大学入試の数学の問題を解くゲイ2022
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0833陽気な名無しさん2022/12/31(土) 23:24:48.640
ちなみに主婦さんたちの反応：


662可愛い奥様2022/10/12(水) 20:12:07.38ID:Ao6zC0+g0
「任意の実数x,yに対して、
"x=1ならばx+y=3"または"y=2ならばx+y=3"
が成立する。」

って正しいですか？

663可愛い奥様2022/10/12(水) 20:23:55.57ID:2PBsxrC40
>>662
任意の実数と定義してるのにx=1とかy=2って仮定していいものなの？
よかったとしても、そうするともう一方は自動的に2、もしくは1に決まるからその時点で「任意の実数」という前提が崩れるので正しい正しくないの前に命題としての形をなしてないと思う

664可愛い奥様2022/10/12(水) 21:37:04.82ID:O6U5xl8I0
任意じゃないからね
ブスの言う通りです

670可愛い奥様2022/10/13(木) 06:24:19.64ID:wEHd2s/B0
>>662
偽だと思う

680可愛い奥様2022/10/13(木) 20:11:37.55ID:AlTdBSw20
誰か>>662分かりませんか？
気になります

681可愛い奥様2022/10/13(木) 20:31:01.27ID:i6eYrTlN0
>>680
式以前に文章が成り立っていない

682可愛い奥様2022/10/13(木) 21:49:02.20ID:wEHd2s/B0
>>680
命題　　正しい（真）か正しくない（偽）か判定できる文章や式
任意　　全ての

どんな実数x、yについても
「xが1ならばx+yが3になる」または「yが2ならばx+yが3になる」が成り立つと言う命題なので、偽でしょう
前半の命題の反例はx=1かつy=0、後半はx=2かつx=5など
0834Usagi2023/01/01(日) 14:06:28.350
>>832
これを言語感覚だけで納得するのは難しいと思うの。
ひとつには、この命題は引用されている反応の最後の人みたいに
「任意の実数x,yに対してx=1ならばx+y=3」または「任意の実数x,yに対してy=2ならばx+y=3」
と誤読しやすいことがあるわ。
もうひとつには、数学の「PならばQ」はPが偽のとき自動的に真になるけど
これは自然言語の「PならばQ」の使い方とは違うから、直感的に理解するのが難しいのよ。

問題の命題だけど、もしこれが真でないとすると、ある実数x,yがあって
「x=1ならばx+y=3」と「y=2ならばx+y=3」がともに偽
つまりx=1かつy=2かつx+y≠3となるが、これは矛盾。
したがってこの命題は偽ではありえないから真になるわ。

xとyを固定して考えて、Pを「x=1」、Qを「y=2」、Rを「x+y=3」とおけば
この命題は (P→R)∨(Q→R) と表せるわ。これは (P∧Q)→R と古典論理で同値だから
「x=1かつy=2ならばx+y=3」と同じことになるけど、これは明らかに真よね。

でもこの同値性が、納得しにくいポイントなんだと思うわ。
(P→R)∨(Q→R) が真ならば (P∧Q)→R も真なのは明らかじゃない？
でも逆の (P∧Q)→R が真ならば (P→R)∨(Q→R) も真であるというのは
古典論理では成立するけど、直観主義論理では成立しないの。
これは、これを証明するには背理法を使わなければいけないことを意味するわ。
だからどうしても間接的な証明になるのよ。
0836Usagi2023/01/01(日) 14:48:06.470
>>835
なんでよ？　違うわ
0838Usagi2023/01/01(日) 15:11:25.610
>>837
なるほどね。でも違うわ。
うさぎは子供の時飼ってて好きだったし、セーラームーンも好きだからよ。
0839陽気な名無しさん2023/01/01(日) 21:13:19.670
>>834
ありがとう
0840陽気な名無しさん2023/01/02(月) 10:20:49.240
歳行ってからセーラームーンにハマったのではないとすれば
小学生のときにセーラームーンを見ていたという可能性が高いわけで
そうするとやはり36の年女では？
0841Usagi2023/01/02(月) 21:13:22.640
だから卯年じゃないんだってば
レディに年齢を聞くもんじゃないわっ
0842陽気な名無しさん2023/01/08(日) 16:34:23.330
面白い問題見つけたわ。
問題：
次の条件を満たす実数 k の範囲を求めよ。
(条件) 任意の実数 x に対して、
　　　　　　　 -(x+1)^2 ≦ y ≦ x^2+k
　　　が成り立つような実数 y が存在する。

