大学入試の数学の問題を解くゲイ2022
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>>157
姐さんの説明でやっとわかったわ！
3つのサイコロを、サイコロ#1、サイコロ#2、サイコロ#3として、
S = サイコロの目のうち少なくともひとつが1の場合の集合
T = サイコロ#1の目が1の場合の集合
U = サイコロ#2の目が1の場合の集合
V = サイコロ#3の目が1の場合の集合
とすると、Sの要素は必ずTかUかVの要素だから S ⊆ T∪U∪Vとなるのね。
けれどT, U, Vのどの２つをとっても共通部分は空集合じゃないから
(二番目の分母) = |S| = |T∪U∪V| < |T|+|U|+|V| = |T|×3 = (一番目の分母)×3
ってことなのね。そう考えると自明ね。
もう少し詳しくみると、包除原理から
|S| = |T|+|U|+|V|−|T⋂U|−|U⋂V|−|V⋂T|+|T∩U∩V|
= 3|T|−3|T⋂U|+|T∩U∩V|
= 3C1|T|−3C2|T⋂U|+3C3|T∩U∩V|
となるわ。ここでnCkは二項係数よ。
これでアタシの計算に出てきた式の意味もわかったわ。
np^{n-1} > p^n − (p-1)^n
の左辺は 3C1|T|に相当するもの、つまり (一番目の分母)×(サイコロの数)で
右辺は|S|に相当するもの、つまり(二番目の分母)だったのね。
p^n−(p-1)^nを展開すると二項係数が出てくるけど、包除原理と関わってたのね。 >>158
確かにそう言われるととても不思議で、納得できないところあるわよね ダメね…
こんなもの計算して納得しているようでは
もっと直截的に直感的に考えなさい
1が出るとはどういうことなの？
どういう時に1が出やすいのか？ >>159の途中でミスがあったわ。正しくは |S|≤ |T∪U∪V| ね。
>>161
え、何、どういうこと？ 補足するわ。T, U, Vの要素もSの要素だから S = T∪U∪V なのね。
>>159では包除原理を S = T∪U∪V に使ったの。混乱させる書き込みごめんなさいね。 330 名前:陽気な名無しさん [sage] :2022/04/10(日) 12:26:18.86 0
今日21時ＮＨＫ 望月さまさまさま特集！端正なハンサムだもの
キホン学者は顔が整ってる、とネットの科学エッセイでみたわ
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「数学者は宇宙をつなげるか? abc予想証明をめぐる数奇な物語」
初回放送日: 2022年4月10日
２０２０年春、数学の難問“ａｂｃ予想”を日本人が証明したというニュースが報じられた。京大数理解析研の望月新一教授の論文「宇宙際タイヒミューラー理論」が専門誌に掲載されたのだ。だが数学界では「証明が理解できない」「いや絶対に正しい」と激論が続く。論理を積み上げれば誰もが同じ答えにたどり着くはずの数学の世界で、なぜ主張が真っ向から対立するのか？前代未聞の議論を追い、数学の魅力に迫る。 >>164
加藤文元教授に抱かれたいと思ったわ！
セ○クスしてるときも数学のことを考えてそうで萌えるわ！ やだ、数学者で加藤といえば加藤和也でしょ、
と思いつつググってみたら、意外と若くてイケおじなのね。
もっちゃんと同じくらいの年なのね。
知らなかったわ。 知らない名前ねと思ってググってみたら、
解析系の、さらに一世代前の凄い人なのね。
知らない訳だわ。解析系は全然知らないのよ。
著書でlinear operatorsってのが行列って訳されてて、
行列ってmatrixしか知らなかったから驚いたんだけど、
そういや行列って線形作用素よね、確かにそうだわ、
って妙に納得しちゃったわ。 >>159
あなた凄い真面目ね〜
尊敬するわ。
あたしゃ>>156 の一般化を納得するので疲れちゃったから
159の終わりの方までキチンと見てないんだけど、
何となく正しそうな雰囲気よね。 こういう真面目な計算をいくら繰り返しても納得した気になれないのはアタシだけなのかしら
結局、1の目が出ることが確率を増加させる本質的な理由は何なの？ >>158 >>160
そうそう、哲学的といえば有名な問題で、
(あ)、(い)、(う)の３つのうち１つだけが当たりのくじがある。
Aさんは(あ)を選んだが、その結果を見る前に
(う)がはずれであることが明かされた。
この後Aさんは(い)に変えても、(あ)のままでも構わないと言われた。
(い)に変えるのと、(あ)のままなのと、どちらが当たる確率が高いか。
という問題なんだけど、答えは(い)に変えた方が高い、というのよ。
理由は最初(あ)を選んだ段階で当たる確率は1/3であり、
(い)又は(う)が当たりである確率は2/3なんだから、
(う)がはずれであることが明かされたということは
(い)が当たりである確率は2/3なので
(い)に変えた方が高いということなんだそう。
でもこれ、最初に「(あ)にしようかな〜どうしようかな〜」
って状態で(う)がはずれであることが明かされたらどうなるの？
最初に全く選ぶ前に(う)がはずれであることが明かされたらどうなるの？
全く選ぶ前なら(あ)か(い)かは全く1/2ずつになるんじゃないの？
「選んだ」とか「迷っている」とか「決めてない」とかって
精神的内心的なものだとも思えるから、
そんな精神的内心的なもので確率が変わるなんてなんか不思議よね。
あたしなにか見落としや考え違いしてるかしら？ あい
あう
いう
あ
いう
1/3 1/2
い
あう
1/3
う
0 >>171
元の問題においてはあなたが（あ）を選んだからこそ
（う）が外れであることを明かすことができるのよ
どれを選択するか決めていない時点では二択にはなりえない設定なの 有名な過去問で「円周率＞3.05を証明せよ」ってのがあったじゃない？
あれどうして3.05なのかしら
3.06とか3.1とかでも良さそうなもんじゃない？
3.05にすることで証明の方法が劇的に広がるとかあるのかしら >>175
設問の意味が分からないんだけど、このケーキプレートの式を解いたらどうなるの？ >>177
