女性のマッサージ付き蒸し風呂が上海にあった
中東にも蒸し風呂で垢すりマッサージがあった
当時中東随一の大国がトルコで中東≒トルコという認識があった

これが前提

その蒸し風呂を国内で開設
上記イメージからトルコ風呂の名称が付けられる
ただし性的サービスは厳禁だった
そのうちトルコ風呂が増えるに連れ隠れて性的サービスを行う者が出てきてエスカレートして行ってトルコ風呂＝性的サービス付きの風呂という認識が広まっていった

長い3行言うなよ
あとはソープランドの歴史とかでググれや