出典は大学受験用の某塾の某講師の某SNSよ。
0843陽気な名無しさん2023/01/08(日) 19:28:36.110
y=x^2+kとy=-(x+1)^2が接するときのkの値をk_0として
k≧k_0
0844Usagi2023/01/09(月) 23:05:19.630
そこまで書くならk_0をちゃんと求めてあげなさいよ
問題の条件は、すべてのxに対して -(x+1)^2 ≤ x^2+k、つまり 2x^2 + 2x + k+1 ≥ 0 が成り立つことと同値
これはこの２次式の判別式 ≤ 0 であることだから、D/4 = 1^2 - 2(k+1) ≤ 0 から k ≥ -1/2 ね
k = -1/2 のときふたつの放物線が接するのよね
0845Usagi2023/01/09(月) 23:21:41.370
このスレそろそろ落ちるかと思ったけどなかなか落ちないわね
せっかくだから、前スレで解かれないまま残ってる問題を供養してあげたいわ

前スレ136さん
知恵袋に面白そうな問題あったわ

どの3点も同一線上にない n (≥ 2) 個の点があり、どの2点もどちらか一方を向いた矢印で結ばれている。
このとき、次の（条件）をみたす点Rが存在することを示せ。
（条件）点Rから他の任意の点に、矢印を1回または2回たどることで到達できる。


前スレ166さん
素朴すぎる問題かもだけど、どうかしら？
きちんと説明できる？

f(x)は全ての実数に対して定義された関数で、
任意の実数xに対して
f(x)>0
を満たしている
このとき、実数aで
f(a-1)+f(a+1)≧2f(a)
を満たすものが存在することを示せ
0847Usagi2023/01/10(火) 13:19:50.490
>>846
あなたがageてくれたの？ ありがとう
もちろんいろいろな人がたくさんカキコしてスレが盛り上がるのが理想だけど
書き込みがほとんどなくなっちゃったから、結果的に落ちても仕方ないわねって思っただけよ
難しすぎる問題を出しておいて解説やコメントしないで出し逃げする人とか
他人の特に欠点ともいえない部分をあげつらう人とか
そういうのの相手するのも疲れたし
がんばって長文カキコしても、もうほとんど反応ないし
さすがに誰もいないところに長文カキコし続けてひとりでスレを保持するほどアタシ病んでないから

もし暇だったら>>845に引用した問題解いてみてね
08488422023/01/10(火) 14:34:12.710
>>844
その解答、ある意味正解なんだけど、
うさぎさんなら、アタシが「面白い問題」って言った意味
わかってくれると思ったわ。
ちょっと残念。
これだけでは大して面白い問題ではないでしょう？
アタシが「面白い問題」って言った意味はね、この問題、
(条件) 任意の実数 x に対して、
-(x+1)^2 ≦ y ≦ x^2+k
が成り立つような実数 y が存在する。
を、
(条件) 「任意の実数 x に対して、
　　　　　　　 -(x+1)^2 ≦ y ≦ x^2+k」
　　　が成り立つような実数 y が存在する。
と解釈するか、
(条件) 任意の実数 x に対して、
　　　　　　　「 -(x+1)^2 ≦ y ≦ x^2+k
　　　が成り立つような実数 y が存在する。」
と解釈するかで答えが変わってくるのよ。
だから、この問題は、問題文が不適切、ということになるの。
>>844 は、下の解釈で解いた時の解答よね。
ここまで書けば、上の解釈ならどんな解答になるか、もうわかるわよね。
0849陽気な名無しさん2023/01/10(火) 16:48:48.69a
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https://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/mnewsplus/1673295475/

令和4年設計製図問題
https://www.jaeic.or.jp/shiken/1k/1k-mondai.files/1k-2022-2nd-mondai.pdf
解答例
https://www.jaeic.or.jp/shiken/1k/1k-mondai.files/1k-2022-2nd-hyojunkaito-r.pdf