これはあんまり良くないわね
>>174のなぜ3.05なのか、という疑問に答えてないわ
アタシは理由を知ってるんだけどね
どこから3.05が出てくるか
詳しく思い出すには時間が必要だけど
バシィッと3.05が出るのよ >>178
まあそうなの？
解き方見れば出題意図も大体わかるもんだと思ってたわ
あなた頑張って思い出して >>176
0又は18になるのよ
計算面倒だからって小さめの数でやると大抵0になるから
ちゃんとわかってる人でないと18点とれないのよ
でも記事の文章変よね >>178
思い出したら教えてちょんまげ！
>>177
それ、動画のサムネには「解けたらわかるこの数値の意味」って書いてあるくせに
説明してないわ！！最後のほうしか見てないけどｗ
この人の計算だと3.06で出題しても問題として成り立つわよね 面倒だから自分で手計算してないんだけど
ひょっとして正8角形で頑張って計算したときに
3.05なら成立するけど3.06だとムリなのかしら
そうだとしたら3.05にしておくことで証明の幅を広げることには役立ってそうね >>180
えっ、18を入れてもいいの！？
この設問における得点になるわけだから、100を入れなきゃ縁起悪くない！？
この子、京大を受験したいんでしょ。 >>173
ああ！そうよね！確かにそうだわ！
でもなんかしっくりこないのよね。
例えば「(あ)にしようと思ってるんだけど、(い)もちょっとだけ気になるんだよね」
と意思表示して
「あらそうなの？とりあえず(う)ははずれよ」
ってな場合は確率1/2ずつよね。
一本で「(あ)にしようと思ってるんだけど、(う)もちょっとだけ気になるんだよね」
と意思表示して
「あらそうなの？とりあえず(う)ははずれよ」
ってな場合は確率はどうなるかしら？
なんだかモヤるわ。
>>160 さんの感覚に近いのではないかしら？ >>182
あたしの計算では、正八角形でも3.06で大丈夫そうよ。
でも、それならなぜ3.05なのかしらね。
末尾0か5が何となくきれいな数に感じるからそうしただけではないかしら？
でもだとしたら>>178 さんの発言が謎よね。
178 さんに頑張って思い出してもらわないと解決は難しそうね。
3なら中学入試ですら出しても大丈夫そうだけど、
3より少しでも大きいと、頑張っても三平方の定理を駆使して中学３年でどうかよね。
逆に、円周率が3.5より小さいことを示せ、なんてのも中学３年で解けそうよ。
高校の三角関数使って3.5よりどこまで小さくできるかしら。 サイコロの目なんて、必ずどれかは出る
たとえば1が出たと知らされる
これでなぜ全ての目が異なる確率が増えるのかしら？
(い)(う)のどちらかは、必ず外れである
たとえば(う)が外れだと知らされる
これでなぜ(い)が当たりの確率が増えるのかしら？
この2つの確率の問題は根本的には同じことだと思うわ
同じ不可思議さだと思うの >>185
正多角形じゃないのよ
∫[0→1]1/(1+x^2)dx
を評価するの
1/(1+x^2)を長方形やら台形で評価すると
どこかにぴったり3.05(÷4？)が出てくるの >>185
やだ計算してくれたのねありがとう！
178ちゃん待ちね
内接正多角形を使ってこの解答を書く場合に、そもそもの最初のほうに
「二点間の最短距離は直線だから、円弧＞弦である」みたいなことを一言
断っておく必要があるわよね
「〜より小さいことを示せ」って問題にした場合に、外側の複数の線分の合計が
円弧より長くなることを説明するのって簡単なのかしら あら>>187ちゃんが！
＞∫[0→1]1/(1+x^2)dx
＞を評価するの
って言われても何のことかさっぱり分かんないわｗ でもありがとう
3.05に設定しておくことでやっぱり証明方法に多様性が生まれるのね >>171
この問題は、割と直感的に分かりやすい説明があるわよ。
3つじゃなくて、例えば、(あ)から(ほ)までの30個から選ぶことを考えてみて。
あなたが(あ)を選んだ後「実は(う)から(ほ)はみんなハズレなの！」て言われて(い)だけ残されたら、(い)が当たりの可能性めっちゃ高そうに見えるでしょ？
>>184
これはとても面白くて難しい問題ね。一般的に考えてみたの。
選択肢の集合をC (≠∅)とするわ。AをCの空でない真部分集合として、あなたは「Aの要素のどれかにするわ！」て言うの。
そしたら出題者が、Cのある真部分集合Bについて「Bの要素は全部ハズレよ」て言うの。
ここで、Aの要素が残るように A ⊈ B、そしてA以外の要素も残るように C−A ⊈ Bとなるように出題者はBを選ぶの。
もともとAの中に当たりがある確率は|A|/|C|よね。
出題者の発言の後、Aの中で選べる選択肢が|A−B|個になるわね。
|A|/|C|の確率を|A−B|個で分けることになるから、残ったAの中から選んで当たる確率は|A|/(|A−B|×|C|) になるんじゃないかしら？
一方、もともとA以外の中に当たりがある確率は|C−A|/|C|よね。
上と同様に考えると、出題者の発言の後では、A以外で残ったものの中から選んで当たる確率は|C−A|/(|(C−A)−B|×|C|) になるかしら？
具体例で考えてみるわ。
オリジナルの問題だと A = {あ}, B = {う}, C = {あ, い, う} よね。だから
|A|/(|A−B|×|C|)
= |{あ}|/(|{あ}−{う}|×|{あ, い, う}|)
= |{あ}|/(|{あ}|×|{あ, い, う}|)
= 1/(1×3)
= 1/3
|C−A|/(|(C−A)−B|×|C|)
= |{あ, い, う}−{あ}|/(|({あ, い, う}−{あ})−{う}|×|{あ, い, う}|)
= |{い, う}|/(|{い}|×|{あ, い, う}|)
= 2/(1×3)
= 2/3
となるわね。
>>184の最初の問題だとA = {あ, い}, B = {う}, C = {あ, い, う} だけど、この場合 C−A ⊆ Bとなるから上の考え方は使えないわ。
二番目の問題だとA = {あ, う}, B = {う}, C = {あ, い, う} よね。この場合は
|A|/(|A−B|×|C|)
