるのがn倍角の公式から出てくるものに限られるのかどうかが疑問ね
0131Igusa2025/05/20(火) 05:16:46.17
>>128
なるほど
ありがとう
0132Igusa2025/05/20(火) 05:18:54.14
sin(Q(x))=R(sinx)
の両辺を微分するとQ(x)が一次式ってのは(多分簡単に)分かるんだけど、その後がね…
0134Usagi2025/05/20(火) 10:02:41.55
なんで1次式ってわかるのかしら
でも言われて気づいたけど>>130でQとSが1次式の場合ってQ∘Sも1次式になるわね
最初にn倍角の公式からスタートした場合、このやり方で合成しても結局n倍角の公式しか出てこないのね
0135Igusa2025/05/20(火) 12:46:01.56
sin(Q(x))=R(sinx)
を微分すると
cos(Q(x))Q'(x)=R'(sinx)cosx
右辺は有界である。なぜなら
|R'(sinx)cosx|≦| R'(sinx)|≦max_{x∈[-1,1]}|R'(x)|
だから。したがって左辺も有界。
cos(Q(x))Q'(x)が有界ということはQ'(x)が有界。
ということはQ'(x)は定数。ということはQ(x)は高々一次式。
0136陽気な名無しさん2025/05/20(火) 16:12:17.18
なるほどね、面白いわね。
Q(x)が高々一次式ってことは納得したわ。
ということはQ(x)は0次式か一次式ってことね。

Q(x)が0次式の場合を考えると、0次式って定数だからsin(Q(x))も定数よね。
一方R(sinx)はsinxは[-1, 1]を動くからR(sinx)が定数ならR自身が定数関数よね。
よってQ(x)=k, R(x)=sinkが解、特にP(x)（=Q(x)=R(x)）の場合はP(x)=0のみね。

Q(x)が一次式の場合Q(x)=ax+b（a≠0）と表わされるけど、
b=0の時、aが自然数ならn倍角の公式だし、
負の整数でもn倍角の公式で-Rにするだけよね。
aが有理数の時は、例えば1/2の時を考えると半角の公式になるけど、
これ平方根出てくるわね。Rは多項式では無理ね。

（ここからは単なる想像よ）整数でない有理式で一番シンプルと思われる1/2でダメなら、
aはやっぱり整数でないとダメなんじゃないかしら。

とりあえず今パッと思いついたのはここまで。
aが無理数の場合やb≠0の場合はまだ考えてないわ。
0137Usagi2025/05/20(火) 22:17:43.59
とりあえずQ(x) = ax+b で sin(Q(x)) = R(sin x) が成り立つとすると、b = kπ/2 (kは整数)でなければいけないと思うの
背理法でb ≠ kπ/2と仮定するわ
するとcos b ≠ 0かつsin b ≠ 0よね
R(-sin x) = R(sin(-x)) = sin(Q(-x)) = sin(-ax+b) = -sin(ax-b) なので
R(sin x) - R(-sin x) = sin(ax+b) + sin(ax-b) = 2(sin ax)(cos b)
R(sin x) + R(-sin x) = sin(ax+b) - sin(ax-b) = 2(cos ax)(sin b)
となるけれど、 cos b ≠ 0, sin b ≠ 0なので多項式S(x), C(x)を
S(x) = {R(x) - R(-x)}/(2cos b)
C(x) = {R(x) + R(-x)}/(2sin b)
で定義すると S(sin x) = sin ax, C(sin x) = cos ax となるわ
{S(sin x)}^2 + {C(sin x)}^2 = sin^2 ax + cos^2 ax = 1
なので、すべてのy∈[-1, 1]について {S(y)}^2 + {C(y)}^2 = 1 となるけれど
これは多項式S(x)もC(x)も0次式、つまり定数でなければいけないことを意味するわ
するとsin axとcos axも定数ということになってこれは矛盾よね？
0138Igusa2025/05/21(水) 05:12:29.72
賢いわぁ
0139Igusa2025/05/21(水) 05:45:52.45
aは整数としてもたとえばa=2
つまりsin2xなんかはsinxの多項式で書けるのかしら
0140陽気な名無しさん2025/05/21(水) 08:46:06.52
>>139
無理っぽいわね
aは奇数の時のみ大丈夫かしら

