大学入試の数学の問題を解くゲイ2022
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0006陽気な名無しさん2022/02/25(金) 18:42:40.840
ホモって学歴高い人たまに居るけど
総じて受験の為に産まれてきた人だけだよね
やっぱホモに走ってしまうと人生詰むんだよな…

ホモの人生消化試合！！（爆笑）
0009陽気な名無しさん2022/02/26(土) 13:45:39.190
京大ってこんなに簡単で選抜になるのかしら
0010陽気な名無しさん2022/02/27(日) 21:19:22.440
問題作ってみたの
気付けば一発なんだけど
誰か解いてくれるかしら


1,2,3,4の4個の数字から無作為に1個を選び記録するという操作をn回行う
記録されたn個の数字の積が平方数になる確率を求めよ
0011陽気な名無しさん2022/03/02(水) 00:00:36.490
個別の小さいnについてはがんばればできるけど、一般の場合はそうとう複雑じゃないかしら？　簡単にできるように思えないわ
0012陽気な名無しさん2022/03/06(日) 14:11:58.540
0 1 2 9 44
4C1 a[3] =8
4C2 a[2] =6
4C3 a[1] =0
4C4 a[0] =1


nCk a[n-k]
0013陽気な名無しさん2022/03/06(日) 23:45:33.360
>>10
他にもっと上手い方法あるかもしれないけど、
普通なら漸化式作って解けばよさそうに思うわ。
0015陽気な名無しさん2022/03/08(火) 10:18:45.900
そうね
まずは普通に漸化式で解いて、答えの形から別の簡単な方法を探すというのもいいかもしれない
0016陽気な名無しさん2022/03/08(火) 20:58:52.290
>>13
姐さんのヒントでわかったわ！　n回の操作後、次の３つの可能性があるわ。

A. 2が現れた回数が偶数回（0を含む）で、3が現れた回数も偶数回
B. 2が現れた回数が奇数回で、3が現れた回数も奇数回
C. 2と3のうち、片方が偶数回現れていて、もう片方が奇数回現れている

n回の操作後、Aの場合になる確率をa_n、Bの場合になる確率をb_n、Cの場合になる確率をc_nとおくわ。
a_1とc_1は1/2、b_1は0になるわね。
n個の数字の積が平方数になるのは、Aの場合に他ならないから、a_nを求めればいいの。

n回の操作後、AかBかCになっているけど、次に数字を選んで1か4が出れば、AかBかCの状態に変化はないわ。
n回の操作後、AかBの状態になっていて、次に選んだ数字が2か3であれば、Cの状態に変化するわ。
n回の操作後、Cの状態になっていて、さらに選んだ数字が2か3であれば、どちらか片方の場合はAの状態になって、もう片方であればBの状態に変化するわ。
このことから、次の式が成り立つことがわかるわ。

a_{n+1} = (1/2) a_n + (1/4) c_n
b_{n+1} = (1/2) b_n + (1/4) c_n
c_{n+1} = (1/2) a_n + (1/2) b_n + (1/2) c_n

だけど、どのnに対しても a_n + b_n + c_n = 1 だから、c_{n+1} = (1/2) (a_n + b_n + c_n) = 1/2 となって、すべてのnに対して c_n = 1/2 となることが分かるわ。これを一番上の式に代入すると

a_{n+1} = (1/2) a_n + 1/8

となるから、この漸化式を a_1 = 1/2 に注意して解くと、a_n = (1/4) + (1/2^{n+1}) が得られるわ。これが答えよ。
0017陽気な名無しさん2022/03/08(火) 21:45:39.840
素晴らしいわ
正解よ

なぜ答えが1/4に近いかを考えることね
0018陽気な名無しさん2022/03/08(火) 22:47:22.140
>>17
あなた>>10の姐さんなの？　面白い問題ありがとう。
2も3も偶数回出る場合と、2が偶数回出て3が奇数回出る場合、2が奇数回出て3が偶数回出る場合、2も3も奇数回出る場合のこの4つがだいたい同じ割合になるはずだから、nが大きくなると自然と1/4に近づいていくってことなのね。
「なぜ答えが1/4に近いかを考えることね」って言われるまで気付かなかったわ。良くこんな問題思いついたわね！
0019陽気な名無しさん2022/03/09(水) 01:22:13.260
>>16
解き方も無駄がなく説明もわかりやすくて素晴らしいわ。

>>18
あたしも最初同じようなこと思ったんだけど、
問題を「1,2,3の3個の数字」にすると、4個の数字の時とは確率は間違いなく異なると思うけど、18に書いてある考え方も成り立ってもよさそうにも思えるのよね。
「この4つがだいたい同じ割合」になる条件が、もう少しキチンと考える必要がありそうよ。
二つ目の場合と三つ目の場合は対称性より常に等しいでしょうけど。

