姐さんのヒントでわかったわ！ n回の操作後、次の３つの可能性があるわ。
A. 2が現れた回数が偶数回（0を含む）で、3が現れた回数も偶数回
B. 2が現れた回数が奇数回で、3が現れた回数も奇数回
C. 2と3のうち、片方が偶数回現れていて、もう片方が奇数回現れている
n回の操作後、Aの場合になる確率をa_n、Bの場合になる確率をb_n、Cの場合になる確率をc_nとおくわ。
a_1とc_1は1/2、b_1は0になるわね。
n個の数字の積が平方数になるのは、Aの場合に他ならないから、a_nを求めればいいの。
n回の操作後、AかBかCになっているけど、次に数字を選んで1か4が出れば、AかBかCの状態に変化はないわ。
n回の操作後、AかBの状態になっていて、次に選んだ数字が2か3であれば、Cの状態に変化するわ。
n回の操作後、Cの状態になっていて、さらに選んだ数字が2か3であれば、どちらか片方の場合はAの状態になって、もう片方であればBの状態に変化するわ。
このことから、次の式が成り立つことがわかるわ。
a_{n+1} = (1/2) a_n + (1/4) c_n
b_{n+1} = (1/2) b_n + (1/4) c_n
c_{n+1} = (1/2) a_n + (1/2) b_n + (1/2) c_n
だけど、どのnに対しても a_n + b_n + c_n = 1 だから、c_{n+1} = (1/2) (a_n + b_n + c_n) = 1/2 となって、すべてのnに対して c_n = 1/2 となることが分かるわ。これを一番上の式に代入すると
a_{n+1} = (1/2) a_n + 1/8
となるから、この漸化式を a_1 = 1/2 に注意して解くと、a_n = (1/4) + (1/2^{n+1}) が得られるわ。これが答えよ。