何これ…眩暈するわ
これって何時間以内に仕上げるのかしら。尊敬する(´･ω･｀)
0850Usagi2023/01/11(水) 10:14:36.320
>>848
あらやだ、メタ引っかけ問題だったのね？
上の解釈だと条件は -(x+1)^2の最大値 ≤ x^2+kの最小値 だから k ≥ 0 ね
言い訳ぽいけど、「任意の実数 x に対して、」の最後に読点があるじゃない？
もしこの読点がなければどちらにも読めるけど、これがあると下の解釈に見える気がするわ
もちろん書き言葉での表記上のことだから、この文を口で言ったらどちらにも解釈できるのは確かね
出典元の塾講師さんもこれは問題が不適切っておっしゃってたの？
こういう問題が入試で出て受験生を困惑させたことってあったのかしらね

英語だと上の解釈の場合は
There is some y ∈ ℝ such that for all x ∈ ℝ, …
下の解釈の場合は
For all x ∈ ℝ, there is some y ∈ ℝ such that …
となって混乱の余地がないわね。
そう考えるとこれは日本語特有の難しさね。
0851Usagi2023/01/11(水) 13:24:12.82H
よく考えたら英語でも
There is some y ∈ ℝ such that … for all x ∈ ℝ.
って書いたらどちらの解釈も可能だから、日本語特有ってことでもないわね
ふつう英語でこういう書き方をしないけど、その理由はまさに
どちらの意味で書いたのかという混乱を避けるためよね
08528422023/01/11(水) 17:06:15.760
>>850
出典元は、この問題を例に、
「すべて」と「ある」の注意点
ってタイトルの記事をネット上にあげてるのよ。
0854陽気な名無しさん2023/01/12(木) 07:45:00.060
同業者を口汚く罵ってる…
予備校界隈も恐ろしいわね
0855Usagi2023/01/12(木) 21:31:31.870
>>854
それって

このような出題をする人は、論理の理解が不十分、と言わざるを得ないでしょう

という部分のことかしら？ 口汚い罵りとまではとても言えないと思うけど
もしそういう問題が出されたら困るわけだし
実際にそういうことがあったのかどうかは知らないけど

まあでも的外れではあるわね
そういう出題をする人がいたとしたら、それは論理の理解が不十分なのではなく、日本語能力が不十分なだけよね
このふたつを混同してはいけないと思うわ
0857Usagi2023/01/12(木) 22:16:07.400
ただの一般論のようにも見えるわ
謎の一生懸命さみたいなものは感じるけど
でもtwitterってそういう所なのかもしれないし
アタシはえっちな画像のチェック以外でtwitter使わないからよく分からないわw
二番目のツイートは具体例がなくて何を言いたいのか分からないわ
0859Usagi2023/01/13(金) 16:38:48.770
あら、小競り合いがあったのね
元の問題のツイートは消されちゃったみたいだから、どういう問題文だったのか分からないけど
どうでもいいけど、二番目のツイートの人が

「∀x∃u 」であり「1+t^3-t>0（tの範囲求まらない）」と答える受験生はいないのか

て書いてるけど 1+t^3-t>0 ならtの範囲は決まるわよね
カルダノの公式使うと
t > ∛(-(1/2) + √(23/108)) + ∛(-(1/2) - √(23/108)) ≈ -1.325
てなるわね
0860陽気な名無しさん2023/01/22(日) 12:05:54.140
うさぎが数直線上をぴょんぴょん飛び跳ねています。
よく観察すると、うさぎは
0にいれば1秒後に確率√2-1で1へ、確率2-√2で-1へ移動し、
0にいなければ1秒後に確率1/2で+1、確率1/2で-1移動する
ようです。
0にいたうさぎがn秒後に再び0にいる確率が
無理数になるのはnがいくつのときでしょう？
0861Usagi2023/01/22(日) 21:20:27.240
ヤダ、面白い問題ね！ コレっていぢわる問題かしら？
無理数になる時はない、がアタシの答えよ。