出題者さんの解法だとこのあたりもクリアーなのかしら？
どんな解法なのか興味深いわ。
0020陽気な名無しさん2022/03/09(水) 11:28:20.340
>>19
姐さんの疑問とても興味深いから考えてみたの。1,2,3の3個の数字から選ぶことにすると、アタシのやり方の式が
a_{n+1} = (1/3)a_n + (1/3)c_n
b_{n+1} = (1/3)b_n + (1/3)c_n
c_{n+1} = (2/3)a_n + (2/3)b_n + (1/3)c_n
てなるわ。a_n + b_n + c_n = 1を利用すると、c_{n+1} = (2/3)(a_n + b_n + c_n) - (1/3)c_n = 2/3 - (1/3)c_n てなるわ。この漸化式を解いて
c_n = (1/2)(1 - (-1/3)^n)
が分かるわ。だから
a_{n+1} = (1/3)a_n + 1/6 - (1/6)(-1/3)^n
となって、クソめんどくさいなんだけど、この漸化式を解くと
a_n = 1 - (3/4)( 1 - 1/9^{[ (n-1)/2 ] + 1} )
となるわ。ここで [ X ] は Xを超えない最大の整数よ。だからnが大きくなるとa_nは 1 - 3/4 = 1/4に近づくの。
実際にa_nを計算すると、a_1 = a_2 = 1/3, a_3 = a_4 = 7/27, a_5 + a_6 = 61/243 てなってどんどん1/4に近づくわ。
まあa_nの一般項を出さなくても、c_n = (1/2)(1 - (-1/3)^n) はnが大きくなると1/2に近づくから、a_nがaに収束すると仮定すれば
a = (1/3)a + (1/3)(1/2)
となることが予想できて、これを解くと a = 1/4 が出るわね。

というわけで>>18に書いた考え方はやはり正しいと思うわ。
もし問題が「1,2,3,4,5の5個の数字から」だったら、n回後の確率の一般項がどうなるか知らないけど、nが大きくなったときに1/8に近づくはずだわ。
0021陽気な名無しさん2022/03/09(水) 14:45:58.26M
ホモはお受験ゴッコは得意でも、後の人生が消化試合なんだよなぁ（爆笑）
0022陽気な名無しさん2022/03/09(水) 14:48:39.470
>>21
受験すらうまくいかなかったバカは黙ってなさい
0023陽気な名無しさん2022/03/09(水) 15:51:52.320
>>20に書き間違えあったわ。a_5 + a_6 = 61/243 じゃなくて a_5 = a_6 = 61/243 ね。
nが偶数のときは a_{n+1} が a_n より減るけど、nが奇数のときは a_{n+1} = a_n なの。不思議よね。
0024陽気な名無しさん2022/03/09(水) 17:27:47.180
p[0]=1 p[1]=1/3
p[n+1]=2/3-p[n]/3
p[n]=(1/2){(-1/3)^n+1}

a[n]={p[n]-(1/3)^n}/2+(1/3)^n
=(1/4){(-1/3)^n+1}+(1/2)(1/3)^n
=(1/4){1+(2+(-1)^n)/3^n}

a[1]=1/3
a[2]=1/3
a[3]=7/27
a[4]=7/27
a[5]=61/243
a[6]=61/243
0025陽気な名無しさん2022/03/09(水) 23:02:20.160
nが奇数のときa[n]=a[n+1]になる理由を簡単に説明できると面白いわね
アタシは少し考えてみたけど分からなかったわ
0026陽気な名無しさん2022/03/09(水) 23:41:38.630
>>24
チラシの裏じゃないんだから、式書くだけじゃなくて意味を説明しなさいよ！
あなたの p[n] は >>20の a_n + b_n と同じものかしら？ なんで a[n]={p[n]-(1/3)^n}/2+(1/3)^n になるの？
0027陽気な名無しさん2022/03/10(木) 00:17:59.460
そうね…
なんでそうなるかを説明するには、まずなぜ>>10が暗算で解けるのか、を説明した方がいいかもしれない
0028陽気な名無しさん2022/03/10(木) 00:39:38.530
あたし13=19なんだけど、
自分で計算する暇なくて、ってか正直面倒で、
思ったことだけ書いてるだけなのに、
それをキチンと計算してくださる姐さん方に感謝よ。
20の結果を見ると、平方数がいくつあっても結果には関係なさそうね。
極端な例を挙げれば、
「1,2,3,4,9,16,25,36,49,64,81,100の12個の数字」ってしても、それぞれ1/4に収束しそうね。
まあ2や3のでる確率が下がるってことは、
一度出たらなかなか平方数に戻らないってことだものね。
1,2,3,4,5だと1/8に収束するだろうことも同意するわ。
1,2,3,4,5,6と、異なる素因数による合成数が入るとちょっと面倒になるかな？
どってことないかな？
やっぱり1/8か。
2,4,6とかだと、1/4かな。
平方成分除いて存在する異なる素因数の個数をkとすると、
1/2^kとかそんな感じかしら。

25の疑問は、20の計算で何故ガウス記号が出てくるのかってことよね？
20の計算の意味を丹念に調べたら、何かヒントが出てくるのではないかしら？

思いつきだけでろくに計算もしないでごめんなさいね。
計算するバイタリティーのある姐さん方頑張ってね。
それにしても、色んな疑問が湧いてくるこの問題、
素晴らしい問題ね。
出題者さんの解法も興味あるわ。
出題者さん教えてもらえないかしら。
0029陽気な名無しさん2022/03/10(木) 00:55:41.770
ああ、違ったわね。

>平方成分除いて存在する異なる素因数の個数をkとすると、

の部分、例えば「1,6の2個の数字」のように、「必ずセットでのみ出てくる異なる素因数による合成数」は、そのセットでひとつの素数のように扱う必要がありそうね。
スッキリとうまく表現するの大変だわ。
0030陽気な名無しさん2022/03/10(木) 01:15:25.230
アタシは11=16=18=20=23=26よ。
1,2,3,4,5,6だと、例えば2, 3, 6 と一回ずつ出た時にも積が平方数になるから、とても複雑でこれまでの考え方では通用しないと思うわ。
>>20でa_nの出し方を省略したけど簡単に説明すると、
a_{n+2} = (1/3)a_{n+1} + 1/6 - (1/6)(-1/3)^{n+1}
a_{n+1} = (1/3)a_n + 1/6 - (1/6)(-1/3)^n
の辺々を引いて、両辺に(-3)^{n+1}を掛けて、d_n = (-3)^n (a_{n+1} - a_n) とおくと
d_{n+1} = - d_n - 2/3
となるわ。これを解くと、d_nはnが偶数のとき -2/3, nが奇数のとき 0 になるわ。
だからnが奇数のときは a_{n+1} - a_n = 0 になって、a_n の一般項を出すときにガウス記号が出たの。
nが奇数のとき a_{n+1} = a_n になる本質的な理由があるのかは分からないわ。
出題者 = 24 = 27 なのかしら？もったいぶらないで解説してほしいわ。
0031陽気な名無しさん2022/03/10(木) 09:40:40.160
ええ、アタシは出題者=24=27よ
元の問題の想定解が1,2,3でも使えるか27で確かめたわ

