姐さんの説明でやっとわかったわ！
3つのサイコロを、サイコロ#1、サイコロ#2、サイコロ#3として、
S = サイコロの目のうち少なくともひとつが1の場合の集合
T = サイコロ#1の目が1の場合の集合
U = サイコロ#2の目が1の場合の集合
V = サイコロ#3の目が1の場合の集合
とすると、Sの要素は必ずTかUかVの要素だから S ⊆ T∪U∪Vとなるのね。
けれどT, U, Vのどの２つをとっても共通部分は空集合じゃないから
(二番目の分母) = |S| = |T∪U∪V| < |T|+|U|+|V| = |T|×3 = (一番目の分母)×3
ってことなのね。そう考えると自明ね。
もう少し詳しくみると、包除原理から
|S| = |T|+|U|+|V|−|T⋂U|−|U⋂V|−|V⋂T|+|T∩U∩V|
= 3|T|−3|T⋂U|+|T∩U∩V|
= 3C1|T|−3C2|T⋂U|+3C3|T∩U∩V|
となるわ。ここでnCkは二項係数よ。
これでアタシの計算に出てきた式の意味もわかったわ。
np^{n-1} > p^n − (p-1)^n
の左辺は 3C1|T|に相当するもの、つまり (一番目の分母)×(サイコロの数)で
右辺は|S|に相当するもの、つまり(二番目の分母)だったのね。
p^n−(p-1)^nを展開すると二項係数が出てくるけど、包除原理と関わってたのね。