= |{あ, う}|/(|{あ, う}−{う}|×|{あ, い, う}|)
= |{あ, う}|/(|{あ}|×|{あ, い, う}|)
= 2/(1×3)
= 2/3
|C−A|/(|(C−A)−B|×|C|)
= |{あ, い, う}−{あ, う}|/(|({あ, い, う}−{あ, う})−{う}|×|{あ, い, う}|)
= |{い}|/(|{い}|×|{あ, い, う}|)
= 1/(1×3)
= 1/3
となるわ。だからアタシの考えが正しければ、(あ)は当たる確率2/3, (い)は当たる確率1/3ね。 >>186
この２つの問題の不思議の種類は違うわ。
くじを選ぶ問題の方は、出題者が正解を知っているからハズレだと知らせるくじを選ぶことができて、それによって故意に確率を操作できるの。
上の説明で言えば、Bとしてどういう集合を選ぶかによって、ということね。
同じ「知らせる」という言葉を使ってるけど、サイコロの方は誰かが故意に知らせてるんじゃなくて「判明した」って意味なのよね。
アタシは>>161の姐さんの説明がききたいわ。 https://tsumuji-kosodate.com/miuratoko-university/
ちょっと、「ドライブ・マイ・カー」や大河ドラマ「鎌倉殿の13人」に出演してる女優の三浦透子って、東京理科大の数学科卒なんですって！！！
あたし三浦透子を密かに応援することにしたわ。 ごめんなさい、よく見たら>>186さんは「知らせる」じゃなくて「知らされる」って書かれてたのね。
でもポイントは伝わったかしら。 >>187
∫[0→1]1/(1+x^2)dx
って式はどうやって出てきた式なの？
数IIIの最後にやる曲線の長さの式
「y=f(x)のx=aからx=bまでの長さが∫[a→b]√〔1＋｛f'(x)｝^2〕dx」
を使うと、単位円の第一象限の部分の長さが
∫[0→1]1/√(1−x^2)dx
という式になりそうなんだけど、これとは別物なの？ >>188 の最後に書かれていたこと、スルーしてはいけないような気がしたわ。
円の外接多角形の周の長さが円周より長いといえるか、ってことだけど、
隣接2接点ABに対して、その2接点の接線となっている２辺による頂点をCとしたときに
AC＋CBが弧ABより長いことが言えればいいのよね。
弧ABの中点をDとし、Dにおける接線とAC,CBとの交点をそれぞれE,Fとすると、
AC＋CB=AE＋EC＋CF＋FB＞AE＋EF＋FB
となるのは明らかよね。
それでAC＋CBよりもAE＋EF＋FBの方が弧ABのより良い近似になっているんだから
弧ABの長さもAC＋CBよりもAE＋EF＋FBに近いはずよ。
だからAC＋CBが弧ABより長いといえると思うんだけど、どうかしら？ >>191 の>>171 に対するレスについて
>あなたが(あ)を選んだ後「実は(う)から(ほ)はみんなハズレなの！」て言われて(い)だけ残されたら、(い)が当たりの可能性めっちゃ高そうに見えるでしょ？
(い)だけでなく(あ)が当たりの可能性も高くなりそうに思わない？
(う)以下がどれだけたくさんあって、それらが全部はずれであることが明かされても、
そのことによる確率の上昇が(い)だけにかかってくることがしっくりこないのよ。
そのことによる確率の上昇が(あ)にもかかってくることはないのかしら？
ないのならなぜないのかしら？
でもこの例のおかげでモヤモヤの焦点が少しシャープになった気はするわ。
ありがとう。
ちなみに今書き込んでいる時点ではまだ>>184 へのレスは熟読していないので、
もしそちらになにかヒントなり答えがあったらごめんなさいね。 こりゃ考え方を根本的に変えなきゃダメだわ
そうでもしないと確率は身に付かない >>191
一応全部読んだわ。
基本的に最初に選んだ部分集合とそれ以外を明確に区別して、
はずれである部分集合が明かされたときに、
最初に選んだ部分集合とそれ以外のそれぞれの中で確率を分配する考え方ね。
でもね、あたしがモヤモヤするのはそういうこととは少しちがうの。
>>184 の問題で言えば、例えば
(あ)は70％くらい期待して(う)は25％くらい、(い)は5％くらい期待していたときに、
「(あ)を選ぶ」って意思表示するかも知れないし、
「(あ)にしようと思ってるんだけど、(う)もちょっと気になる」と意思表示するかも知れない。
期待の度合いが同じなのに、意思表示の仕方が違うだけで、
(う)がはずれであることが明かされたときの(あ)の当たりの確率がそんなにも違ってくるものかしら。
選ぶって言っても、選ばなかった方にも後ろ髪引かれる思いで選ぶこともあるでしょうし、
いろいろな思いをかかえながら選ぶことがあり得ると思うのよ。
そんなとき、少し意思表示の仕方が違うだけで確率がそんなに違ってくるものなの？
っていうのがあたしのモヤモヤかしら。 >>196
解説ありがとう！三角形の二辺の和＞他の一辺を用いて限りなく分割していく
イメージは理解できたわ
＞それでAC＋CBよりもAE＋EF＋FBの方が弧ABのより良い近似になっているんだから
＞弧ABの長さもAC＋CBよりもAE＋EF＋FBに近いはずよ
のところで誤魔化されちゃった感じがするのよ
あたし数学得意じゃないし極限の考え方も何となくしか分からないけど、
近似は近似であって、やっぱり直線と曲線との比較は自明じゃないような気がするの
ググってみたら、ちゃんと証明しようと思ったら結構面倒な話らしい
ってところまでは知れたわｗ >>197
最初に(あ)を選んだとき、それが当たりの確率は1/3だったでしょ？
その後で「(う)はハズレ」と言われても、(あ)に関する情報量は何も変化しないわ。
だから(あ)が当たりの確率が1/3であることに変わりはないのよ。
例えるなら、(あ)を選んだ後で「おまえの母ちゃんデベソ」って言われても(あ)が当たりの確率が変わらないのと同じよ。
一方で、「(う)はハズレ」と言うことは、あなたが選ばなかったくじについての情報を増やす行為なの。
だから当たりがどれかを知っている出題者が増やしてくれたその情報を利用して(い)に変えるのは意味のあることなの。
>>199
これは難しい問題だけど、確率は変わるはずだと思うわ。