先に>10がなぜ暗算で解けるか解説するわ

1回の試行で確率1/2で起こるような事象 (例えばコインを投げて表が出るとか、1,2,3,4から無作為に選んで2または3が出るといったこと) は、n回試行を繰り返したときにその事象が 偶数 回起きる確率は1/2となる、ということに気付く必要がある。
つまり、1,2,3,4の4個の数字から無作為に1個を選び記録するという操作をn回行うとき、2または3が偶数回出る確率は1/2となる。
(念のため注意しておくと2または3が出るというのは、例えば無作為に7回選んで
1243342
と出た場合、2または3は4回出ている。
1114443
と出た場合、2または3は1回出ている。)
暗算で解きたいのだから、これ証明をするのに二項係数の和など用いてはならない。漸化式で考える。
1,2,3,4の4個の数字から無作為に1個を選び記録するという操作をn回行うとき、2または3が偶数回出る確率をp[n]とする。p[n]はコインをn回投げて表が偶数回出る確率と思ってもいい。
p[n+1]=p[n]*1/2+(1-p[n])*1/2
=1/2
となり、したがってp[n]は常に1/2である。

さて次に、1,2,3,4の積がどういう時に平方数になるか考察する。1と4はどのように出ても積は平方数となるので、2と3の出方だけが問題。
そもそも2または3が奇数回出ると平方数にはなりようがない。2または3が奇数回出るということは2が偶数回で3が奇数回、または、2が奇数回で3が偶然回出るということだから、素因数分解の2の指数と3の指数どちらかは必ず奇数であり平方数にはならない。
したがって少なくとも2または3が偶数回出る必要がある。上のp[n]が使えそうである。
しかし、2または3が偶数回出たとしても2も3も奇数回だと平方数にはならないから、2が偶数回出る必要がある(このとき必然的に3も偶数回で積が平方数となるための必要十分条件となる)。
2または3が偶数回出たうえで2が偶数回出るということは、また上のp[n]が使えそうである。表に2、裏に3が書いてあるコインを偶数回(2k回)投げて表の2が偶数回出る確率はp[2k]=1/2である。
ただし気をつけなければならないのは、全ての回で1または4が出る場合(=確率1/2^nで、この場合も積は平方数)である。この場合を除いて、2または3が偶数回出たうえで2が偶数回出ると考えなければならない。
以上より、求める確率は
(1/2-1/2^n)*1/2+1/2^n
=1/4+1/2^(n+1)
で、>16と同じになる。


長くなったけど、要約すれば

1,2,3,4の積が平方数になる確率
=(2または3が偶数回出る確率-全て1または4が出る確率)*(2が偶数回出る確率)+(全て1または4が出る確率)
=(1/2-1/2^n)*1/2+1/2^n
=1/4+1/2^(n+1)

つまり、暗算で求められるというわけ。
0032陽気な名無しさん2022/03/10(木) 09:40:53.490
そこで>20も同じように考えてみる

1,2,3の積が平方数になるのは、
(2または3が偶数回出る確率-全て1が出る確率)*(2が偶数回出る確率)+(全て1が出る確率)
= (2または3が偶数回出る確率-1/3^n)*1/2+1/3^n

表が2/3、裏が1/3の確率で出るコインをn回投げたとき表が偶数回出る確率をp[n]とすると>24の漸化式になるはずよ
0033陽気な名無しさん2022/03/10(木) 12:44:40.690
>>31
とても丁寧な説明どうもありがとう。鮮やかね。よくわかったし、自分でも取り組んだ甲斐があったわ。
確率1/2で起きることをn回試行して、偶数回起きる確率がいつも1/2になるなんて、とても面白い発見ね！おかげでまたひとつ賢いヲカマになったわ。

ついでに>>30で1,2,3,4,5,6だと複雑になるって書いたけど、よく考えるとそこまででもなかったわね。
(2が偶数回出る確率) x (3が偶数回出る確率) x (5が偶数回出る確率) x (6が偶数回出る確率)
+ (2が奇数回出る確率) x (3が奇数回出る確率) x (5が偶数回出る確率) x (6が奇数回出る確率)
を出せばいいのよね。だからnが大きくなると
1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
に近づくはずなのね？ ただ、登場する数字が増えれば、どんどん複雑になるわね。
0034陽気な名無しさん2022/03/10(木) 19:36:34.870
mod平方数の乗法群の位数分の1になるってだけの話では？
0037陽気な名無しさん2022/03/12(土) 10:00:31.910
無理数の無理数乗が無理数になることがあることを様々方法で示せ
0038陽気な名無しさん2022/03/12(土) 12:52:47.250
無理数乗の定義って大学入試の範囲内だったかしら？
0039陽気な名無しさん2022/03/13(日) 18:20:58.030
ちょっとーお姉さまたち、普段はどんなお仕事してらっしゃるのか知りたいわ
0040陽気な名無しさん2022/03/14(月) 17:06:52.890Pi
末尾にPiがつく日よ
0041陽気な名無しさん2022/03/15(火) 01:56:11.110
>>37
「無理数の無理数乗が有理数になることがある」なら、排中律を使う証明と構成的証明を知ってるけど、この問題は初めてみたわ。
アタシは２つ方法を考えたわ。