>>137
ごめんなさい、
>すべてのy∈[-1, 1]について {S(y)}^2 + {C(y)}^2 = 1 となるけれど
これは多項式S(x)もC(x)も0次式、つまり定数でなければいけないことを意味する
ここがちょっとよくわからないわ
多項式同士の和や差が定数になることは珍しくないと思うんだけど、
多項式の二乗同士だとそういうことがあり得ない、ということ？
あり得なさそうだとは思うんだけど、それが言える根拠がよくわからないわ
0141陽気な名無しさん2025/05/21(水) 09:10:12.91
sinのn倍角の公式は、
sin nx=sin x Σ(p=0→|(n-1)/2|){(-1)^p (n-p-1からp選ぶ組合せ)(2cos x)^(n-2p-1)
とのことなので、n=aが奇数の時はcosが偶数乗になってsinで表せるわ
n=aが偶数の時はcosが奇数乗になってsinで表そうとしてもcosが残るわね
だからやっぱりaは奇数の時のみ大丈夫ね
0142Usagi2025/05/21(水) 11:29:15.33
>>140
根拠なく感覚で書いてたわ。あたしダメね。でも分かったわ
S(x)がn次式 (n > 0)でn次の係数がtだとするわ。S(x) = tx^n + …
すると {S(x)}^2 は2n次式で、2n次の係数はt^2だから正ね
すると {C(x)}^2 = 1 - {S(x)}^2 も2n次式で2n次の係数は -t^2 になるわ
けれど{C(x)}^2も{S(x)}^2と同じで2n次の係数は正になるはずだから矛盾
0143陽気な名無しさん2025/05/21(水) 12:37:31.16
>>142
なるほど納得！
0144Igusa2025/05/21(水) 19:19:20.70
たとえ複素数係数でも定数よね
0145Usagi2025/05/21(水) 21:52:53.99
わかったわ
sin(ax + kπ/2) = R(sin x) が成り立つとするわ。 sin x = sin(π-x) だから
sin(ax + kπ/2) = R(sin x) = R(sin (π-x)) = sin(a(π-x) + kπ/2) = sin(aπ - ax + kπ/2) だから
0 = sin(ax + kπ/2) - sin(aπ - ax + kπ/2) = 2cos((a+k)π/2) sin(ax - aπ/2)
sin(ax - aπ/2) はxが動けば0以外の値もとるから、これが任意のxについて成り立つということは
cos((a+k)π/2) = 0
を意味するわ。つまりある（負も含む）奇数mがあって(a+k)π/2 = mπ/2、つまり
a+k = m
となるわ
したがって条件を満たす Q(x) = ax + kπ/2 ではaは整数で、aが奇数かつkが偶数、もしくはaが偶数かつkが奇数のどちらかに限られるわ
そういうQ(x)に対してsin(Q(x)) = R(sin x)となるR(x)が必ず存在することは帰納法で示せそうね

>>144
どうしてかしら？
0146Igusa2025/05/22(木) 04:05:44.68
>>145
なるほど
お見事だわ
0147Igusa2025/05/22(木) 07:39:43.31
どっちもなんとなく思いついたわりに適切な難易度でホッとしたわ
0150Usagi2025/05/26(月) 20:19:19.94
なんでアタシと言い争ってた相手と同一人物扱いされなきゃいけないのかしら

