>>99 の出題者さんのコメントも出来ればくれると嬉しいけど。
例によってあたしものぐさ釜だから、問題見て思ったことだけつぶやくわね。
x=y=z=0でない有理数解があるなら、分母払って整数解もあるはずでしょ。
それでその整数解に共通因数があればそれで割ったのも整数解になるはずだから、
３つの数に共通因数のない整数解があるはず。
それでpの条件いじってると、割と簡単に矛盾が導けるんじゃないかしら。
ただ「ひとつだけ0の場合」とか、考えられる場合をチェックし忘れたり、
なにかちょっとでも不備があるとイジワル釜に突っ込まれるかもね。