(1) まず√2と√3が無理数なのはいいわね？そしてlog_2 3も無理数ね。なぜなら、もしこれが有理数でa/bという分数で表せるとすると、2^{a/b} = 3、つまり 2^a = 3^b となって矛盾しちゃうわ。そして√2 の (log_2 3) 乗を計算すると
√2^{log_2 3} = {2^{1/2}}^{log_2 3} = 2^{(1/2) log_2 3} = 2^{log_2 3^(1/2)} = 3^(1/2) = √3
となってめでたく無理数になったわ。

(2) Xを全ての無理数の集合とするわ。そして無理数なんでも良いんだけど、そうね、例えばπを使って Y = { x^π | x ∈ X } とおくわ。
Yの要素に有理数しかないと仮定して矛盾を導けばいいの。そう仮定すると、有理数の集合は可算集合だからYの濃度を|Y|で表すと、
|Y| ≤ ℵ_0（可算集合の濃度以下）となるわね。一方Xは無理数の集合だから、|X| = 2^{ℵ_0}（連続体の濃度）ね。
ところが、XとYの要素の間には一対一の対応関係があるから |X| = |Y| となって 2^{ℵ_0} ≤ ℵ_0 が得られるわ。
けれど実際は ℵ_0 < 2^{ℵ_0} なのでこれは矛盾よ。

これで正解かしら？ 他にどんな方法があるのかしら？
0042陽気な名無しさん2022/03/15(火) 02:01:29.510
解いたついでに、ちょっと前に落ちちゃった「頭が良いゲイが集まるスレ」で

√2=1.41421356...
の小数点第偶数位を並べた小数
0.1236...
は無理数か？

ていう問題が出されてたんだけど、さっぱりわからないわ。答えがわかる人いたら教えて！
0043陽気な名無しさん2022/03/15(火) 07:36:58.940
>>41
2つもの方法を考えたなんて、あなた素晴らしいわね。

(1)の方法は、無理数乗の定義がキチンと出来ていないとしても、
そういう概念がもしあるとしたらという程度の前提で
高校の範囲内で出来るのが特に素晴らしいわ。

(2)の方法は、加算無限＜連続無限とか、濃度という言葉使い、アレフゼロなんて記号、
完全に大学の範囲、しかも多分数学科でしかやらないのではないのかしら？
一対一というのは単射のことだけど、
全射であることはYの定義から明らかだから、
ご本人はたぶん全単射のつもりで使っているのね。
ただこの方法、ちょっと疑問があるわ。
X→Yが単射(一対一)というのは明らかかしら？
一般論でいうと、rを定数としたとき、
写像x→x^rは単射とは限らないわ。
例えばrを2としたとき、1^2＝(−1)^2よね。
rを無理数とするとx→x^rが単射になるかどうか、自明ではないのではないかしら？
もし事実だとしてもなぜそれが言えるのか説明が必要ではないかしら？
少なくともあたしはこれが単射と言い切れるかどうかわからないわ。
0044陽気な名無しさん2022/03/15(火) 07:46:42.730
>>42 についてはアタシもさっぱりだわ。
出題者さんの登場が待たれるわね。

ところであなたもしかしてリサ姐さんじゃない？
リサ姐さんのこと思い出したら、あなたがリサ姐さんではなくても、
数学科じゃなくても連続濃度とか知ってても不思議ではないかも、
と思い直したわ。
>多分数学科でしかやらないのではないのかしら？
の部分は撤回するわ。
0045陽気な名無しさん2022/03/15(火) 09:04:58.190
>>38
不思議なこと言うわね
大学入試ではf(x)=e^xという関数は無理数を除いた飛び飛びでしか定義されていないとでもいうのかしら
0046陽気な名無しさん2022/03/15(火) 10:43:45.900
>>45
あなたそういう物言いはスレが荒れかねないわよ。
無理数乗についてなら、
「指数関数を定義するときに、実数上の関数として定義するために、
無理数乗の定義の仕方も説明されるわよ」
とでも言えばいいじゃない。
数学系スレは荒れやすいから気をつけてね。
0047陽気な名無しさん2022/03/15(火) 11:02:49.030
>>43
あら、レスありがと！
まず言葉遣いなんだけど、確かに「一対一関数」は one-to-one function の日本語訳で単射を表すわ。
で、紛らわしいんだけど「一対一対応」は one-to-one correspondence の日本語訳で全単射を表すの。
姐さんのおっしゃる通り、定義に問題があったわ。xが負の数だとxの無理数乗とかそもそも定義されないわよね。
だからXを「0以上の全ての無理数の集合」に直すわ。これなら、Xの任意の要素a, bに対して、a < b なら a^π < b^π となるから一対一よね？ こうしてもXの濃度は2^{ℵ_0}（連続体の濃度）のままなので大丈夫ね。
またはXを「全ての無理数の集合」のままにして、Y = { π^x | x ∈ X } に変えても大丈夫よね？

アタシはリサ姐さんという方ではないわ。どういう方なの？
確かに数学科出身でなければこういうのはふつう知らないと思うわ。アタシは数学科出身じゃないけど個人的に勉強したの。あなたも知ってるみたいだけど数学科出身なの？
0048陽気な名無しさん2022/03/15(火) 12:25:21.310
>>41
＞「無理数の無理数乗が有理数になることがある」なら、排中律を使う証明と構成的証明を知ってるけど、
＞

