姐さんの疑問とても興味深いから考えてみたの。1,2,3の3個の数字から選ぶことにすると、アタシのやり方の式が
a_{n+1} = (1/3)a_n + (1/3)c_n
b_{n+1} = (1/3)b_n + (1/3)c_n
c_{n+1} = (2/3)a_n + (2/3)b_n + (1/3)c_n
てなるわ。a_n + b_n + c_n = 1を利用すると、c_{n+1} = (2/3)(a_n + b_n + c_n) - (1/3)c_n = 2/3 - (1/3)c_n てなるわ。この漸化式を解いて
c_n = (1/2)(1 - (-1/3)^n)
が分かるわ。だから
a_{n+1} = (1/3)a_n + 1/6 - (1/6)(-1/3)^n
となって、クソめんどくさいなんだけど、この漸化式を解くと a_n = 1 - (3/4)( 1 - 1/9^{[ (n-1)/2 ] + 1} )
となるわ。ここで [ X ] は Xを超えない最大の整数よ。だからnが大きくなるとa_nは 1 - 3/4 = 1/4に近づくの。
実際にa_nを計算すると、a_1 = a_2 = 1/3, a_3 = a_4 = 7/27, a_5 + a_6 = 61/243 てなってどんどん1/4に近づくわ。
まあa_nの一般項を出さなくても、c_n = (1/2)(1 - (-1/3)^n) はnが大きくなると1/2に近づくから、a_nがaに収束すると仮定すれば
a = (1/3)a + (1/3)(1/2)
となることが予想できて、これを解くと a = 1/4 が出るわね。
というわけで>>18に書いた考え方はやはり正しいと思うわ。
もし問題が「1,2,3,4,5の5個の数字から」だったら、n回後の確率の一般項がどうなるか知らないけど、nが大きくなったときに1/8に近づくはずだわ。