あなたが単に「(あ)を選ぶ」と言ったら、出題者は、あなたにとって(う)は候補でないんだな、と理解するわよね。
その上で出題者が「(う)はハズレ」と伝えることは、あなたが選ばなかったくじについての情報を故意に増やす行為なの。
言い換えれば、出題者にとって、これは故意に(い)が当たりの確率を増やそうとする行為なの。
一方、あなたが「(あ)にしようと思ってるんだけど、(う)もちょっと気になる」と言ったら、出題者はあなたにとって(う)も候補だと理解するわよね。
その上で出題者が「(う)はハズレ」と伝えることは、あなたが選ぶかもしれないくじについての情報を故意に増やす行為なの。
出題者にとって、これは故意に(あ)が当たりの確率を増やそうとする行為になるわ。
つまり、確率を操作しているのはあくまで出題者であって、くじを選ぶ人は関係ないの。
選ぶ人の意思表示のしかたはいろいろあるけれど、それを聞いて出題者が故意に確率を操作するのよ。
表面的にはどちらのケースでも「(う)はハズレ」と伝えるという同じ言動をしているように見えるかもしれないけど
出題者にとっては全然違う目的を持った言動になるのよ。
>選ぶって言っても、選ばなかった方にも後ろ髪引かれる思いで選ぶこともあるでしょうし、
>いろいろな思いをかかえながら選ぶことがあり得ると思うのよ。
ここなんかポエムみたいで切なくて好きよ。 >>201
丁寧に説明してくれてありがとう。
読んでいてまた疑問が浮かんだわ。
AさんBさんCさんの三人がいて、AさんBさんは他の二人を知らないとする。
Aさんは(あ)を選び、Bさんは(い)を選んだ。
Cさんは傍観者。
その後に(う)がはずれであることが明かされたとする。
この時Aさんにとっては完全に最初の>>171 の状態じゃない？
だから(あ)が当たりの確率は1/3で(い)が当たりの確率は2/3になる、のよね？
でもBさんにとっては(あ)と(い)が完全に入れ替わっているんだから
(あ)が当たりの確率は2/3で(い)が当たりの確率は1/3になる、のよね？
それで傍観者のCさんから見れば(あ)と(い)は完全に対称なんだからどちらも1/2になる、はずよね？
ところで、201で
>つまり、確率を操作しているのはあくまで出題者であって、くじを選ぶ人は関係ないの。
って説明してくれたけど、これはこれでなるほどと思える説明だったんだけど、
でも確率がくじを選ぶ人は関係ないんだとしたら、
この場合三人それぞれから見た確率がこんなにバラバラなのはどういうことなのか
ますますわからないと思うようになってしまったわ。
情報量によって確率が変わるということなのかしら？
だとしたらもしAさんBさんがお互いを認識していたとしたら
確率は二人にとっても共に1/2になるのかしらならないのかしら？ あ、今思いついたんだけど、連投ごめんなさい。
>>171 の問題
>(あ)、(い)、(う)の３つのうち１つだけが当たりのくじがある。
Aさんは(あ)を選んだが、その結果を見る前に
(う)がはずれであることが明かされた。
この後Aさんは(い)に変えても、(あ)のままでも構わないと言われた。
(い)に変えるのと、(あ)のままなのと、どちらが当たる確率が高いか。
って、
>この後Aさんは(い)に変えても、(あ)のままでも構わないと言われた。
のところでAさんは一度(あ)を選んだというスタンスを完全に解除して、
改めてまっさらな状態で選んでいい、っていうことと何ら違いないわよね。
ということは、スタンスを解除した段階でAさんは
「(う)ははずれであることがわかっていて、(あ)と(い)のどちらを選んでもいい」
という状態になるわよね。
過去に(あ)を選んだという経緯を全く忘れて選んでいいんだから
これってやっぱり(あ)も(い)も1/2じゃないの？ >>203
Aさんが最初に(あ)を選んだときに、これが当たりである確率は1/3であって、これは不変なの。
そして進行役が(う)をハズレだと明かしたあとでは、(い)が当たりである確率は2/3なの。
仮に、Aさんが自分が(あ)を選んだこと、そして進行役が(う)をハズレだと明かしたことを完全に記憶から消去することができるとして、それから残った(あ)と(い)から選んだら、当たりを引く確率は1/2になるわよ。
なぜなら、この場合、Aさんにとって(あ)と(い)の区別がつかなくなっているからね。
Aさんが(あ)を選ぶ確率も(い)を選ぶ確率も1/2で、
(あ)が当たりである確率は1/3、(い)が当たりである確率は2/3だから
記憶喪失になったAさんが当たりくじを引く確率は
(1/2) × (1/3) + (1/2) × (2/3) = 1/2
となるわ。
>>202
の問題はとても面白いわね。ちょっとじっくり考えてみるわ。
ちなみにアタシが「くじを選ぶ人は関係ない」って言ったのは、くじを選ぶ人の意思表示の仕方とか、後ろ髪引かれる思いで選んだとかそういうのは関係ないって意味。 >>203
違うの違うの。
あたしが言いたかったことは
「Aさんが当たりくじを引く確率」ではなくて
「(あ)が当たりである確率、(い)が当たりである確率」
なの。
Aさんが一度(あ)を選んだというスタンスを完全に解除 した段階で、もはや
・どれか１つが当たりである
・(う)がはずれである
というのが全てなんだから、
(あ)が当たりである確率、(い)が当たりである確率はそれぞれ1/2になるんじゃないの？
と思ったの。
でも、(い)が選択肢に残った経緯から優位であること、
また(あ)が選択肢に残った経緯から不利であることは事実として消えないんだから
当たりである確率が2/3と1/3であることに変わりはないのか、
と思い直したわ。
極端な例を考えることが役に立ったわ。
一億の選択肢からAさんが１つを選んで、残りのうち１つを残してあと全部はずれと明かされたとする。
Aさんが選んだ１つはあくまで一億分の1だけど、
残りのうちから１つ残されたのは、圧倒的に当たりがまぎれている可能性の高い
99999999個の中の選りすぐりの１つである可能性が高いのよね。
「適当に選んだ１つと選りすぐりの１つ」では、
スタンス解除したからって、歴史的経緯が異なるんだから