それをご存知なら排中律を使う非構成的証明を所望いたします
0049陽気な名無しさん2022/03/15(火) 14:22:22.150
>>48
これは面白いの。√2^√2を考えるわ。もしこれが有理数であるなら、無理数の無理数乗が有理数ということになるわね。
じゃあ、もし√2^√2が有理数でない、つまり無理数なら、(√2^√2)^√2を考えるの。すると
(√2^√2)^√2 = √2^(√2 x √2) = √2^2 = 2
となってやはり無理数の無理数乗が有理数になるわ。
√2^√2は有理数であるか有理数でないかのどちらかであり、どっちにしても無理数の無理数乗が有理数になることがあることがわかったから、これで証明できたわ。
この「√2^√2は有理数であるか有理数でないかのどちらかである」を真としているのが排中律を使っている部分よ。

ちなみに構成的証明は √2^{log_2 9} = 3 というもので、>>41の(1)の方法はこれをアレンジしたの。
0050432022/03/15(火) 14:49:54.770
>>47
言葉使いの説明ありがとう。
そして証明の修正、OKだと思うわ。
加算濃度＜連続濃度は知ってる仮定ね。
これも対角線論法とか必要で面白い話なのよね。

リサ姐さんって、前にあった「ゲイが語る京都大学」ってスレにいた、理IIIに合格したという人よ。
そうね、あなたの方が言葉使いが丁寧な気がするわ。
リサ姐さんも面白い人だけど。
もしかしてあなた、もっと前にあった「数学が得意なゲイってこの世に存在するの？」ってスレの末尾Kさんかしら？
今末尾Kじゃないから違うかな？
あたしは一応数学科出身よ。
0051陽気な名無しさん2022/03/15(火) 16:26:50.770
失礼、>>48は、
"せっかく>>49のような楽しい例をご存知なのであれば、>>37もそのような例、つまり排中律を使用した 非 構成的証明を考えてみて下さい"
という意味です
0052陽気な名無しさん2022/03/15(火) 22:13:43.400
ホモ
計算よりおのれの狂った人生設計の方を何とかしたら？
0053陽気な名無しさん2022/03/15(火) 23:22:51.110
>>50
あら、そうなのね。アタシは末尾Kさんという方でもないわ。数学系のスレにカキコしたのはこのスレの11と16が初めてよ。
紹介していただいたスレ面白そうだからログを読んでみるわ。それにしても、数学好きのゲイってそれなりにいるのかしら？
数学好きってなぜか女より男の方が圧倒的に多いわよね？　数学科の女子の割合ってどのくらいだったのかしら？
ゲイって基本、心が女の男だと思ってるんだけど、そうだとすると、数学好きのゲイの割合って、数学好きのノンケ男の割合より低くて、数学好きの女の割合に近いのかしら？って前々から疑問に思ってるのよね。
0054陽気な名無しさん2022/03/15(火) 23:51:17.320
>>51
ちょっと考えてみたけど、>>49の証明を簡単にアレンジして作ることはできなそうよね。違うふうに排中律を使う証明があるのかもしれないけど、すぐには思いつかないわ。
でも、>>41の(2)は排中律は使ってないけど非構成的な証明よ。具体例を作ったわけじゃないもの。アタシが証明した命題は、
¬∀x(Px → Qx)
という論理式で表せるわ。ここで
Px =「xは無理数の無理数乗である」
Qx =「xは有理数である」
ね。けど本当に示さなきゃいけないのは ∃x(Px ∧ ¬Qx) なのよ。古典論理では ¬∀x(Px → Qx) と ∃x(Px ∧ ¬Qx) は同値だけど、直観主義論理では前者から後者を導けないのよね。
ていうかあなた出題者さんなの？他の方法あるなら解説してよ。
0055陽気な名無しさん2022/03/16(水) 01:08:58.120
>>53
あら、初めてさんだったのね。
それは失礼いたしました。
あたしのときは数学科の中で女子は１割くらいだったかしら？
男女比という見方で見ていなかったので記憶があいまいで信憑性は低いけと。
それにあたしの大学時代って相当昔だから参考になるかしら。

ところでゲイについての考え方はあたしとかなり違うみたいね。
心が女の男って、ゲイではなくてトランスになるのでは？
少なくともあたしはあたしの心が女だとは思ったことはないのよ。
オネエ言葉は二丁目通いが長かったからわりとネイティブになったけど。
あたしがタチだからなのかしらね。
ネコならまた違うものかしら。
数学好きのゲイの割合ねえ〜
ノンケ友達が少ないから数学好きのノンケの割合もよくわからないけど、
「探してみると意外といるのね」っていう感じがゲイでもノンケでも変わらないのではないかしら？
んーでもノンケの方が数学好き多いかしらね〜？
それから数学好きの女って、そんなに少なくはないのでは、とも思うの。
ただ女って好き嫌いよりも役立つか役立たないかで選ぶ傾向があるから、
就職や結婚等に特に有利にならない数学科を選ぶ女が少ないってのはあるのではないかしら。
ゲイは逆に役立つか役立たないかよりも好き嫌いで選ぶ人が多くない？
というか極端に言えば、刹那的な人が女よりノンケより多い気がするわ。
家庭を持つ気がないことから来る無責任さのせいなのかもしれないけど。

