まずは自然数の定義(ペアノの公理)
(a) 0は自然数である
(b) 自然数nが存在すると、その「次の数」succ(n)が存在し、それもまた自然数である。
(c) 0はどんな自然数の「次の数」でもない。
(d) 自然数a, bがa≠bであるとき、succ(a)≠succ(b)である。
(e) ある命題が0について成り立ち、また「その命題がnについて成り立つならば、その命題はsucc(n)についても成り立つ」ならば、その命題は全ての自然数について成り立つ。
つまり、自然数とは0, succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(succ(...(0)....)))) などの集まりになります。ただ、いちいちsucc succと書くのは面倒なので、いくつか名前をつけておきます。
(f) succ(0)を1と呼ぶ
(g) succ(1)を2と呼ぶ
これらは単に名前をつけただけで、計算しているのではないことに注意してください。
つぎに、足し算+を定義します。
(h) n + 1 = succ(n) である。
(i) succ(n + m) = n + succ(m) である。
このルールを満たすものを足し算と呼ぼう、というわけです。このルールと、自然数の定義から、交換法則や分配法則は導けます。
ここまで、succ(n)が具体的に何か、とか、足し算の意味は何か、といったことを一切扱っていないことに注意してください。どういう意味づけをするかにかかわらず、こういう公理系というルールの上で考えましょう、ということです。
おっと、「等しい」について何も言っていませんでした。ちょっと逆戻りしますが、等しさについて次の性質を認めます。
(j) a = b かつ b = c ならば a = c
(k) a ≠ b かつ b = c ならば a ≠ c
(l) 常に、a = b か a ≠ b のどちらか一方のみが成り立つ
では1 + 1 = 2を証明します。
(h)から、1 + 1 = succ(1)
(f)から、succ(1) = 2
(j)から、1 + 1 = 2 (証明終)