>>148
これは1次式って条件があるから簡単だけれど、同じ論法は {S(x)}^2 + {C(x)}^2 = 1 には使えないわよね
それで考えてみたけどこうかしら。iを虚数単位として
1 = {S(x)}^2 + {C(x)}^2 = {S(x) - iC(x)}{S(x) + iC(x)}
だけれど、仮に S(x) - iC(x) と S(x) + iC(x) のどちらか、例えば前者が定数でなくて1次以上だとすると、代数学の基本定理から複素数の範囲ではこれに根αが存在数するけれど
1 = {S(α) - iC(α)}{S(α) + iC(α)} = 0 ⋅ {S(α) + iC(α)} = 0
となって矛盾よね
したがって S(x) - iC(x) も S(x) + iC(x) も定数ということになって、このことからS(x)もC(x)も定数だとわかるかしら

Igusaさんはどういうふうに考えてらしたのかしら
0151Igusa2025/05/26(月) 21:21:01.01
アタシも最初それと似たような感じで考えてたわよ
多項式f(x),g(x)についてdeg(f(x)g(x))=deg(f(x))+deg(g(x))が成り立つことを
(S(x)+iC(x))(S(x)-iC(x))=1
に使うとS(x)+iC(x)もS(x)-iC(x)も定数
ゆえにS(x)もC(x)も定数
0152Igusa2025/05/27(火) 20:09:13.10
京大風にいくなら
C(x)^2=1-S(x)^2=(1-S(x))(1+S(x))
1-S(x)と1+S(x)は互いに素だから
1-S(x)=f(x)^2
1+S(x)=g(x)^2
となるf(x),g(x)が存在するはず…ここからなにか矛盾が出てこないかしら
たとえば定数でない多項式でC^2+S^2=1,degC≧degSをみたすものが存在するとしてそのうちSの次数が最小のものをとってくるとか

適当よ
0153陽気な名無しさん2025/05/29(木) 09:02:58.69
>>152
フェルマーのn=4の時の証明と似たような方法で行けそうね
行けるかしら
0154陽気な名無しさん2025/06/06(金) 00:00:00.77
整数係数の2次多項式f(x)で任意の整数nに対してf(n)が素数の3乗で割り切れないものは存在するか？
0155陽気な名無しさん2025/06/06(金) 13:04:22.39
>>152
こんな感じでどうかしら？

S(x)^2+C(x)^2=1, degC≧degS>0をみたすものが存在するとしてそのうちSの次数が最小のものをとると、
C(x)^2=1-S(x)^2=(1-S(x))(1+S(x))
1-S(x)と1+S(x)は互いに素だから, 1-S(x)=f(x)^2, 1+S(x)=g(x)^2 となるf(x), g(x), degS>degf=degg>0が存在する。
このとき S(x)=1-f(x)^2=g(x)^2-1 であるから、S(x)^2=(1-f(x)^2)(g(x)^2-1)=f(x)^2+g(x)^2-f(x)^2・g(x)^2-1
一方 C(x)^2=(1-S(x))(1+S(x))=f(x)^2・g(x)^2であるから、
S(x)^2+C(x)^2=f(x)^2+g(x)^2-f(x)^2・g(x)^2-1＋f(x)^2・g(x)^2＝f(x)^2+g(x)^2-1=1
よってf(x)^2+g(x)^2=２より{f(x)^2}/2+{g(x)^2}/2=1
以上より f(x)/√2=S'(x), g(x)/√2=C'(x) とすると S'(x)^2+C'(x)^2=1, degS>degC'=degS'>0 となり、
Sの次数の最小性に矛盾する。
0156Igusa2025/06/07(土) 00:16:06.31
なんちゅーまどろっこしい書き方や！
0157Igusa2025/06/07(土) 12:23:19.27
でも考えてくれてありがとう
0158陽気な名無しさん2025/06/10(火) 07:32:26.58
>>156
まどろっこしくない書き方にするとどんな感じになる？
0159Usagi2025/06/10(火) 14:29:26.18
>1-S(x)と1+S(x)は互いに素だから, 1-S(x)=f(x)^2, 1+S(x)=g(x)^2 となるf(x), g(x), degS>degf=degg>0が存在する。
ここからすぐにf(x)^2+g(x)^2=２だと言えるんじゃない？
0160陽気な名無しさん2025/06/11(水) 16:07:03.94
あらまあほんと！
0161陽気な名無しさん2025/06/18(水) 14:44:56.56
あらもう一週間も誰も書き込んでないのね
>>159を踏まえて>>155を書き直してみるわね