まー人それぞれって言ってしまえばそれまでなんだけどね。
0056陽気な名無しさん2022/03/16(水) 08:47:08.870
ホモで頭が良いということがまず非常に稀なことなのに
そのなかで数学が好きってゼロを発見するようなものよ
0057陽気な名無しさん2022/03/16(水) 11:10:05.160
>>55
アタシはリアルではオネエしゃべらなくて、5ちゃんだけオネエね。でも不思議と数学とオネエの相性良い気がするのw
言葉足らずだったけど、心には男性的なものと女性的なものがあるだけで、性別はあくまで肉体的なもので心にはないと思っているの。
男性的な心っていうのは、女に性的魅力を感じて、一般的に男性が多く好むもの（格闘技とか野球とかロボットものとか？）を好むって意味。
女性的な心っていうのは、男に性的魅力を感じて、一般的に女性が多く好むもの（きれいなものやかわいいものなど）を好むって意味。
そういう分け方だと、アタシの心って女性的だと思うの。
小学校低学年までの自分のことを思い出すと、魔法少女ものが好きだったし、キキララ好きだったし、折り紙好きだったし、
雛祭りの時お雛様欲しい！ってだだこねたし、気づいた時には「わたし〜〜だわ」とかナチュラルにオネエで会話してたの！
もちろん体育は苦手だったわ。飛んでくるボールとか怖いのw
明らかに女性的だったんでしょうね、オカマって言われていじめられたわ。
でもその頃は好きな女の子もいて、自分がオカマだったなんて知らなかったのw
トランスのことはよくわからないんだけど、自分の心の傾向に体を合わせて辻褄を合わせちゃおうとするのがトランスで、
自分の肉体的性別は事実として受け入れるのがトランスじゃないゲイとかレズビアンなのかしら？って思ってたんだけど
男→女のトランスで女性が好きということもあるから、これはアタシの理論だと説明できないのよね。
ご察しの通りアタシはネコだから女性的なだけで、タチの人は自分のことを女性的だとは思ってないのかしらね。

女は好き嫌いより役立つかどうかで選ぶっていうのはなるほどね。男より現実的である意味賢いのね。
0058陽気な名無しさん2022/03/16(水) 17:25:41.940
>>54
√2^√2が無理数なら、それが求めている例である
√2^√2が有理数なら、これに何かをかけて無理数に出来ないかしら？
0059陽気な名無しさん2022/03/16(水) 21:39:12.120
>>58
姐さんのヒントで思いついたわ。
√2^√3が無理数なら、それが求めている例よ。
√2^√3が有理数なら、それに無理数である√2をかけた数である √2 x √2^√3 も無理数ね。これの√3乗を計算すると
(√2 x √2^√3)^√3 = √2^√3 x (√2^√3)^√3 = √2^√3 x √2^(√3 x √3) = √2^√3 x √2^3 = √2^√3 x 2 x √2
となるわ。右辺は 有理数 x 有理数 x 無理数 だから無理数になるわ。
0060陽気な名無しさん2022/03/16(水) 22:09:00.960
√2^√3が無理数なら、それが求めている例よ。
＞√2^√3が有理数なら、それに無理数である√2をかけた数である √2 x √2^√3 も無理数ね。これの√3乗を計算すると
＞(√2 x √2^√3)^√3 = √2^√3 x (√2^√3)^√3 = √2^√3 x √2^(√3 x √3) = √2^√3 x √2^3 = √2^√3 x 2 x √2
＞となるわ。右辺は 有理数 x 有
0061陽気な名無しさん2022/03/16(水) 22:11:42.390
√2^√3が無理数なら、それが求めている例よ。
√2^√3が有理数なら、それに無理数である√2をかけた数である √2 x √2^√3 =(√2)^(1+√3) が求めている例よ。


というのがアタシの言いたかったこと
0063陽気な名無しさん2022/03/17(木) 00:40:23.650
ぴぎゃー
0064陽気な名無しさん2022/03/17(木) 20:22:48.680
z を複素数とし、自然数 n に対して複素数 z^n を表す複素数平面上の点を P_n とする。
(一部設問省略)
n を 3 以上の自然数とする。点 P_1, P_2, ……, P_n がすべて異なり、ある正 n 角形の頂点となり、
この順で反時計回りに並んでいるものとする。 このとき z^n の値を求めよ。 (お茶の水女大 理(数))


この問題、数学科用とは思えないくらい簡単なので、問題文の
「この順で反時計回りに並んでいるものとする。」
を無視して解いて下さい
0065陽気な名無しさん2022/03/17(木) 21:26:40.760
1
0067陽気な名無しさん2022/03/17(木) 22:15:19.040
自明
0069陽気な名無しさん2022/03/17(木) 22:57:51.480
複素数の乗法を極形式で考えれば自明
0071陽気な名無しさん2022/03/18(金) 04:24:03.240
理由は？って聞いてるってことは正しいってことよね？
勘違いとか誤解ってどういうこと？
出題者さんじゃなくてもいいけど、誰か何故1になるのか、
また1と答えた人がどんな勘違いなり誤解してる可能性があるのか、
教えてくれる人いないかしら？
0072陽気な名無しさん2022/03/18(金) 10:08:01.890
>>64
これ、1の冪根をある程度見慣れている人なら、
zを1の原始n乗根(反時計回りを無視するなら原始n乗根ならなんでもいいわよね)にすればいいってピンと来ると思うんだけど、
自明と答えた姐さんはそれを説明するのが面倒だったんじゃないかしら？
でも1の冪根以外ではあり得ないかどうかも本当ならチェックしなければならないことは忘れていたのかしら？
それともわかっていて面倒だったのかしら？
どうせ答えるならちゃんと説明して欲しいものだわね。
まあでも、自明って答えも乱暴だけど、
>>68の姐さんの返しにもちょっと刺があるわね。
自明だけではわからない人にもわかるように説明してくださらない？とか書けばまだ和やかだと思うわよ。
それとも「○○と勘違いしてない？」とか具体的に書くとかね。
そうでないと攻撃的なレスに見えてしまうわ。
0073陽気な名無しさん2022/03/18(金) 10:17:57.240
たしかに。
どう考えて自明となったのかもう少し説明してほしい。