記憶喪失だろうと何だろうと後者の方が圧倒的に優位なのに変わりはないのよね。
ってことにやっと気づいたわ。
でも>>202 はまた別問題として考える素材になるわね。 気づいて改めて読み返したら
>>191 や>>201 の言ってることがかやっとちゃんと理解できたわ。
これまでごめんなさいね、ありがとうね。
あたしにとっては適当に選んだ１つと選りすぐりの１つ、
というワードが浮かんだことがストンと落ちるきっかけになったみたい。 納得したみたいで良かったわ。
>>202の問題だけど、Aさんが(あ)を、Bさんが(い)を選んで、(う)がハズレだと明かされている場合、起こりうる可能性は
(1) (あ)=当たり (い)=ハズレ (う)=ハズレ
(2) (あ)=ハズレ (い)=当たり (う)=ハズレ
の2つしかないわ。したがって(あ)が当たりの確率も(い)が当たりの確率も1/2になるわ。
ただ、(う)がハズレだと明かされた時、Aさんは(い)が当たりの確率が2/3になったと、そしてBさんは(あ)が当たりの確率が2/3になったと勘違いするでしょうね。
なんで勘違いかというと、この場合問題の設定から
(3) (あ)=ハズレ (い)=ハズレ (う)=当たり
の可能性が排除されているからなのよ。
考えてみてよ。もしこのゲームを実際にやろうとしたとき(3)の状況だったら、進行役が(う)がハズレだと明かす、ていうのができなくなるでしょ？
運良く進行役が(う)がハズレだと明かすことができた場合は、(3)の可能性が消えて(1)と(2)しか残っていないのよ。
ていうかアタシ>>191で試みた一般化が正しいかのかそんなに自信ないの。確率のこと詳しい方教えてくださらないかしら？ アンタたちもう少しだけ似たような問題で演習した方が良さそうね
https://i.imgur.com/9MyeDVR.jpg
この問題をまず解いてみて下さい
そしてなぜ(1)と(2)は確率が違うのか、なぜ一方の確率が大きくなるのか、計算ではない直感的な説明を試みて下さい
そしてその説明を、サイコロと(あ)(い)(う)の問題にも同様に適用してみること >>209
アンタ何様のつもりよ？
上から目線がムカつくわ！ >>209
お望み通り直感的にお答えしますわ〜
サイコロやくじのように根元事象が同様に確からしいことが前提でない問題だから
大学受験程度までの確率で扱うには不適切 >>209 が来て突然荒れたわね。
多分>>161 と同一人物ね。
自分が理解していると思うなら丁寧に説明してほしいわ。
そのつもりがないなら荒れるから来ないでほしいわ。 また馬鹿にされる気がするけど、性懲りもなく書いてみるわ。
A = X君に妹がいる場合の集合
B = X君に弟がいる場合の集合
C = X君が長男である場合の集合
とするわ。そうすると(1)の確率は|(A∪B)∩C|/|A∪B| 、(2)の確率は|A∩C|/|A|と表せるわ。
後者の方が前者より大きくなることを示すわね。
まず|A∩C|=|B∩C|<|A|=|B|はいいわね。
X君が一番年上なら妹と弟の両方がいること可能だし、逆にX君に妹と弟の両方がいたらX君は一番年上だから長男になるわ。
だから ∅≠A∩B⊆C となるわね。したがって A∩B∩C=A∩B ね。
包除原理から
|A∪B|=|A|+|B|−|A⋂B|=2|A|−|A⋂B|
|(A∪B)∩C|=|A∩C|+|B∩C|−|A⋂B∩C|=2|A∩C|−|A⋂B|
さて、ここで一般に 0 < x < z かつ y < z なら (y−x)/(z−x) < y/z となることに注意して。
|A|>0だから、0<|A∪B|<2|A|のことが分かるわ。そして 2|A∩C|< 2|A| でもあるから、
|(A∪B)∩C|/|A∪B| = (2|A∩C|−|A⋂B|)(2|A|−|A⋂B|) < (2|A∩C|)/(2|A|) = |A∩C|/|A|
となるわ。
これがアタシができる具体的な数字を出さない精一杯の説明ね。ちなみに具体的な確率だと(1)は3/4、(2)は4/5になるわ。
一応説明を書いたけど、直感的で自明なものとは思えないわ。
きっと計算なしってのは具体的な数字を使わないってだけじゃなくて、こんな式も書かないってことなんでしょうね。
それに今の説明は、サイコロの問題にはそのまま使えないのよね。
サイコロの問題については>>159に書いたのがアタシができる精一杯の説明だけど、これ以上どう間単に理解できるのかしら？
それにモンティ・ホール問題はまた違う種類の話の気がするんだけど、そうではないのかしら？
とにかく、姐さんの説明、楽しみにしてるわね。 >>196 >>200
考えている円を、Oを中心とする半径1の円とするわ。すると、Dは直線OC上にあるわよね。
弧AD < 直線AC を示せばいいのよ。角AOC = 角AOD =θラジアンとするわ。
すると弧AD =θ、直線AC = tanθに他ならないわ。（角OACは直角よ。）
円に外接するn角形でθが一番大きくなるのは n = 3 の時でθ=π/3 よね。
だから 0 <θ≤π/3 のときにθ< tanθが常に成立する、つまり tanθ−θ> 0 であることを示せばいいのよ。
まずθ= 0 のとき tanθ−θ= 0 となるわ。
そしてtanθ−θをθで微分すると 1/cos^2θ−1 となって、これは 0 <θ≤π/3 で常に正となるわ。
このことから 0 <θ≤π/3 のとき tanθ−θ> 0 であることが分かるわね。 未っ子ではない=妹がいるまたは弟がいる
なのに確率が異なるの？ >>217
示したいことを示すのに三角関数を使っていいのなら
それでO.K.だと思うわ。
でも今回の場合、円周率の近似値を求めるために
円の外接多角形を描いて、円周率を上から
評価することの可否についてだったわ。
だから円周率πが既知で、それを前提に構築された(と思われる)
三角関数の理論を使うのはいかがなものかしら？
もしπの近似値が全然わかっていなくても
πの概念だけで三角関数の理論を構築できることがチェックできるなら、
>>217 で全く問題なしだとは思うけど。
とりあえずπの近似値がなくてもπの概念からπラジアン=180°は大丈夫よね。