S(x)^2+C(x)^2=1, degC≧degS>0をみたすものが存在するとしてそのうちSの次数が最小のものをとると、
C(x)^2=1-S(x)^2=(1-S(x))(1+S(x))
1-S(x)と1+S(x)は互いに素だから, 1-S(x)=f(x)^2, 1+S(x)=g(x)^2 となるf(x), g(x), degS>degf=degg>0が存在する。
よってf(x)^2+g(x)^2=２より{f(x)^2}/2+{g(x)^2}/2=1
以上より f(x)/√2=S'(x), g(x)/√2=C'(x) とすると S'(x)^2+C'(x)^2=1, degS>degC'=degS'>0 となり、
Sの次数の最小性に矛盾する。

これでいいのかな？
0163Igusa2025/06/20(金) 12:15:31.23
この問題に時間使った子が可哀想だわ
でも理科大第一志望ってそんなにいないかしら
0164Usagi2025/06/20(金) 14:37:17.03
私大理系のトップ校のひとつよね？
あたしの中学の時の数学教師理科大出身だったらしいわ
脂肪巨体でちょっと捻くれてるとこあって定期試験が難しいということで一部には少し反感を買っていたようだけど
数学はちゃんと教えてくれてアタシはけっこう好きな先生だったわ
まアタシは数学が得意だったから可愛がってもらえたのかもしれないけど
つべにこの問題のわかりやすい解説があったわ
https://www.youtube.com/watch?v=z-gkBoGp0OE
0165Igusa2025/06/22(日) 07:46:26.22
誰か>>122調べた？
けっこう難しいわね
0167Igusa2025/07/05(土) 16:05:29.44
lim[n→∞] sin1 sin2 sin3…sinn
を求めよ
0168陽気な名無しさん2025/07/07(月) 11:11:22.11
>>167
これはn個の積？
だとしたら絶対値が１未満のものをかけていくんだから
limしたら０になるのでは？
0169Usagi2025/07/07(月) 21:57:00.30
アタシも一瞬そう思ったけど、必ずしもそうでないわ。例えば1以上の自然数nに対して
a_n = (1/2) + (1/2^n)
b_n = a_(n+1)/a_n
と定義すると、すべてのnに対して |b_n| < 1 だけど
lim[n→∞] b_1 b_2 … b_n = lim[n→∞] a_(n+1) = 1/2 となるわ
0170陽気な名無しさん2025/07/09(水) 15:32:41.13
Π (1 - 1/(4n^2)) とか
0171Usagi2025/07/09(水) 22:15:24.41
誰も解かないみたいだからアタシがやってみるわ
kを自然数とするわ
(k-1)πより大きくkπ未満の自然数はちょうど3つか4つあるわね
それらのうち最大のものをl、最小のものをmとすると 2 ≤ l-m < π ね
(kπ-l) + (m-(k-1)π) = π-(l-m) ≤ π-2
なので、kπ-l と m-(k-1)π のうちの小さい方は0より大きく(π-2)/2未満になるわ
もしkπ-l の方が小さいならn_k = l, そして m-(k-1)π の方が小さいならn_k = mと定義するわ
（ kπ-l = m-(k-1)π ならば (2k-1)π = l+m となってπが有理数ということになるからこれはありえないわ）
任意のxに対して|sin x| ≤ |x|だから
|sin l| = |sin(kπ - (kπ-l))| = |sin(kπ-l)| ≤ kπ-l < (π-2)/2
|sin m| = |sin(m-(k-1)π+(k-1)π)| = |sin(m-(k-1)π)| ≤ m-(k-1)π < (π-2)/2
となるから、いずれにせよ |sin n_k| < (π-2)/2 となるわ
n_1, n_2, … n_k はすべて異なる自然数だから
|sin1 sin2 sin3 … sin n_k|
≤ |sin n_1⋅ sin n_2 … sin n_k| 　
= |sin n_1|⋅ |sin n_2| … |sin n_k|
< ((π-2)/2)^k → 0 (k → ∞)
となるわね