おそらくコレだとは思うけど。

>でも1の冪根以外ではあり得ないかどうかも本当ならチェックしなければならないことは忘れていたのかしら？
0074陽気な名無しさん2022/03/18(金) 10:19:18.810
>>71
じゃ、あたしが横レスするわ。
zの絶対値をr、偏角をθとすると、z = r(cos θ + i sin θ) で、z^k = r^k(cos kθ + i sin kθ) となるわね。
もしr≠1だったらz, z^2, …, z^nは原点を中心とする渦巻きみたいに並んで正n角形にはならないから、r = 1ね。
だから、z, z^2, …, z^nは原点を中心とする半径1の円状にあって、これが正n角形になってるわ。
となりあう頂点の偏角の差は2π/nだから、θ = (2π/n) x 整数となって、z^n = cos nθ + i sin nθ= 1となるの。
これでいいかしら？
0075陽気な名無しさん2022/03/18(金) 10:42:03.170
>>74
＞もしr≠1だったらz, z^2, …, z^nは原点を中心とする渦巻きみたいに並んで正n角形にはならないから、r = 1ね。

ここが問題ありだと思います。
もしかして、勝手に正n角形の中心が原点だと仮定していませんか？
0076722022/03/18(金) 12:20:00.230
>>74
そう、そこをキチンとチェックしなければならないのよね。
渦巻き状だとしても、そのうちはじめのn個で、
原点以外を中心とすれば正n角形になることはあり得るのではないのか、
あり得ないならなぜそう言えるか、を示さないとならないのよね。
直感的にはまずあり得ないと感じるけど、キチンと示そうとすると面倒臭そうなのよね。
自明って言いたくなる気持ちもわかるわ。
でも、正n角形なら各辺の長さは等しいのよね。
中心がどこにあろうとも。
各辺の長さが等しくなるための条件を考えると、
r＝1を示すのはさほど難しくなさそうよ。
0077陽気な名無しさん2022/03/18(金) 12:55:51.550
つまり>>74では元のお茶女の問題も解けてないということね？
0078762022/03/18(金) 13:10:55.820
>>74ではなく>>75だったわ。

>>77
ちょっと刺あるわよ。
>>74は大筋正しいし正解も求まっているけど、
チェックするべき所が十分ではなかっただけよ。
恐らく減点はされるでしょうけど部分点は入るはずよ。

でもこういう直感的にまず間違いないとか、まずあり得ないとかっていう内容って、
ついつい確認が疎かになりがちなのよね。
0079陽気な名無しさん2022/03/18(金) 17:12:23.170
部分点出るかしら…？
かなり致命的なミスだと思うけど…
0081陽気な名無しさん2022/03/19(土) 01:28:49.370
自演してんじゃねーよ
0082742022/03/19(土) 04:07:20.350
渦巻きが正n角形なわけないでしょ、と思いつつ、確かにちゃんと示してはいないとは思ったけど、ボロクソに言われてて草
じゃあこれでどう？　
z, z^2, …, z^n の各点に z を掛けて得られる点 z^2, …, z^n, z^{n+1} が作る図形を考えるわ。
z = r(cos θ + i sin θ) として、これを掛けることは図形全体をr倍に相似拡大してθ回転されることになるわ。
もとが正n角形だから、相似拡大して得られる図形も正n角形になるわ。
そして、もとの正n角形と新しい正n角形の頂点のうち z^2, …, z^n は共通してるから、残りのひとつも一致するしかなくて、z^{n+1} = z となるの。
もし z = 0 だったら、そもそも異なるn個の点が得られないから、z ≠ 0 ね。
なので z^{n+1} = z の両辺を z で割って z^n = 1 が得られるわ。

ちなみに、もとの問題にある「この順で反時計回りに並んでいる」という条件があると、
zのとなりの頂点がz^2、そのとなりの頂点がz^3、てなるから各辺の長さが等しいことから
|z^2 - z| = |z^3 - z^2| = |(z^2 - z)z| = |(z^2 - z)| |z|
となるわ。z^2 - z ≠ 0 なので（z が 0 や 1だと異なるn個の点が得られない）、
|z| = 1が得られて z = cos θ + i sin θの形になるってわかるってことかしら。
0083陽気な名無しさん2022/03/19(土) 07:21:49.290
あら、これは悪くないわね
0084陽気な名無しさん2022/03/19(土) 08:41:31.340
ただ、n=3を除いて考えなければならないわね
z^2とz^3だけでは正三角形がひとつに決まるとは言えないから
0085陽気な名無しさん2022/03/19(土) 08:42:00.660
でも素晴らしい着想だと思うわ
0086陽気な名無しさん2022/03/19(土) 11:40:59.860
n＝3のときは、時計回りか反時計回りかのどちらかしかないから、
後半の論法で行けそうね。