なら三角関数の理論構築もπの概念だけで大丈夫なのかしら？ >>218
上では省略したけど、具体的に書けば分かるわ。
例えば「X弟妹」で「1番上=X君、2番目=X君の弟、末っ子=X君の妹の場合」を表すと
A = {X弟妹, X妹弟, X妹妹, 兄X妹, 姉X妹}
A∩C = {X弟妹, X妹弟, X妹妹, 姉X妹}
となるので|A∩C|/|A|= 4/5よ。一方、
A∪B = {X弟弟, X弟妹, X妹弟, X妹妹, 兄X弟, 兄X妹, 姉X弟, 姉X妹}
(A∪B)∩C = {X弟弟, X弟妹, X妹弟, X妹妹, 姉X弟, 姉X妹}
なので|(A∪B)∩C|/|A∪B|= 6/8 = 3/4 となるの。 >>219
三角関数の理論を作るのにπの具体的な値は必要ないわよ。
そもそもπの正確な値なんて誰も把握してないんだし。 >>216
>>209こないわね。
突然偉そうなのは大抵荒らしみたいなもんよ。
それでも真面目に答えるアナタは偉いわね。 アタシはいるわよ
ただアンタたちに説明して理解できるかどうか迷ってるだけで 問題振ったらちゃんと回収しなさいよ。
回収できない問題なら最初から振るんじゃないわよ。
大学入試程度の問題を理解させられないなら説明力が足りなすぎるわ。
キチンと説明しても理解できないような問題なら元々スレ違いの問題よ。
とりあえずアナタを満足させる内容かどうかはさておき
>>216の真面目な書き込みに対して三日も放置はないわ。
それともアナタは自分の考え方以外への理解力がなくて、
>>216が理解できないのかしら？
それとも理解したうえで見下して放置してるのかしら？
どちらにしても出題者として最低だわ。 将棋が好きで考えるよりも先に計算してしまうような人に説明するのってなかなか難しいのよ
そこは理解して
大学入試程度かどうかは全く関係ない 三日どころじゃなかったわね。
とりあえずアナタに少しでも誠意があるのなら
>>216なにかしらコメントしなさいな。 >>225
確かに>>216が形式的な計算に走りやすいタイプなのはアタシも理解するわ。
というか形式的な完成度が好きなタイプなんだと思うわ。
でもそういう人でも、計算する前にこういうことを考えてみて、って考え方を説明すれば、
理解してもらうのはそう難しいことではないと思うわ。 >>216が形式的な完成度が好きなタイプであることは、
例えば>>191とかを見れば既にわかっていたはずよ。
それを承知でアナタは問題を振ったんだから、
最初からそういうタイプの人に説明するつもりでなくてはいけないわ。
ちなみに形式的な完成度が好きなタイプとアナタのようなタイプと、
数学好きにはどちらもいるし、特に優劣はないと思うわ。
接点を持つならお互いに相手を理解し合うつもりでなければ。
一方的に自分の理解の仕方をおしつけるだけは良くないわ。 とりあえずアナタ、せめて>>209で言ってる、計算ではない直感的な説明っての、
アナタなりの説明をしてみてよ。
そしたらアタシも、多分>>216もそれを読んでまた考えるわよ。 >>166
アタシ加藤和也先生の代数の授業の演習プリントまだ捨てずに持ってるわ >>230
羨ましいわ
どんなこと書いてあるのかしら 506：陽気な名無しさん：2022/04/20(水) 18:57:15.35 ID:zCcfTZ680
>>434
国内に長子は半数くらいいるらしいからランダムに1人連れてきてその人が長男である確率なら25％
構成がわかってる(4種類の割合が示されている)3人兄弟(姉妹含む)のうち1人を選んでその人が長男である確率なら数学で求められるが
これだけでは求めようがない
(1) Xは1番目に生まれたか2番目に生まれたわけだがそれぞれの確率が0.5とはいえない
(2) 同上
507：陽気な名無しさん：2022/04/20(水) 19:31:04.05 ID:72fjhCO00
>>506
(1) 末っ子ではない
X ♂♂
X ♂♀
X ♀♂
X ♀♀
♀X ♂
♀X ♀
のいずれかのパターンだから1/6ではないの？
違うのかしら？ >>189 >>195
アタシ>>187じゃないけど、積分の意味が分かったわ。この原始関数は、arctan x なの。
だから定積分の値は arctan 1 − arctan 0 = π/4 − 0 = π/4 なのよ。
けれどこれを評価って大変そうよ。
1/(1+x^2)の1階微分は −2x/(1+x^2) だから x > 0 で狭義単調減少なことが分かるわ。
1/(1+x^2)の2階微分は 2(3x^2−1)/(1+x^2)^3 だから、x = 1/√3 が変曲点となって、その左側で上に凸、右側で下に凸ね。
というわけで、このグラフの下にフィットする図形を考えてみると、例えば
(0,0), (0,1), (1/√3, 3/4), (1/√3, 0) を頂点とする台形（面積 7/(8√3)）と
(1/√3, 0), (1/√3, 1−2/√3), (1, 1/2), (1, 0) を頂点とする台形（面積 5/6−1√3）を
考えることができるわ。
この合計面積 5/6−1/(8√3) になるんだけど、これだとπ > 3.04 は分かるけど 3.05より大きいことは分からないわw
あー、死ぬほど大変だった。内接正8角形の方が計算もはるかに楽w >>222
ものぐさ姐さんかしら？ ありがとう。
209が単なる不遜な人か、高飛車釜演じようとして滑って反感を買っている人か分からなかったけど、スレが荒れるの嫌だったの。
それで、もしアタシが丁寧に応じてあげて、209がそれに対して自分の説明を披露してくれれば、雰囲気も良くなるかもと思ったの。
それに、本当に計算しないで済む分かりやすい説明が聞けるなら、アタシにとっても良い学びの機会になるしね。
そもそもこのスレで丁寧に解答とか書いてるのアタシとものぐささんくらいだし、雰囲気を考えてもアタシ以外で209にまともに応じる人は絶対いないと思ったわ。
そういうわけでアタシ以外の書き込みを待っていても無駄なことは明白だから、きっと209もなんか書くとは思ったのよね。
ついでだけど、>>216の途中、0<|A⋂B|<2|A|と書いてたつもりが、間違って|A∪B|になってたわ。 >>225
