>>153さんの説明、アタシ完全には納得できないの。
>>137の問題だと
P_B(A) = (サイコロの目が全て異なって、さらに目の前のサイコロが1の場合の数)/(目の前のサイコロが1の場合の数)
で、>>147の問題だと
P_B(A) = (サイコロの目が全て異なって、そのうちどれかひとつが1の場合の数)/(サイコロの目のうち少なくともひとつが1の場合の数)
となるわ。
>>153の「条件がゆるくなる」ていうのは、一番目の分数の分子より二番目の分数の分子が大きいことを言っているのかしら？
それはそうだけど、分母についても一番目より二番目の方が大きいのよね。
だから分数全体としてどちらの方が大きいのか、そんなに自明なことに思えないのよね。

アタシは一般的に考えてみたわ。1 から p までの数が書かれた p面のサイコロを n個同時に投げるの。
もし n > p だと、サイコロの目が全て異なることは不可能で P(A) = P_B(A) = 0 となって考えても意味ないから、n ≤ p とするわ。
そしてもし n = 1 だと、P(A) = P_B(A) = 1 となってこれも意味ないから、n ≥ 2 とするわね。
計算すると
P(A) = p!/((p-n)! p^n)
P(B) = (p^n - (p-1)^n)/p^n
P(A ∩ B) = ((p-1)! n)/((p-n)! p^n)
P_B(A) = ((p-1)! n)/((p-n)! (p^n - (p-1)^n))
となるわ。私たちは P_B(A) > P(A) を示したいの。
P(A) = (p!/((p-n)! p^n(p^n - (p-1)^n))) * (p^n - (p-1)^n)
P_B(A) = (p!/((p-n)! p^n(p^n - (p-1)^n))) * np^{n-1}
なので、P_B(A) > P(A) は
np^{n-1} > p^n - (p-1)^n
と同値、つまり移項して
(p-1)^n > p^n - np^{n-1}
と同値となるの。
これを n に関する帰納法で、2 ≤ n ≤ p であるすべての n について成り立つことを示せばいいわね。
n = 2 のときに成り立つのはすぐわかるわ。そして n = k (< p) のとき成り立つと仮定すると
(p-1)^{k+1} = (p-1)^k (p-1)
> (p^k - kp^{k-1}) (p-1)　　　　　（帰納法の仮定より）
= p^{k+1} - (k+1)p^k + kp^{k-1}
> p^{k+1} - (k+1)p^k
となって証明が完了したわ。