姐さん、罵詈雑言にもめげないで素敵だわ！
惚れそう！
0087陽気な名無しさん2022/03/22(火) 11:54:09.840
P(x,y,z)は(実数係数の)多項式とする。
θは0≦θ<2π,θ≠π/2,3π/2を動く変数とする。
P(sinθ,cosθ,tanθ)がθ→π/2およびθ→3π/2でそれぞれ収束するならば、
P(sinθ,cosθ,tanθ)≡Q(sinθ,cosθ) (恒等的に等しい)
となる多項式Q(x,y)が存在することを示せ。(滋賀医科大)
0088陽気な名無しさん2022/03/22(火) 11:55:49.170
あんたたち　理系なの？　すごいわねあちんぷんかんぷんだわ　(´・ω・｀)　
0089陽気な名無しさん2022/03/22(火) 21:39:22.350
だって〜
tanθはθ→π/2やθ→3π/2では発散するんだから〜
zがあったら発散させないためにyとの積になってないとダメでしょ〜
そしたらyz＝cosθtanθ＝sinθ＝xなんだから、
収束する多項式Pの中にzがあればyz＝xで置き換えることができて、
全てのzをそうやって消して出来た式がQってことでいいんじゃないの〜？
0090陽気な名無しさん2022/03/22(火) 21:43:25.700
ダメでしょうね
0091陽気な名無しさん2022/03/22(火) 21:49:30.790
どこがダメなの〜？
0092陽気な名無しさん2022/03/22(火) 21:57:40.030
採点する大学の先生が見るともっと色々ポイントがあるんだろうけど
アタシがパッと見た感じだと
(tanθ)^4-(tanθ)^2
みたいなものの可能性が排除されていないと思う
0093陽気な名無しさん2022/03/22(火) 22:33:45.180
>>88
そうよ？

でも数学科は実験がないからラクよ？
0094陽気な名無しさん2022/03/22(火) 23:19:37.760
だって(tanθ)^4-(tanθ)^2って発散するじゃん〜
0095陽気な名無しさん2022/03/22(火) 23:24:19.90M
賢そうなスレね
0096陽気な名無しさん2022/03/23(水) 00:16:50.000
じゃ、またアタシが颯爽と解答するわ。
P(x,y,z)に現れるzのべきの指数の最大のものをnとすると、tanθ = sinθ/cosθだから、ある多項式R(x,y)を使ってP(sinθ,cosθ,tanθ) = R(sinθ,cosθ)/cos^nθと書けることはわかるわよね。
なので、次のより一般的な問題に帰着させるの。
「 R(sinθ,cosθ)/cos^nθがθ→π/2およびθ→3π/2で収束するならば、0≤θ<2π,θ≠π/2, 3π/2で R(sinθ,cosθ)/cos^nθ=Q(sinθ,cosθ) となる多項式Q(x,y)が存在することを示せ 」
これをnに関する帰納法で示すわ。n = 0なら、Q(x,y) = R(x,y)で終わりね。
次に、これがn = kの時に成り立つとして、n = k+1の時にも成り立つことを示すわ。
θ→π/2およびθ→3π/2のとき、R(sinθ,cosθ)/cos^{k+1}θが収束するとするわ。
このとき、cosθ→0だから、R(sinθ,cosθ)→0となる必要があるわね。
R(x,y)は、R(x,y) = y S(x,y) + T(x) という形で一通りに書き表せるわ。T(x)はR(x,y)の中でyを含まない項の和よ。

R(sinθ,cosθ) = cosθ S(sinθ,cosθ) + T(sinθ)

となるけど、θ→π/2およびθ→3π/2のとき、R(sinθ,cosθ)→0 かつ cosθ S(sinθ,cosθ)→0だから（|sinθ| ≤ 1, |cosθ| ≤ 1だから、S(sinθ,cosθ) は有界ね）、T(sinθ) →0となる必要があるの。
つまり、x → 1および x → -1 のとき T(x)→0ということなの。T(x)は多項式で連続関数だから、T(1) = T(-1) = 0ということになるわ。
従ってT(x) は (x-1)(x+1) = (x^2 - 1) を因数に持って、T(x) = (x^2 - 1) U(x) という形で表せるの。なので

T(sinθ) = (sin^2θ - 1) U(sinθ) = - cos^2θ U(sinθ)

となって、

R(sinθ,cosθ)/cos^{k+1}θ
= (cosθ S(sinθ,cosθ) + T(sinθ))/cos^{k+1}θ
= (cosθ S(sinθ,cosθ) - cos^2θ U(sinθ))/cos^{k+1}θ
= (S(sinθ,cosθ) - cos θU(sinθ))/cos^kθ

となるけど、右辺は帰納法の仮定からある多項式Q(x,y)があって、Q(sinθ,cosθ)と等しくなるわ。これで完了ね。

書くと結構長くなって大変ね。もっと簡単な方法があるのかしら？
それにしても限られた試験時間でこんな医学と全く関係ないこんなこと書かせられるなんて受験生かわいそうだわ。
そもそも収束とか連続関数とかって高校まででちゃんと教えられてたのかしら？
こんな問題、一般的な高校生ができる限界を超えてる気がするんだけど。
0097陽気な名無しさん2022/03/23(水) 08:43:57.960
>>96
完璧すぎて痺れたわ
0098陽気な名無しさん2022/03/24(木) 11:56:02.270
こういう問題じゃないと差がつかないんでしょうね
0099陽気な名無しさん2022/03/24(木) 22:23:30.170
>>87を参考に問題を作ったわ
めちゃ簡単よ！！

x^2で割り切れない多項式f(x)と、xで割り切れない多項式g(x)で、
f(cosθ)tan^2θ+g(cosθ)tanθ
がθ→π/2で収束するようなものを1組探してください
0100陽気な名無しさん2022/03/24(木) 23:20:12.910
一行目の条件がないと f(x) = x^2、g(x) = x で簡単すぎってことなのね？ 面白い問題だわ
0101陽気な名無しさん2022/03/24(木) 23:53:36.180
前半で収束しない部分と、
後半で収束しない部分が、
打ち消し合うようにすればいいのかしら
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