将棋が好きだと計算優先で思考力や理解力がないことになるの？ すごい偏見ね。
「将棋が好き」って、アタシにとっては「セーラームーンが好き」と同じ類の話なんだけど。
考えるより先に計算してしまう人だと思われるなんて、とても心外だわ。
むしろ、アタシ考えることは大好きだけど、計算とかするのは得意ではないし嫌いなくらいよ。
（このスレに書き込んでいるせいで、ふだんしなかった計算を少しするようになったけど）
もちろんアタシは式を書き込んでいるけど、それは考えたことを正確に表現するための手段に過ぎないわ。
ていうかそれが数学でしょ？考えないで式が書けると思ってるの？
考えが正しいことを厳密に確認するため、そしてそれを人と共有するための道具として形式があるんでしょ？
それがないただの思考なら、数学ではない、哲学とかなにか別のものよ。
（それが悪いとか言いたいわけでは全然なくて、アタシは哲学にも興味があるけど）
大して複雑でもない式をちょっと書いただけで「考えていない」とか、浅はかすぎるわ。
そういうことは、フォンノイマンとかラマヌジャンみたいな人にまず言ってみたら？ >>232
これ、一体どのスレからのコピペなのかしら？ >>234
ステキなニックネームをありがとう。
使わせてもらうわ。
細かいようだけど、
>0<|A⋂B|<2|A|
って、A⋂B⊆Aなんだから、一番右は
2|A|どころか|A|で抑えられるわよ。
まあ式変形見れば2|A|で十分だけど。
それで>>216のその次の行の二番目の式、
/が抜けてるわね。既に訂正してたかしら？
>>233
あなた本当に凄いわねえ。
あたしゃ例によってものぐさだから
検証するのは面倒だからとりあえずパスするけど、
フィットする図形って、例えばって書いてあるけど、
別の図形でもっといい評価はできそうかしら？
できなさそうかしら？
>>178の発言には信憑性ありそうかしら？
丸投げでごめんなさいね。
あたしゃそれより、πの上からの評価が、
大学受験程度でどの程度の精度で評価できるか、
そっちに興味があるわ。
tanの半角の公式使えば大して難しくなさそうだけど、
面倒でまだやってないのよ。 >>237
「0 < x < z かつ y < z なら (y−x)/(z−x) < y/z 」を使うために 0 < |A⋂B| < 2|A| だと言いたかったの。
姐さんのおっしゃる通り A⋂B ⊆ A だからまず|A⋂B|≤ |A| が分かって、|A| > 0 だから|A| < 2|A| が分かって、合わせて |A⋂B| < 2|A| なんだけど、長くなるからこの説明をもともと省略してたの。
そしておっしゃる通り / が抜けてたわ！ここで式を書くの大変だし、できたものも見にくいから間違えやすいわ。
>>238
なるほどね！
アタシが計算したのは、これと似た感じなんだけど、x = 1/2 で分けたんじゃなくて、変曲点がある x = 1/√3 で分けたのよね。
（このグラフが直線 y = 3 と交わる点が変曲点になるわ。）
けど計算が大変になるだけで近似の精度も悪かったわねw
でもたまたま x = 1/2 で分けて計算したら上手くいった、てだけだから、こういうふうに解くのってかなり難しいと思うわ。
そもそも微分とかしてグラフの形を調べないといけないから下準備が大変なのよね。
個人的意見を言わせてもらうと、この問題は入試問題として良いものだとは思えないわ。
例えば、内接正8角形を考えなさいとか、そういうヒントが書かれているならいいけど。
せっかく>>233みたいに頑張っても3.05より大きいことが示なくて終わりって悲しいわよね。試験時間は限られてるのに。
こういう問題出すなら電卓使用可にするべきだと思うわ。19世紀とかじゃないんだから。 あ、一応補足しておくけど、フォンノイマンとかラマヌジャンをdisってるんじゃなくて
そういう天才の常人離れした計算能力の裏には、さらに計り知れなく深い思考があるわけでしょ、って言いたかったの タマタマ？
触っていいかしら
むしろこれが東大の想定解かもよ
こんな見事に3.05が出てくるんだもの >>239
了解！よくわかったわ！
>>238
この解き方は大学受験ではどうかと思うわ。
3だと簡単すぎるし3.1だと難しすぎるから、
間をとって3.05にしただけじゃない？
八角形でも十二角形でも3.06以上が言えるんだから
3.05なら問題として大丈夫でしょ、って感じじゃない？
てか、そもそもこの問題見たら普通内接多角形考えるわよ。
>>240
ラマヌジャン知ってるなんて驚いたわ。
ラマヌジャンの天才ぶりは深い思考だけではなく、
天性のセンス、神の啓示みたいのがあるんじゃ？
としか凡人には思えないレベルよね。
インドの数学者にはこういう謎の天才が時々いるのよね。 なんかさあ…>>233読んだあとに>>238見ると
人間ってこうまでも能力(思考力や想像力、忍耐力)に差があるんだ…と愕然とするわね
ほんと不思議
同じ人間なのに なんかさあ…>>234読んだあとに>>243見ると
人間ってこうまでも能力(思考力や想像力、忍耐力)に差があるんだ…と愕然とするわね
ほんと不思議
同じ人間なのに >>238のやり方で、例えば左半分をさらに x = 1/4 のところでも分けて、
(0,0), (0,4), (1/4, 64/17), (1/4, 0) を頂点とする台形
(1/4, 0), (1/4, 64/17), (1/2, 16/5), (1/2, 0) を頂点とする台形
(1/2, 0), (1/2, 3), (1, 2), (1, 0) を頂点とする台形
の3つの台形の合計面積を考えると、π > 1051/340 > 3.09 が分かるわ。
こういうふうに左半分の面積は細かく分けていけばいくらでも下から近似できるのね。
けれど右半分に関しては、このグラフと y = −2x+4 との隙間は永遠に失われたままになってしまうの。
左半分がこのやり方で下から近似できるのは、変曲点がある x = 1/√3 の左側でグラフが上に凸だからなの。
だから、もしより正確な近似がしたいなら、まず x = 1/√3 で分けて、その左側を細かく分けていく方が良いことになるの。