簡単のためα= 2-√2, β=√2-1とおくわね。
うさぎがn秒後にxの位置にいる確率をP(x, n)で表すわね。
P(0, n)が常に有理数であることをnに関する帰納法で示すわ。

n = 0 の場合は、P(0, 0) = 1 だから成り立っているわね。

次に、n以下の全てのkについてP(0, k)が有理数であると仮定するわ。
このとき、P(0, n+1)も有理数であることを示したいんだけど、そのために
n以下の任意のkについて(★)が成り立つことをkに関する帰納法で示すわ。

(★) 任意の正の自然数mに対して、ある有理数qがあって P(-m, k) = qα, P(m, k) = qβ となる

(★)の証明：
k = 0 の場合は、P(-m, 0) = P(m, 0) = 0 だから q = 0 とすればいいわ。

次に、ある k < n で(★)が成り立つと仮定するわ。
・m = 1の場合
P(-1, k+1) = αP(0, k) + (1/2)P(-2, k)
P(1, k+1) = βP(0, k) + (1/2)P(2, k)
よね。帰納法の仮定からある有理数qがあって P(-2, k) = qβ, P(2, k) = qβ となるわ。
P(0, k)は有理数だから r = P(0, k)+(1/2)q とおくとrは有理数で P(-1, k+1) = rα, P(1, k+1) = rβ となるわ。

・m ≥ 2の場合
P(-m, k+1) = (1/2)P(-m+1, k) + (1/2)P(-m-1, k)
P(m, k+1) = (1/2)P(m-1, k) + (1/2)P(m+1, k)
よね。帰納法の仮定からある有理数qがあって P(-m+1, k) = qα, P(m-1, k) = qβ
同様に、ある有理数rがあって P(-m-1, k) = rα, P(m+1, k) = rβ となるわ。
したがって s = (1/2)(q+r)とおくとsは有理数で P(-m, k+1) = sα, P(m, k+1) = sβ となるわ。

これで(★)が示されたわね。

仕上げよ。(★)からある有理数qがあってP(-1, n) = qα, P(1, n) = qβ となるわ。α+β = 1 だから
P(0, n+1) = (1/2)P(-1, n) + (1/2)P(1, n) = (1/2)q(α+β) = (1/2)q
は有理数ね。これで最初の帰納法が完了したわ！

これで正解かしら？

ところで、P(0, n)はnが奇数の時0になるのは考えればすぐ分かるのよね。
nが偶数の時を計算してみたら P(0, 2) = 1/2, P(0, 4) = 3/8, (0, 6) = 5/16, P(0, 8) = 35/128
とかなったけど、一般式は分かるのかしらね？
0863Usagi2023/01/23(月) 01:03:29.490
>>862
まあ！
そうか、よく考えてみるとP(0, n)は上のα, βの値に依存しないからα=β=1/2の時を計算すればいいのよね
nが偶数の時、n回動くうち、正の方向にn/2回、負の方向にn/2回動けば0に戻るんだから
正の方向に動くn/2回をn回から選ぶことを考えると C(n, n/2) 通りの動き方があって
それぞれが発生する確率が (1/2)^n だから、P(0, n) = C(n, n/2)/2^n になるわね！

ところでnが奇数の時はC(n, n/2)は定義されないのよね？ それとも0なの？

そして>>860に答えるのに、そんなに複雑に考える必要なかったわね
n秒後にうさぎの原点からの距離が m (≥ 0) である確率をQ(m, n)とすると
Q(0, n+1) = (1/2)Q(1, n)
そして m ≥ 1 に対して
Q(m, n+1) = (1/2)Q(m-1, n) + (1/2)Q(m+1, n)
よね。Q(m, 0) はすべて有理数だから、Q(m, n) も全て有理数になるのは帰納法で簡単に分かるわ
>>861と比較すると P(0, n) = Q(0, n), P(-m, n) = αQ(m, n), P(m, n) = βQ(m, n) の関係があるわ
ついでに861の途中で「 P(-2, k) = qβ」て書いたのは「 P(-2, k) = qα」の書き間違いよ
0864陽気な名無しさん2023/01/23(月) 07:15:15.180
>>861
★が成り立つとは気付きませんでした
お見事です
0865Usagi2023/01/23(月) 21:16:21.480
>>864
お褒めいただけて嬉しいわ。