>>170
ウォリス積の逆数なのね？ 2/πになるってことかしら
0172Igusa2025/07/12(土) 02:50:54.25
なるほどね
こういうふうにもできるんだ
色々やり方があるのが面白いので出題したわ
このスレにぴったりと思って
0173Igusa2025/07/12(土) 10:56:10.02
だから他のやり方思いついたら是非書き込んでほしいわね

アタシが思いついたのは次のふたつ
|sinx sin2x|≦c
|sinx sin(x+1)|≦d
となるような1未満の正の数c,dを見つける
0174Usagi2025/07/14(月) 00:25:12.10
二番目のは積和公式から
|sinx sin(x+1)| = |-cos(2x+1) + cos1|/2 ≤ (1+cos1)/2
だから
|sin1 sin2 sin3 … sin(2k)| = |sin1 sin2| |sin3 sin4| … |sin(2k-1) sin(2k)| ≤ {(1+cos1)/2}^k → 0 (k → ∞)
ってことよね？
一番目の式はどうして出るのか、そしてそこからどう sin1 sin2 sin3…sinn → 0 を示すのかよくわからないわ
0175Igusa2025/07/14(月) 02:07:24.01
|sin1 sin2|≦c
|sin4 sin8|≦c
|sin16 sin32|≦c
|sin64 sin128|≦c
…
とか
0176Usagi2025/07/16(水) 01:00:58.72
なるほどね。不等式については
sinx sin2x = sin x ⋅ 2sinx cosx = 2 (sinx)^2 cosx
= 2{1-(cosx)^2} cosx = 2cosx - 2(cosx)^3
だからX = cosxとおいて関数 f(X) = 2X-2X^3 が -1≤X≤1 の範囲でとる値を見るのかしら
微分すると f’(X) = 2 - 6X^2 = -6(X+1/√3)(X-1/√3) で変曲点は X = ±1/√3 だから
-1≤X≤1 の範囲では |f(X)| は最大 4√3/9 になって、これは1未満ね
ちょっとめんどくさいけど、これを考えていたの？
0177Igusa2025/07/16(水) 20:00:05.92
えぇ？
|sinx sin2x|^2
= 2 (sinx)^2 (sinx)^2 2(cosx)^2
≦ 3 ( ( (sinx)^2 + (sinx)^2 + 2(cosx)^2 )/3)^3
= 8/9
でしょうよ
0178Igusa2025/07/16(水) 20:24:03.08
>>168
＞>>167
＞これはn個の積？
＞だとしたら絶対値が１未満のものをかけていくんだから
＞limしたら０になるのでは？

去年の入試に
1/3 < Π[n=1→2000] 2^n/(1+2^n) <1/2
を示せ、があるわね
0179Usagi2025/07/17(木) 00:09:31.63
>>177
なるほど、うまく相加相乗使えるのね。でも計算間違ってない？
|sinx sin2x|^2
= 2 (sinx)^2 (sinx)^2 2(cosx)^2
≦ 2 ( ( (sinx)^2 + (sinx)^2 + 2(cosx)^2 )/3)^3
= 2 (2/3)^3
= 16/27
よね

>>178
それは誘導があるのかしら？ ヒントなしなら相当難しそうね
0180Igusa2025/07/20(日) 08:30:52.36
なんでよ？
3にした方が分母と約分できて計算しやすくない？

|sinx sin2x|^2
= 2 (sinx)^2 (sinx)^2 2(cosx)^2
≦ 2 ( ( (sinx)^2 + (sinx)^2 + 2(cosx)^2 )/3)^3
≦ 3 ( ( (sinx)^2 + (sinx)^2 + 2(cosx)^2 )/3)^3
= 2^3/3^2
< 1
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