けれども、やはり y = −2x+4 との隙間は永遠に残るから、絶対にπに収束しないのが、このやり方の本質的欠点ね。
内接正n角形で近似する方法では、nを大きくすればπの値にいくらでも近づくことができるから、その意味ではこちらの方が正しい方法ね。 あと逆三角関数とかその微分は高校で習わないわよね？
そういう意味でも>>238が東大の想定解の可能性はないわよ。 よく考えると、x = 1/√3 の右側も、グラフに接線を引きまくって交点を出していけばグラフの下に収まる台形をいっぱい作れるから、面積を下から近似できるわね。
手計算でやると大変だけど、コンピュータ使ってプログラム作ればきっと大したことないわ。
いずれにせよ、x = 1/√3 の左右で分けるのって、（このどうでもいい入試問題を解くのが目的ではなく）πを近似することが目的の人にとっては当たり前のことだと思うわ。 あなたってどういう教育受けてきたの？
文系？高校まで海外とか？
日本のほぼ全ての理系の受験生は、
∫dx/(1+x^2) x:0→1
は、x=tanθ と置換して解くと思います
1/(1+x^2)=1/(1+tan^2θ)=cos^2θ
dx=1/cos^2θ dθ なので、
∫dx/(1+x^2) x:0→1
=∫cos^2θ 1/cos^2θ dθ θ:0→π/4
=∫ dθ θ:0→π/4
=π/4 >>248
あなたはこれまでの話の流れを読み直してからレスして下さいね。
>>うさぎ
機械的に区分を細かくして考えるなら、いわゆる区分求積法の考え方になるわよね。
細長い長方形の集まりだと考えるアレよ。
勿論区分がそこまで細かくないなら台形の近似の方が精度はいいけど、
機械的に細かくするなら台形より長方形が楽だわ。
それに今の場合0＜x＜1で単調減少なんだから、
「下から」評価するってのにこだわるとしても、
長方形の右端で考えればいいから、そう大変ではないわ。
変曲点にこだわらずに、二等分、四等分、八等分・・・
ってやっていけばだんだん精度上がるわよ。
正多角形近似が正しくてこっちが正しくないとまで言い切らなくてもいいと思うわ。
八等分くらいまでやればかなり精度高まるのではないかしら？
ちなみに「上から」評価したければ長方形の左端で考えればいいから、
下からと上からを入れ換えるのは正多角形近似より楽ではないかしら？
あたしゃもちろんいつものように、計算するのは面倒だからイメージだけで話してるわよw 流れを読んでるからこそ言ってるんだけど…
>>246があまりにもバカなこと抜かしてるから指摘してるのよ
あなたこそ頭悪いのに無理しないで >>250
流れ読んでるならうさぎが>>233でarctan持ち出してるんだから、
そのこと言ってるんだろうなって察しはつくはずよ。
>>248でarctan持ち出すまでもなくあの積分の式がでるんだから
大学受験範囲で可能だということを指摘したかったんだとしても、
もう少し言い方はあると思うわ。
>どういう教育受けてきたの？
とか
>頭悪い
とか、そういう物言いって、スレを荒らそうとしてる物言いに見えるわよ。
あなた自身きっと数学の素養かなりあるんだろうから、
もっとこのスレに善意的に接することができるはずよ。 >>249
確かにそうね！長方形を使えば変曲点とか関係なく単純ね。
ていうかアタシ、243にイラッとしちゃって、弁解したくなっちゃっただけなの。
>>238のやり方は、>>233と同じで台形を使うやり方だけど、その時にx = 1/2で分けて考える方が不自然に思うのよ。
たまたま問題が「3.05より大きいことを示せ」だからこれで上手く行くけど、3.05て数になんの数学的意味もないし、x = 1/2で分けることにも計算が楽なこと以外になんの数学的意味もないもの。
例えば、問題が「πが1051/340より大きいことを示せ」だったとして、>>245みたいにx = 1/4とx = 1/2で分割して計算して「ほら、バシィッて出るでしょ」て言われたら、違和感しか感じないでしょ。
数学的に何も意味のない数だし「そんなこと知らんがな」としか思わないのよね。
台形で近似しようと思うなら変曲点で分けようとするのが数学的に自然な発想じゃない？
なのに思考力や想像力が足りないみたいに言われたのがとても心外だったの。
しかもこの計算するのに、アタシにとってはかなり忍耐が必要だったのよw！
そもそも、>>187が謎めた書き込みを残したまま去っていって、189や195みたいに困惑したまま取り残されている人たちがいたから、とりあえずその謎を解消しておこうと思って、そのついでにちょっと計算してみただけなのに、バカにされて不愉快だったの。 アタシ別にそんなつもりないわよ
アンタも十分頭いいし、親切だし素敵な人だと思ってるわ
ただ、イチローとかもよく言ってるじゃん
有能な人同士の方が差が激しいって
頭がいい人のあいだでもこんなにも違いがあるのねって
ふと思っただけ >>248
高校の頃のアタシのことは>>121に書いた通りよ。
∫[0→1]1/(1+x^2)dx を計算しなさいって問題を出されたら、解ける受験生はある程度いるんでしょうね。
でもこの問題はそうじゃないもの。
定積分の値にπが出てくるものを探して、πの近似に使おうって思った時に ∫[0→1]1/(1+x^2)dx を思い浮かべる人は、逆三角関数の微分を知ってる人でなければ、あまりいないじゃないかしら？
現に189や195はなんのことかよく分からなかったわけでしょ。
たまたま1/(1+x^2)を積分する問題を解いたことある人なら思いつくかもしれないけど、それ以外で「あ、1/(1+x^2)を置換積分したら、πが出てくるから使えるんじゃね？」と思う人いるかしら？
アタシ、ババァだから高校の頃のこととかよく覚えてないけど、ふつうの高校生は1/(1+x^2)を積分したことあるものなの？ >>254
変曲点のところで分ける方が応用が利く考えてだって説明してるのに全然伝わってないのね… アタシ、この方を応援してるわ！
https://youtu.be/TiAYayBVXDk
東大院試だって
難しそう… ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