863に間違いがあったわ。正しくは
Q(0, n+1) = (1/2)Q(1, n)
Q(1, n+1) = Q(0, n) + (1/2)Q(2, n)
そして m ≥ 2 に対して
Q(m, n+1) = (1/2)Q(m-1, n) + (1/2)Q(m+1, n)
だったわ。
あと P(-m, n) = αQ(m, n), P(m, n) = βQ(m, n) ていうのは m ≥ 1 の時の話ね
0866陽気な名無しさん2023/01/25(水) 14:17:44.420
αを正の実数とする。０≦θ≦πにおけるθの関数f(θ)を、座標平面上の2点
A(-α,-３), P(θ+sinθ, cosθ) 間の距離APの２乗として定める。
(1) 0<θ<πの範囲に f'(θ)=0となるθがただ１つ存在することを示せ。
(2)以下が成り立つようなαの範囲を求めよ。
　０≦θ≦πにおけるθの関数f(θ)は、区間 0<θ<π/2 のある点において最大になる。

東大理系2021第5問ですってよ。
0867陽気な名無しさん2023/01/25(水) 20:20:53.520
恐ろしくつまらん問題
0868Usagi2023/01/25(水) 23:54:43.510
解いてみたわよ。

(1) f(θ) = (θ+sinθ+α)^2 + (cosθ+3)^2 = (θ+α)^2 + 2(θ+α)sinθ + 6cosθ + 10
f’(θ) = 2(θ+α)(1+cosθ) - 4sinθ
だから f’(θ) = 0 ⇔ (θ+α)(1+cosθ) = 2sinθ
0<θ<πだと1+cosθ≠0だから、これは
θ+α = 2sinθ/(1+cosθ) = 4sin(θ/2)cos(θ/2)/2cos^2(θ/2) = 2tan(θ/2)
ということだけど、y =θ+α のグラフ と y = 2tan(θ/2) のグラフは
0<θ<πの範囲でただ一点で交わるから、これを満たすθがただひとつ存在するわ。

(2) 0<θ<πのとき f’(θ)は、y =θ+α のグラフ と y = 2tan(θ/2) のグラフの交点の
左側で正、右側で負だから、交点のところのθでfは最大値を取るの。
だから交点が <π/2 にある条件を考えると π/2 +α < 2tan((π/2 )/2) = 2
つまり α < 2 - π/2 ね。

これであってるかしら？
08698662023/01/26(木) 08:19:22.150
みごとね。
思ったよりスッキリ解いてくれたわ。
もううさぎにとって東大入試なんて難しくないのね。
0870陽気な名無しさん2023/01/26(木) 09:54:32.740
ちなみに>>860は名古屋大学の改題

なぜかリンク貼れないから興味があれば検索して下さい
2005年前期4番(a)
0871Usagi2023/01/26(木) 11:08:52.590
>>869
他に解き方あるのかしら？って思ったけど、ネットで調べたら3階微分まで調べる解答が出てきて驚いたわ
大学側もそういう解答を想定してたのかしら？
こういう問題2●年ぶりに解いたけど、あたしが受験数学が嫌いだったのを思い出したわ
何の意味もない計算をゴリゴリさせられるのが嫌だったの
特にこの問題の場合、数学的思考力をまったく必要としないし
しかも実際の入試だと短い制限時間付きなのよね
そんな試験で一体、受験生の何が分かるっていうのよね
根性かしら？w
0872Usagi2023/01/26(木) 21:54:42.280
>>867
よければ845の問題解いてみて
0873Usagi2023/01/26(木) 22:14:26.990
0 < a < 1 かつ 0 < b < 1のとき、ab ≤ 1/4 または (1-a)(1-b) ≤ 1/4 が成り立つことを示せ。

これ津田塾大の問題らしいの。マン子大よね？w
でもあたしにはこっちの方が上の東大の問題より難しいわ
上の東大の問題って、計算が難しいというか大変なだけで考えるところがないの
この問題はいろいろ解き方がありそうだし、どうすればいいのかしらって考えなきゃいけなくてセンス要る気がするわ
どう解けば一番納得できるしら？ 誰か美しく解いてくれない？
さらに条件を広げて -1 ≤ a+b ≤ 3 にしても成り立つから、よければ誰か解いてみて
0874陽気な名無しさん 801페이지 12번2023/01/27(金) 22:44:46.710
s=a+b,t=abとする
t>1/4かつ(1-a)(1-b)=1-s+t>1/4かつs^2-4t>0
をst平面に図示すると-1<s,s<3がわかる
s^2-4t=0とt=1/4の交点のs座標は±1
s^2-4t=0と1-s+t=1/4の交点のs座標は1,3
0876Usagi2023/01/28(土) 15:41:59.030
>>875
姐さん、さすがね！ 対称式を使ってさらに対偶を考えて考えやすくしたのね
これは思いつかなかったわ
関係ないけど名前のところにある謎の数字とハングル何かしら？
他の解き方をした姐さんいる？
0877陽気な名無しさん 407페이지 75번2023/01/28(土) 20:16:45.720
y=f(x)=(x-a)(x-b)というグラフをx軸と共有点を持つようにしながら軸を[-1/2,3/2]で動かす
言葉では説明しがたいが必ずf(0)≦1/4またはf(1)≦1/4となる
0878陽気な名無しさん 650페이지 44번2023/01/28(土) 23:03:41.690
y=f(x)=(x-a)(x-b)とx軸との共有点が1つの場合を考えれば十分
y=(x-a)^2をa=-1/2からa=3/2まで右に滑らせる
f(0)はa=-1/2のときの1/4からa=0のとき0まで減少しa=1/2のときの1/4まで増加する
f(1)はa=1/2のときの1/4からa=1のとき0まで減少しa=3/2のときの1/4まで増加する
したがってaがなんであれf(0)またはf(1)は1/4以下である
0879Usagi 2023/01/29(日) 01:49:28.090
別解お疲れさま！
なるほどね、これはビジュアル的にわかりやすいわ。
ちなみにあたしが考えてた解き方はこうよ。

-1 ≤ a+b ≤ 1 か 1 ≤ a+b ≤ 3 のどちらかである
前者の場合 |a+b| ≤ 1 なので ab ≤ {(a+b)/2}^2 ≤ (1/2)^2 = 1/4
後者の場合 -1 ≤ (1-a)+(1-b) ≤ 1 なので同様に (1-a)(1-b) ≤ {(1-a+1-b)/2}^2 ≤ 1/4

任意の実数 x, y に対して {(x+y)/2}^2 ≥ xy が成り立つことを使ったの。

関係ないけど、メール欄にageteって書くと謎の数字とハングルが出るのかしら？
0880Usagi2023/01/29(日) 01:51:03.570
あれ、実験してみたけど別に出ないわね。一体何なの？
0881陽気な名無しさん 693페이지 39번2023/01/29(日) 08:56:06.300
なるほど、上手いわ
ということは元の津田塾問題は
ab(1-a)(1-b)≦((a+1-a)/2)^2((b+1-b)/2)^2=1/16
したがって、ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4が成り立つ
というのが模範解答なのかしら
難しいわね

メール欄に ageterandkp と入れるとランダムで数字が出る
ageterandjp だと日本語
0882Usagi 470페이지 40번2023/01/29(日) 09:55:42.760
あら〜、工夫すると１行ですむのね！これはすごいわ。
こんなの試験会場で思いつける人ほとんどいなさそうだけどw
この問題、ab平面に ab ≤ 1/4 または (1-a)(1-b) ≤ 1/4 が成り立つ領域を図示して
そこに -1 ≤ a+b ≤ 3 の領域がおさまることを示しても良いのよね
見た目シンプルでいろいろな解き方があって良い問題よね
0883陽気な名無しさん2023/02/01(水) 07:21:19.880
今日から２月ね。
このスレ珍しく900近くまでいってるから、
このまま1000目指してもいいかなとも思うんだけど、
去年も一昨年も2月25日にスレ立ってるのよね。
今年も2月25日に2023版の新スレ立って、そっちにみんな移るのかしら？
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